Matsubara frekvens

I termisk kvantfältteori är Matsubara -frekvenssummeringen (uppkallad efter Takeo Matsubara ) summeringen över diskreta imaginära frekvenser. Den har följande form

$S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}g( i\omega _{n}),$

där $\beta =\hbar /k_{\rm {B}}T$ är den omvända temperaturen och frekvenserna $\omega _{n}$ är vanligtvis hämtade från någon av följande två uppsättningar (med ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )$ :

bosoniska frekvenser: $\omega _{n}={\frac {2n\pi }{\beta }},$

fermioniska frekvenser: $\omega _{n}={\frac {(2n+1)\pi }{\beta }},$

Summeringen kommer att konvergera om $g(z=i\omega )$ tenderar till 0 i $z\to \infty$ limit på ett sätt som är snabbare än ${ \displaystyle z^{-1}}$ . Summeringen över bosoniska frekvenser betecknas som $S_{\rm {B}}$ (med $\eta =+1$ ), medan den över fermioniska frekvenser betecknas som ${ \displaystyle S_{\rm {F}}}$ (med $\eta =-1$ ). $\eta$ är det statistiska tecknet.

Förutom termisk kvantfältteori spelar Matsubaras frekvenssummeringsmetod också en väsentlig roll i det schematiska förhållningssättet till fasta tillståndets fysik, nämligen om man betraktar diagrammen vid ändlig temperatur.

Generellt sett, om vid $T=0\,{\text{K}}$ representeras ett visst Feynman-diagram av en integral $\int _{ T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )$ , vid ändlig temperatur ges den av summan $S_{\eta }$ .

Summationsformalism

Allmän formalism

Figur 1.

Figur 2.

Knepet för att utvärdera Matsubaras frekvenssummering är att använda en Matsubara viktningsfunktion h _η ( z ) som har enkla poler placerade exakt vid $z=i\omega _{n}$ . Viktningsfunktionerna i bosonfallet η = +1 och fermionfallet η = −1 skiljer sig åt. Valet av viktningsfunktion kommer att diskuteras senare. Med viktningsfunktionen kan summeringen ersättas av en konturintegral som omger den imaginära axeln.

$S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega }g(i\omega )={\frac {1}{2\pi i\beta }}\oint g(z)h_{\eta }(z)\,dz,$

Som i fig. 1 genererar viktningsfunktionen poler (röda kors) på den imaginära axeln. Konturintegralen tar upp resterna av dessa poler, vilket motsvarar summan.

Genom deformation av konturlinjerna för att omsluta polerna för g ( z ) (det gröna krysset i fig. 2), kan summeringen formellt åstadkommas genom att summera resten av g ( z ) h _η ( z ) över alla poler av g ( z ),

$S_{\eta }=-{\frac {1}{\beta }}\summa _{z_{0}\in g(z){\text{ poler}}}\operatörsnamn {Res} g( z_{0})h_{\eta }(z_{0}).$

Observera att ett minustecken skapas, eftersom konturen deformeras för att omsluta polerna i medurs riktning, vilket resulterar i en negativ rest.

Val av Matsubara viktningsfunktion

För att producera enkla poler på bosonfrekvenser $z=i\omega _{n}$ kan någon av följande två typer av viktningsfunktioner för Matsubara väljas

$h_{\rm {B}}^{ (1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{\rm {B}}(-z)=\beta (1+ n_{\rm {B}}(z)),$

$h_{\rm {B}}^ {(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{\rm {B}}(z),$

beroende på vilket halvplan konvergensen ska styras i. $h_{\rm {B}}^{(1)}(z)$ styr konvergensen i det vänstra halvplanet (Re z < 0), medan $h_{\rm {B}}^{(2)}(z)$ styr konvergensen i det högra halvplanet (Re z > 0 ). Här är $n_{\rm {B}}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}$ Bose–Einstein distributionsfunktion.

Fallet är liknande för fermionfrekvenser. Det finns också två typer av Matsubara viktningsfunktioner som producerar enkla poler vid $z=i\omega _{m}$

$h_{\rm {F}}^{( 1)}(z)={\frac {\beta }{1+e^{-\beta z}}}=\beta n_{\rm {F}}(-z)=\beta (1-n_{ \rm {F}}(z)),$

$h_{\rm {F}}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1+e^{\beta z}}}=-\beta n_{\rm { F Z).$

$h_{\rm {F}}^{(1)}(z)$ styr konvergensen i det vänstra halvplanet (Re z < 0), medan $h_{\rm {F}}^{(2)}(z)$ styr konvergensen i det högra halvplanet (Re z > 0). Här är $n_{\rm {F}}(z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}$ Fermi–Dirac distributionsfunktion.

I applikationen till Greens funktionsberäkning har g ( z ) alltid strukturen

$g(z)=G(z)e^{-z\tau },$

som divergerar i det vänstra halvplanet givet 0 < τ < β . För att styra konvergensen väljs alltid viktningsfunktionen för den första typen $h_{\eta }(z)=h_{\eta }^{ (1)}(z)$ . Det finns dock inget behov av att kontrollera konvergensen om Matsubara-summeringen inte divergerar, i så fall kommer valet av Matsubara-viktningsfunktionen att leda till identiska resultat.

Tabell över Matsubara frekvens summeringar

Följande tabell innehåller $S_{\eta }={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }g(i\omega )$ för några enkla rationella funktioner g ( z ). Symbolen η = ±1 är det statistiska tecknet.

$g(i\omega )$	$S_{\eta }$
$(i\omega -\xi )^{-1}$	$-\eta n_{\eta }(\xi)$ [1]
$(i\omega -\xi )^{-2}$	$-\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi)=\beta n_{\ eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))$
$(i\omega -\xi )^{-n}$	$-{\frac {\eta }{(n-1)!}}\partial _{\xi }^{n-1}n_{\eta }(\ xi)$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})(i\omega -\xi _{2})} }$	$-{\frac {\eta (n_{\eta}(\xi _{1})-n_{\ eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}(i\omega -\xi _{2})^{2}}}$	${\frac {\eta }{(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}}}\left({\frac {2(n_{\eta}(\xi _ {1})-n_{\eta }(\xi _{2}))}{\xi _{1}-\xi _{2}}}-(n_{\eta }^{\prime }(\ xi _{1})+n_{\eta }^{\prime }(\xi _{2}))\right)$
${\frac {1}{(i\omega -\xi _{1})^{2}-\xi _{2}^{2} }}$	$\eta c_{\eta }(\xi _{1},\xi _{2})$
${\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}$	$\eta c_{\eta }(0,\xi )=-{\frac {1}{2\ xi }}(1+2\eta n_{\eta }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}}{(i\omega )^{2}-\xi ^{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\xi }{2}}(1+2\eta n_{\eta }(\xi))} [$ 1]
${\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2})^{2}}}$	$-{\frac {\eta }{2\xi ^{2}}}(c_{\eta }(0, \xi )+n_{\eta }^{\prime }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}}{((i\omega )^{2}-\xi ^{2 })^{2}}}$	${\frac {\eta }{2}}(c_{\eta }(0,\xi)-n_{\eta }^ {\prime }(\xi ))$
${\frac {(i\omega )^{2}+\xi ^{2}}{((i\omega ) ^{2}-\xi ^{2})^{2}}}$	$-\eta n_{\eta }^{\prime }(\xi)=\beta n_{\ eta }(\xi )(\eta +n_{\eta }(\xi ))$
${\frac {1}{((i\omega )^{2}-\xi _{1} ^{2})((i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2})}}$	${\frac {\eta (c_{\eta }(0,\xi _{1}) -c_{\eta }(0,\xi _{2}))}{\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}}$
$\left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _ {1}^{2}}}+{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}$	$($ [2]
$\left({\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _ {1}^{2}}}-{\frac {1}{(i\omega )^{2}-\xi _{2}^{2}}}\right)^{2}$	$\eta \left(-{\frac {5\xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2}}{2\xi _{1}^{2}(\ xi _{1}^{2}-\xi _{2}^{2})}}c_{\eta }(0,\xi _{1})-{\frac {n_{\eta }^{ \prime }(\xi _{1})}{2\xi _{1}^{2}}}\right)+(1\leftrightarrow 2)$ [2]

[1] Eftersom summeringen inte konvergerar, kan resultatet skilja sig vid olika val av viktningsfunktionen för Matsubara.

[2] (1 ↔ 2) betecknar samma uttryck som föregående men med index 1 och 2 utbytta.

Tillämpningar i fysik

Nolltemperaturgräns

I denna gräns $\beta \rightarrow \infty$ , är Matsubara-frekvenssummeringen ekvivalent med integrationen av imaginär frekvens över imaginär axel.

${\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\ omega )}{2\pi i}}.$

Vissa av integralerna konvergerar inte. De bör regleras genom att introducera frekvensgränsen $\Omega$ , och sedan subtrahera den divergerande delen ( $\Omega$ -beroende) från integralen innan man tar gränsen för $\Omega \rightarrow \infty$ . Till exempel erhålls den fria energin genom integralen av logaritmen,

$\eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d } (i\omega )}{2\pi i}}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\ frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi & \xi <0,\end{array}}\right.$

vilket innebär att vid noll temperatur relaterar den fria energin helt enkelt till den inre energin under den kemiska potentialen. Även fördelningsfunktionen erhålls av följande integral

${\ displaystyle \lim \lim \Omega \rightarrow \infty }\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi i}}\left({\frac {1}{-i\omega +\xi }}-{\frac {\pi }{2\Omega }}\right)=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0 ,\\-\eta &\xi <0,\end{array}}\right.}$

som visar stegfunktionsbeteende vid noll temperatur.

Gröns funktionsrelaterad

Tidsdomän

Betrakta en funktion G ( τ ) definierad på det imaginära tidsintervallet (0, β ). Det kan ges i termer av Fourier-serier,

$G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G (i\omega )e^{-i\omega \tau },$

där frekvensen endast tar diskreta värden åtskilda med 2 π / β .

Det särskilda valet av frekvens beror på gränsvillkoret för funktionen G ( τ ). Inom fysiken G ( τ ) för den imaginära tidsrepresentationen av Greens funktion

$G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .$

Den uppfyller det periodiska gränsvillkoret G ( τ + β )= G ( τ ) för ett bosonfält. Medan för ett fermionfält är gränsvillkoret antiperiodiskt G ( τ + β ) = − G ( τ ).

Givet Greenens funktion G ( iω ) i frekvensdomänen, kan dess imaginära tidsrepresentation G ( τ ) utvärderas genom Matsubara-frekvenssummering. Beroende på boson- eller fermionfrekvenserna som ska summeras kan den resulterande G ( τ ) vara olika. För att särskilja, definiera

$G_{\eta }(\tau )={\begin{cases} G_{\rm {B}}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{\rm {F}}(\tau ),&{\text{if }} \eta =-1,\end{cases}}$

med

$G_{\rm {B}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },$

$G_{\rm {F}}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e ^{-i\omega _{m}\tau }.$

Observera att τ är begränsad i huvudintervallet (0, β ). Gränsvillkoret kan användas för att förlänga G ( τ ) utanför huvudintervallet. Några ofta använda resultat sammanfattas i följande tabell.

$G(i\omega )$	$G_{\eta }(\tau )$
$(i\omega -\xi )^{-1}$	$-e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi)$
$(i\omega -\xi )^{-2}$	$e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta}(\xi)\left (\tau +\eta \beta n_{\eta }(\xi )\right)$
$(i\omega -\xi )^{-3}$	${\cdisplaystyle -{\c {1}{2}}e^{\xi (\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi )\left(\tau ^{2}+\eta \beta (\beta +2\tau )n_{\eta }(\xi )+2\beta ^{2}n_{\eta }^{2}(\xi )\right)}$
$(i\omega -\xi _{1})^{-1}(i\omega -\xi _{2}) ^{-1}$	$-{\frac {e^{\xi _{ 1}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _{1})-e^{\xi _{2}(\beta -\tau )}n_{\eta }(\xi _ {2})}{\xi _{1}-\xi _{2}}}$
$(\omega ^{2}+m^{2})^{-1}$	${\frac {e^{-m\tau }}{2m}}+{\frac {\eta }{m}} \cosh {m\tau }\;n_{\eta }(m)$
$i\omega (\omega ^{2}+m^{2})^{-1}$	${\frac {e^{-m\tau }}{2}}-\eta \,\sinh {m\tau }\; n_{\eta }(m)$

Operatörsomkopplingseffekt

Den lilla imaginära tiden spelar här en avgörande roll. Ordningen på operatörerna kommer att ändras om den lilla tänkta tiden byter tecken.

$− i$

$\langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}$

Distributionsfunktion

Utvärderingen av fördelningsfunktionen blir svår på grund av diskontinuiteten i Greens funktion G ( τ ) vid τ = 0. Att utvärdera summeringen

$G(0)=\sum _{i\omega }(i\omega -\xi )^{-1},$

båda valen av viktningsfunktionen är acceptabla, men resultaten är olika. Detta kan förstås om vi trycker G ( τ ) lite från τ = 0, för att kontrollera konvergensen måste vi ta $h_{\eta }^{(1) }(z)$ som viktningsfunktion för $G(\tau =0^{+})$ , och $h_{\eta }^ {(2)}(z)$ för $G(\tau =0^{-})$ .

Bosoner

$G_{\rm {B}}(\tau =0^{ -})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {e^{i\omega _{n}0^{+}}}{i \omega _{n}-\xi }}=-n_{\rm {B}}(\xi ),$

$G_{\rm {B}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega _{n}}{\frac {e ^{-i\omega _{n}0^{+}}}{i\omega _{n}-\xi }}=-(n_{\rm {B}}(\xi )+1).$

Fermioner

$G_{\rm {F}}(\tau =0^{- })={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {e^{i\omega _{m}0^{+}}}{i\ omega _{m}-\xi }}=n_{\rm {F}}(\xi ),$

$G_{\rm {F}}(\tau =0^{+})={\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega _{m}}{\frac {e ^{-i\omega _{m}0^{+}}}{i\omega _{m}-\xi }}=-(1-n_{\rm {F}}(\xi )).$

Fri energi

Bosoner

${\frac {1}{\beta }}\sum _ {i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\ beta \xi }),$

Fermioner

$-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\ frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).$

Diagramutvärderingar

Ofta påträffade diagram utvärderas här med enkellägesinställningen. Problem med flera moder kan närma sig en spektralfunktionsintegral.

Fermion självenergi

$\Sigma (i\omega _{m})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}{\frac {1}{i\omega _ {m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{n}-\Omega }}=-{\frac {n_{\rm {B}}( \varepsilon )+n_{\rm {F}}(\Omega )}{i\omega _{m}-\varepsilon +\Omega }}.$

Partikelhålsbubbla

$\Pi (i\omega _{n})={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{ m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{i\omega _{m}-\varepsilon '}}={\frac {n_{\rm {B}}(\ varepsilon )+n_{\rm {F}}\left(\varepsilon '\right)}{i\omega _{n}-\varepsilon +\varepsilon '}}.$

Partikel-partikel bubbla

$\Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\summa _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _ {m}+i\omega _{n}-\varepsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\varepsilon '}}={\frac {1-n_{\rm {F }}\left(\varepsilon '\right)+n_{\rm {B}}(\varepsilon )}{i\omega _{n}-\varepsilon -\varepsilon '}}.$

Bilaga: Egenskaper för distributionsfunktioner

Distributionsfunktioner

Den allmänna notationen $n_{\eta }$ står för antingen Bose ( η = +1) eller Fermi ( η = −1) fördelningsfunktion

$n_{\eta }(\xi )={\frac {1}{e^{\beta \xi }-\eta }}.$

används de specifika beteckningarna n _B och n _{F för att indikera Bose- respektive Fermi-distributionsfunktioner}

$n_{\eta }(\xi )={\begin{cases} n_{\rm {B}}(\xi ),&{\text{if }}\eta =+1,\\n_{\rm {F}}(\xi),&{\text{if }} \eta =-1.\end{cases}}$

Relation till hyperboliska funktioner

Bose-distributionsfunktionen är relaterad till hyperbolisk cotangensfunktion av

$n_{\rm {B}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta \xi }{2}}-1\ höger).$

Fermi-fördelningsfunktionen är relaterad till hyperbolisk tangentfunktion med

$n_{\rm {F}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left(1-\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}\ höger).$

Paritet

Båda fördelningsfunktionerna har ingen bestämd paritet,

$n_{\eta }(-\xi )=-\eta -n_{\eta }(\xi ).$

En annan formel är i termer av funktionen $c_{\eta }$

$n_{\eta }(-\xi )=n_{\eta }(\xi )+2\xi c_{\eta }(0,\xi ).$

Emellertid har deras derivat en bestämd paritet.

Bose-Fermi-transmutation

Bose- och Fermi-distributionsfunktionerna omvandlas under en förskjutning av variabeln med den fermioniska frekvensen,

$n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi ).$

Men skiftning med bosoniska frekvenser gör ingen skillnad.

Derivat

Första beställning

$n_{\rm {B}}^{\prime }(\xi)=-{\frac {\beta }{4 }}\mathrm {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}},$

$n_{\rm {F}}^{\prime }(\xi )=-{\frac {\beta }{4}}\mathrm {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}.$

När det gäller produkt:

$n_{\eta }^{\prime }(\xi )=-\beta n_{\eta }(\xi )(1+\eta n_{\eta }(\xi )).$

I nolltemperaturgränsen:

$n_{\eta }^{\prime }(\xi )=\eta \delta (\xi){\text{ as }}\beta \rightarrow \infty .$

Andra beställning

$n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac { \beta ^{2}}{4}}\operatörsnamn {csch} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta \xi }{2} },$

$n_{\rm {F}}^{\prime \prime }(\xi )={\frac {\beta ^{2}}{4}}\operatörsnamn {sech} ^{2}{\frac {\beta \xi }{2}}\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta \xi }{2}}.$

Formel för skillnad

$n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(ab)=-{\frac {\mathrm {sinh} \beta b}{\mathrm {cosh} \beta a-\eta \ ,\mathrm {cosh} \beta b}}.$

Fall a = 0

$n_{\rm {B}}(b)-n_{\rm {B}}(-b)=\ mathrm {coth} {\frac {\beta b}{2}},$

$n_{\rm {F}}(b)-n_{\rm {F}}(-b)=-\mathrm {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.$

Fall a → 0

$n_{\rm {B}}(a+b) -n_{\rm {B}}(ab)=\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{\rm {B}}^{\prime \prime }(b)a ^{2}+\cdots,$

$n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(ab)=-\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{ \rm {F}}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .$

Fall b → 0

$n_{\rm {B}}(a+b)-n_{\rm {B }}(ab)=2n_{\rm {B}}^{\prime }(a)b+\cdots ,$

$n_{\rm {F}}(a+b)-n_{\rm {F}}(ab)=2n_{\rm {F}}^{\prime }(a)b+\cdots .$

Funktionen c _η

Definition:

$c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(ab)}{2b}}.$

För Bose och Fermi typ:

$c_{\rm {B}}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),$

$c_{\rm {F}}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).$

Relation till hyperboliska funktioner

$c_{\eta }(a,b)={\frac {\sinh \beta b}{2b(\cosh \beta a-\eta \cosh \beta b)}}.$

Det är uppenbart att $c_{\rm {F}}(a,b)$ är positivt definitivt.

För att undvika översvämning i den numeriska beräkningen används funktionerna tanh och coth

$c_{\rm {B}}(a,b)= {\frac {1}{4b}}\left(\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta (ab)}{2}}-\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta (a+b)} {2}}\höger),$

$c_{\rm {F}}(a,b)={\frac {1}{4b}}\left(\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta (a+b)}{2} }-\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta (ab)}{2}}\right).$

Fall a = 0

$c_{\rm {B}}(0,b)=-{\frac {1}{2b}}\operatörsnamn {coth} {\frac {\beta b}{2}},$

$c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2b}}\operatörsnamn {tanh} {\frac {\beta b}{2}}.$

Fall b = 0

$c_{\rm {B}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatörsnamn {csch} ^ {2}{\frac {\beta a}{2}},$

$c_{\rm {F}}(a,0)={\frac {\beta }{4}}\operatörsnamn {sech} ^{2}{\frac {\beta a}{2}}.$

Låg temperaturgräns

För a = 0: $c_{\rm {F}}(0,b)={\frac {1}{2|b|}}.$

För b = 0: $c_{\rm {F}}(a,0)=\delta (a).$

I allmänhet,

$c_{\rm {F}}(a,b)={\begin{cases}{\frac {1}{2|b|}},&{\text{if }}|a|<| b|\\0,&{\text{if }}|a|>|b|\end{fall}}$

Se även

• Fantasifull tid
• Termisk kvantfältteori

externa länkar

Agustin Nieto: Utvärdera summor över Matsubara-frekvenserna . arXiv:hep-ph/9311210

Github-förråd: MatsubaraSum Ett Mathematica-paket för Matsubara-frekvenssummering.

A. Taheridehkordi, S. Curnoe, JPF LeBlanc: Algoritmisk Matsubara-integration för Hubbard-liknande modeller. . arXiv:cond-mat/1808.05188