Geometrisk kvantisering

Inom matematisk fysik är geometrisk kvantisering ett matematiskt tillvägagångssätt för att definiera en kvantteori som motsvarar en given klassisk teori . Den försöker utföra kvantisering , för vilken det i allmänhet inte finns något exakt recept, på ett sådant sätt att vissa analogier mellan den klassiska teorin och kvantteorin förblir uppenbara. Till exempel bör likheten mellan Heisenbergsekvationen i Heisenbergs bild av kvantmekanik och Hamiltons ekvation i klassisk fysik byggas in.

Ursprung

Ett av de tidigaste försöken till en naturlig kvantisering var Weyl-kvantisering , som föreslogs av Hermann Weyl 1927. Här görs ett försök att associera en kvantmekanisk observerbar (en självadjoint operator på ett Hilbert-rum ) med en verkligt värderad funktion på klassisk fasrymd . Positionen och momentumet i detta fasrum mappas till Heisenberggruppens generatorer, och Hilbertrummet framträder som en grupprepresentation av Heisenberggruppen . 1946 HJ Groenewold produkten av ett par sådana observerbara objekt och frågade vad motsvarande funktion skulle vara på det klassiska fasrummet. Detta ledde till att han upptäckte fas-rymdstjärnprodukten av ett par funktioner.

Den moderna teorin om geometrisk kvantisering utvecklades av Bertram Kostant och Jean-Marie Souriau på 1970-talet. En av motiveringarna till teorin var att förstå och generalisera Kirillovs omloppsmetod inom representationsteorin.

Deformationskvantisering

Mer allmänt leder denna teknik till deformationskvantisering , där ★-produkten tas för att vara en deformation av funktionalgebra på ett symplectic grenrör eller Poisson grenrör . Men som ett naturligt kvantiseringsschema (en funktor) är Weyls karta inte tillfredsställande. Till exempel, Weyl-kartan av den klassiska vinkelmoment-kvadrat är inte bara kvantvinkelmomentumkvadratoperatorn, utan den innehåller vidare en konstant term 3ħ 2 ^/ 2. (Denna extra term är faktiskt fysiskt betydelsefull, eftersom den står för det icke-försvinnande vinkelmomentet för grundtillståndets Bohr-bana i väteatomen.) Som en ren representationsförändring ligger dock Weyls karta till grund för den alternativa fas-rymdformuleringen av konventionellt kvantum . mekanik.

Geometrisk kvantisering

Den geometriska kvantiseringsproceduren delas in i följande tre steg: prekvantisering, polarisering och metaplektisk korrigering. Förkvantisering producerar ett naturligt Hilbert-utrymme tillsammans med en kvantiseringsprocedur för observerbara som exakt omvandlar Poisson-parenteser på den klassiska sidan till kommutatorer på kvantsidan. Icke desto mindre anses prequantum Hilbert-utrymmet generellt vara "för stort". Tanken är att man sedan ska välja en Poisson-pendlingsuppsättning av n variabler på det 2 n -dimensionella fasutrymmet och överväga funktioner (eller, rättare sagt, sektioner) som endast beror på dessa n variabler. De n variablerna kan antingen vara verkligt värderade, vilket resulterar i ett Hilbert-utrymme i positionsstil, eller komplexa analytiska, vilket ger något som Segal -Bargmann-utrymmet . En polarisering är en koordinatoberoende beskrivning av ett sådant val av n Poisson-pendlingsfunktioner. Den metaplektiska korrigeringen (även känd som halvformskorrigeringen) är en teknisk modifiering av ovanstående procedur som är nödvändig i fallet med riktiga polarisationer och ofta bekväm för komplexa polarisationer.

Förkvantisering

Antag att $(M,\omega )$ är ett symboliskt grenrör med symbolisk form $\omega$ . Antag först att $\omega$ är exakt, vilket betyder att det finns en globalt definierad symplektisk potential $\theta$ med $d\theta =\omega$ . Vi kan betrakta "prequantum Hilbert-utrymmet" för kvadratintegrerbara funktioner på $M$ (med hänsyn till Liouville-volymmåttet). För varje jämn funktion $f$ på $M$ , kan vi definiera Kostant–Souriau prekvantoperatorn

Q(f):=-i\hbar \left(X_{f}+{\frac {1 }{i\hbar }}\theta (X_{f})\right)+f

.

där $X_{f}$ är det Hamiltonska vektorfältet associerat med $f$ .

Mer generellt, anta att $(M,\omega )$ har egenskapen att integralen av $\omega /(2\pi \hbar )$ över någon stängd ytan är ett heltal. Sedan kan vi konstruera en linjebunt $L$ med anslutning vars krökning 2-form är $\omega /\hbar$ . I så fall är prequantum Hilbert-rymden rymden av kvadratintegrerbara sektioner av $L$ , och vi ersätter formeln för $Q(f)$ ovan med

Q(f)=-i\hbar \nabla _{X_{f}}+f

,

med $\nabla$ anslutningen. Prekvantoperatörerna tillfredsställer

[Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\})

för alla smidiga funktioner $f$ och $g$ .

Konstruktionen av det föregående Hilbert-utrymmet och operatorerna $Q(f)$ är känd som prekvantisering .

Polarisering

Nästa steg i processen för geometrisk kvantisering är valet av en polarisering. En polarisation är ett val vid varje punkt i $M$ ett lagrangiskt delrum av det komplexiserade tangentrymden av $M$ . Delutrymmena bör bilda en integrerbar fördelning, vilket innebär att kommutatorn för två vektorfält som ligger i delrummet vid varje punkt också ska ligga i delrummet vid varje punkt. Kvantrummet (i motsats till prekvant) Hilbertrymden är utrymmet av sektioner av ${\displaystyle L} som är kovariant konstanta$ i polarisationens riktning. Tanken är att i kvantrummet Hilbert ska sektionerna vara funktioner av endast $n$ variabler på det $2n$ -dimensionella klassiska fasutrymmet.

Om $f$ är en funktion för vilken det associerade Hamiltonska flödet bevarar polarisationen, kommer $Q(f)$ att bevara kvant-Hilbert-utrymmet. Antagandet att flödet av $f$ bevarar polarisationen är starkt. Vanligtvis kommer inte särskilt många funktioner att uppfylla detta antagande.

Halvformskorrigering

Halvformskorrigeringen – även känd som den metaplektiska korrigeringen – är en teknisk modifiering av ovanstående procedur som är nödvändig i fallet med verkliga polarisationer för att erhålla ett Hilbert-kvantrum som inte är noll; det är också ofta användbart i det komplexa fallet. Linjebunten $L$ ersätts av tensorprodukten av $L$ med kvadratroten av den kanoniska bunten av $L$ . I fallet med den vertikala polariseringen, till exempel, istället för att betrakta funktioner $f(x)$ av $x$ som är oberoende av $p$ , betraktar man objekt av form $f(x){\sqrt {dx}}$ . Formeln för $Q(f)$ måste sedan kompletteras med ytterligare en Lie-derivatterm. I fallet med en komplex polarisation på planet, till exempel, tillåter halvformskorrigeringen kvantiseringen av den harmoniska oscillatorn för att reproducera den standardkvantmekaniska formeln för energierna, ( $\displaystyle ( n+1/2)\hbar \omega }$ , med " $+1/2$ " som kommer med tillstånd av halvformerna.

Poisson grenrör

Geometrisk kvantisering av Poisson-grenrör och symplektiska foliationer utvecklas också. Till exempel är detta fallet med delvis integrerbara och superintegrerbara Hamiltonian-system och icke-autonom mekanik .

Exempel

I fallet att det symplektiska grenröret är 2-sfären kan det realiseras som en koadjoint bana i ${\mathfrak {su}}(2)^{*}$ . Om vi antar att sfärens area är en heltalsmultipel av ${\displaystyle 2\pi \hbar } ,$ kan vi utföra geometrisk kvantisering och det resulterande Hilbert-utrymmet bär en irreducerbar representation av SU(2) . I det fall att sfärens area är $2\pi \hbar$ , får vi den tvådimensionella spin-½- representationen.

Se även

Anteckningar

Citat

Källor

Bates, S; Weinstein, A. (1996). Föreläsningar om kvantiseringens geometri . American Mathematical Society. ISBN 978-082180798-9 .
Dahl, J.; Schleich, W. (2002). "Begrepp om radiella och vinkelkinetiska energier". Fysisk granskning A . 65 (2). arXiv : quant-ph/0110134 . Bibcode : 2002PhRvA..65b2109D . doi : 10.1103/PhysRevA.65.022109 .
Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2005). Geometriska och algebraiska topologiska metoder i kvantmekanik . World Scientific. ISBN 981-256-129-3 .
Groenewold, HJ (1946). "Om principerna för elementär kvantmekanik". Physica . 12 (7): 405–460. Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
Hall, BC (2013). Kvantteori för matematiker . Examentexter i matematik. Vol. 267. Springer. ISBN 978-146147115-8 .
Kong, K. (2006). Från mikro till makrokvantsystem, (en enhetlig formalism med regler för superselektion och dess tillämpningar) . World Scientific. ISBN 978-1-86094-625-7 .
Śniatycki, J. (1980). Geometrisk kvantisering och kvantmekanik . Springer. ISBN 0-387-90469-7 .
Vaisman, I. (1991). Föreläsningar om Poissons grenrörs geometri . Birkhauser. ISBN 978-3-7643-5016-1 .
Woodhouse, NMJ (1991). Geometrisk kvantisering . Clarendon Press. ISBN 0-19-853673-9 .

externa länkar

William Ritters granskning av geometrisk kvantisering presenterar ett allmänt ramverk för alla problem inom fysik och passar geometrisk kvantisering i detta ramverk arXiv : math-ph/0208008
John Baez recension av Geometric Quantization , av John Baez är kort och pedagogisk
Matthias Blau's primer on Geometric Quantization , en av väldigt få bra primers (endast ps-format)
A. Echeverria-Enriquez, M. Munoz-Lecanda, N. Roman-Roy, Matematiska grunder för geometrisk kvantisering, arXiv : math-ph/9904008 .
G. Sardanashvily , Geometrisk kvantisering av symplectic foliations, arXiv : math/0110196 .