Isodynamisk punkt

Cirklar av Apollonius ; isodynamiska punkter

S

och

S'

vid deras skärningspunkter

Inre vinkelhalveringslinje , används för att konstruera cirklarna

Yttre vinkelhalveringslinjer, används också för att konstruera cirklarna

I euklidisk geometri är de isodynamiska punkterna i en triangel punkter associerade med triangeln, med egenskaperna att en inversion centrerad vid en av dessa punkter omvandlar den givna triangeln till en liksidig triangel , och att avstånden från den isodynamiska punkten till triangelns hörn är omvänt proportionella mot triangelns motsatta sidolängder. Trianglar som liknar varandra har isodynamiska punkter på motsvarande platser i planet, så de isodynamiska punkterna är triangelcentrum, och till skillnad från andra triangelcentrum är de isodynamiska punkterna också invarianta under Möbius-transformationer . En triangel som själv är liksidig har en unik isodynamisk punkt, vid dess tyngdpunkt (liksom dess ortocenter , dess incenter och dess circumcenter , som är samtidiga); varje icke-liksidig triangel har två isodynamiska punkter. Isodynamiska punkter studerades först och namngavs av Joseph Neuberg ( 1885 ).

Avståndsförhållanden

De isodynamiska punkterna definierades ursprungligen från vissa likheter mellan förhållanden (eller motsvarande produkter) av avstånd mellan par av punkter. Om $S$ och $S'$ är de isodynamiska punkterna i en triangel $ABC$ , då är de tre produkterna av avstånden $AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB$ är lika. De analoga likheterna gäller även för $S'$ . På samma sätt som produktformeln är avstånden $AS$ , $BS$ och $CS$ omvänt proportionella mot motsvarande triangelsidlängder $BC$ , $AC$ och $AB$ .

$S$ och $S'$ är de gemensamma skärningspunkterna för Apollonius tre cirklar associerade med triangeln i en triangel $ABC$ , de tre cirklarna som var och en passerar genom en vertex av triangeln och bibehålla ett konstant förhållande mellan avstånden till de andra två hörnen. Därför är linjen $SS'$ den gemensamma radikalaxeln för vart och ett av Apollonius tre cirklar. Den vinkelräta bisektrisen av linjesegmentet $SS'$ är Lemoine-linjen , som innehåller de tre mittpunkterna i Apollonius cirklar.

Transformationer

De isodynamiska punkterna $S$ och $S'$ i en triangel $ABC$ kan också definieras av deras egenskaper med avseende på transformationer av planet, och särskilt med avseende på inversioner och Möbius-transformationer (produkter av multipla inversioner). Inversion av triangeln $ABC$ med avseende på en isodynamisk punkt omvandlar den ursprungliga triangeln till en liksidig triangel . Inversion med avseende på omkretsen av triangeln $ABC$ lämnar triangeln invariant men omvandlar en isodynamisk punkt till den andra. Mer allmänt är de isodynamiska punkterna ekvivarianta under Möbius-transformationer : det oordnade paret av isodynamiska punkter i en transformation av $ABC$ är lika med samma transformation som tillämpas på paret $\ {S,S'\}$ . De individuella isodynamiska punkterna fixeras av Möbius-transformationer som kartlägger det inre av den omslutna cirkeln av $ABC$ till det inre av den omslutna cirkeln av den transformerade triangeln, och byts ut av transformationer som byter ut det inre och yttre av den omslutna cirkeln.

Vinklar

Tre cirklar, som var och en bildar vinklar på π/3 med den omslutna cirkeln och varandra, möts vid den första isodynamiska punkten.

Förutom att vara skärningspunkterna för Apollonius cirklar, är varje isodynamisk punkt skärningspunkterna för en annan trippel av cirklar. Den första isodynamiska punkten är skärningspunkten mellan tre cirklar genom punktparen $AB$ , $AC$ och $BC$ , där var och en av dessa cirklar skär triangelns omslutna cirkel $ABC$ för att bilda en lins med spetsvinkeln 2π/3. På liknande sätt är den andra isodynamiska punkten skärningspunkten mellan tre cirklar som skär den omslutna cirkeln för att bilda linser med spetsvinkeln π/3.

Vinklarna som bildas av den första isodynamiska punkten med triangelns hörn uppfyller ekvationerna $ASB=ACB+\pi /3$ , $ASC=ABC+\pi /3$ och $BSC=BAC+\pi /3$ . Analogt uppfyller vinklarna som bildas av den andra isodynamiska punkten ekvationerna $AS'B=ACB-\pi /3$ , $AS'C=ABC-\pi /3$ , och $BS'C=BAC-\pi /3$ .

Pedaltriangeln för en isodynamisk punkt, triangeln som bildas genom att sänka vinkelräta från $S$ till var och en av de tre sidorna av triangeln ${\displaystyle ABC} ,$ är liksidig, liksom triangeln som bildas genom att reflektera $S$ över varje sida av triangeln. Bland alla liksidiga trianglar inskrivna i triangeln $ABC$ är pedaltriangeln för den första isodynamiska punkten den med minsta area.

Ytterligare egenskaper

De isodynamiska punkterna är de isogonala konjugaten av de två Fermat-punkterna i triangeln $ABC$ och vice versa.

Neuberg -kubiken innehåller båda de isodynamiska punkterna.

Om en cirkel är uppdelad i tre bågar är den första isodynamiska punkten i bågändpunkterna den unika punkten inuti cirkeln med egenskapen att var och en av de tre bågarna är lika sannolikt att vara den första bågen som nås av en Brownsk rörelse som börjar vid den punkten . Det vill säga, den isodynamiska punkten är den punkt för vilken det harmoniska måttet för de tre bågarna är lika.

Givet ett envariabelt polynom $P(z)=z^{3}+az^{2}+bz+c$ vars nollor är hörnen på en triangel $T$ i det komplexa planet, de isodynamiska punkterna för $T$ är nollorna i polynomet $I(z)=(a^{2}-3b)z^{2}+(ab-9c)z+b^{2}-3ac$ . Observera att $I(z)$ är en konstant multipel av ${\displaystyle \mathrm {Discriminant} _{u}(nP(u)+(zu)P'(u))} ,$ där $n$ är graden av $P$ . Denna konstruktion generaliserar isodynamiska punkter till polynom av grad $n\geq 3$ i den meningen att nollorna för ovanstående diskriminant är invarianta under Möbius-transformationer. Här är uttrycket $nP(u)+(zu)P'(u)$ den polära derivatan av $P( u)$ med pol $z$ .

På motsvarande sätt, med $P$ och $n$ definierade enligt ovan, är de (generaliserade) isodynamiska punkterna för ${\displaystyle P} de$ kritiska värdena för $f(z)=z-nP(z)/P'(z)$ . Här $f(z)$ uttrycket som visas i den avslappnade Newtons metod med relaxationsparameter $n$ . En liknande konstruktion finns för rationella funktioner istället för polynom.

Konstruktion

Konstruktion av den isodynamiska punkten från reflekterade kopior av den givna triangeln och inåtriktade liksidiga trianglar.

Apollonius cirkel genom vertex $A$ i triangeln $ABC$ kan konstrueras genom att hitta de två (inre och yttre) vinkelhalveringslinjerna för de två vinklarna som bildas av linjerna $AB$ och $AC$ vid vertex $A$ , och skär dessa bisektlinjer med linje $BC$ . Linjesegmentet mellan dessa två skärningspunkter är diametern på Apollonius cirkel. De isodynamiska punkterna kan hittas genom att konstruera två av dessa cirklar och hitta deras två skärningspunkter.

En annan kompass- och rakkantskonstruktion involverar att hitta reflektionen $A'$ av vertex $A$ över linjen $BC$ (skärningen av cirklar centrerade vid $B$ och $C$ till $A$ ), och konstruera en liksidig triangel inåt på sidan $BC$ av triangeln (spetsen $A''$ i denna triangel är skärningspunkten mellan två cirklar med $BC$ som radie). Linjen $A'A''$ korsar de på liknande sätt konstruerade linjerna $B'B''$ och $C'C''$ vid den första isodynamisk punkt. Den andra isodynamiska punkten kan vara konstruerad på liknande sätt men med de liksidiga trianglarna resta utåt snarare än inåt.

Alternativt kan positionen för den första isodynamiska punkten beräknas från dess trilinjära koordinater , som är

\sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).

Den andra isodynamiska punkten använder trilinjära koordinater med en liknande formel som involverar $-\pi /3$ i stället för $\pi /3$ .

Anteckningar

Bottema, Oene (2008), Ämnen i elementär geometri (2:a uppl.), Springer, sid. 108, ISBN 9780387781303 .
Carver, Walter B. (1956), "Some geometri of the triangle", American Mathematical Monthly , 63 (9): 32–50, doi : 10.2307/2309843 , JSTOR 2309843 .
Casey, John (1893), En avhandling om den analytiska geometrin hos punkt-, linje-, cirkel- och koniska sektioner: innehåller en redogörelse för dess senaste förlängningar, med många exempel, Dublin University Press-serien, Hodges, Figgis, & Co. , sid. 303 .
Evans, Lawrence S. (2002), "A rapid construction of some triangle centers" (PDF) , Forum Geometricorum , 2 : 67–70, MR 1907780 .
Eves, Howard Whitley (1995), College geometri , Jones & Bartlett Learning, s. 69–70, ISBN 9780867204759 .
Hägg, Christian; Shapiro, Boris; Shapiro, Michael (2023), "Introduktion av isodynamiska punkter för binära former och deras förhållanden" , Complex Anal Synerg , 9 (2), doi : 10.1007/s40627-022-00112-4 .
Iannaccone, Andrew; Walden, Byron (2003), The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral , Harvey Mudd College Department of Mathematics .
Johnson, Roger A. (1917), "Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem", American Mathematical Monthly , 24 (7): 313–317, doi : 10.2307/2973552 , JSTOR 2973552 .
Kimberling, Clark (1993), "Funktionella ekvationer förknippade med triangelgeometri" (PDF) , Aequationes Mathematicae , 45 (2–3): 127–152, doi : 10.1007/BF01855873 , MR 121238ID 121238ID 8412380 , S442380 S44380 ,
Moon, Tarik Adnan (2010), "De apolloniska cirklarna och isodynamiska punkter" (PDF) , Matematiska reflektioner (6), arkiverad från originalet (PDF) 2013-04-20 , hämtad 2012-03-22 .
Neuberg, J. (1885), "Sur le quadrilatère harmonique" , Mathesis (på franska), 5 : 202–204, 217–221, 265–269 . Definitionen av isodynamiska punkter finns i en fotnot på sidan 204.
Rigby, JF (1988), "Napoleon revisited", Journal of Geometry , 33 (1–2): 129–146, doi : 10.1007/BF01230612 , MR 0963992 , S2CID 189876799 . Diskussionen om isodynamiska punkter finns på s. 138–139. Rigby kallar dem " Napoleon-punkter ", men det namnet syftar ofta på ett annat triangelcentrum, punkten för överensstämmelse mellan linjerna som förbinder spetsarna i Napoleons liksidiga triangel med de motsatta hörnen av den givna triangeln.
Wildberger, NJ (2008), "Neuberg cubics over finite fields", Algebraisk geometri och dess tillämpningar , Ser. Number Theory Appl., vol. 5, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, s. 488–504, arXiv : 0806.2495 , doi : 10.1142/9789812793430_0027 , MR 2484072 , S2CID 1051592 . Se särskilt sid. 498 .

externa länkar