Trilinjära koordinater

I geometri beskriver de trilinjära koordinaterna $x : y : z$ för en punkt i förhållande till en given triangel de relativa riktade avstånden från triangelns tre sidlinjer . Trilinjära koordinater är ett exempel på homogena koordinater . Förhållandet $x : y$ är förhållandet mellan de vinkelräta avstånden från punkten till sidorna (förlängda vid behov) motsatta hörn $A$ respektive $B$ ; förhållandet $y : z$ är förhållandet mellan de vinkelräta avstånden från punkten till sidlinjerna mittemot hörn $B$ respektive $C$ ; och likaså för $z : x$ och hörn $C$ och $A$ .

I diagrammet till höger är de trilinjära koordinaterna för den indikerade inre punkten de faktiska avstånden ( $a'$ , $b'$ , $c'$ ), eller på motsvarande sätt i kvotform, $ka' : kb' : kc'$ för varje positiv konstant $k$ . Om en punkt ligger på en sidolinje i referenstriangeln är dess motsvarande trilinjära koordinat 0. Om en yttre punkt ligger på motsatt sida av en sidlinje från det inre av triangeln är dess trilinjära koordinat associerad med den sidlinjen negativ. Det är omöjligt för alla tre trilinjära koordinater att vara icke-positiva.

Notation

Förhållandets notation $x : y : z$ för trilinjära koordinater skiljer sig från den ordnade trippelnotationen $(a', b', c')$ för faktiska riktade avstånd. Här har var och en av $x$ , $y$ och $z$ ingen betydelse i sig själv; dess förhållande till en av de andra har betydelse. Därför bör "kommanotation" för trilinjära koordinater undvikas, eftersom notationen $(x, y, z)$ , som betyder en ordnad trippel, inte tillåter till exempel ( $x, y, z) = (2 x, 2 y, 2 z)$ , medan "kolonnotationen" tillåter $x : y : z = 2 x : 2 y : 2 z$ .

Exempel

De trilinjära koordinaterna för mitten av en triangel $△ ABC$ är $1 : 1 : 1$ ; det vill säga de (riktade) avstånden från mitten till sidlinjerna $BC, CA, AB$ är proportionella mot de faktiska avstånden som betecknas med $(r, r, r)$ , där $r$ är inradius av $△ ABC$ . Givet sidlängderna $a, b, c$ har vi:

$A = 1 : 0 : 0$
$B = 0 : 1 : 0$
$C = 0 : 0 : 1$
centrum = $1 : 1 : 1$
tyngdpunkt = $bc : ca : ab = 1/ a : 1/ b : 1/ c = csc A : csc B : csc C$ .
circumcenter = $cos A : cos B : cos C$ .
ortocenter = $sek A : sek : sek C.$ B
niopunktscentrum = $cos(B - C) : cos(C - A): cos(A - B)$ .
symmedianpunkt = $a : b : c = sin A : sin B : sin C$ .
$A$ -excenter = $-1 : 1 : 1$
$B$ -excenter = $1 : -1 : 1$
$C$ -excenter = $1 : 1 : -1$ .

Observera att i allmänhet är mitten inte detsamma som tyngdpunkten ; tyngdpunkten har barycentriska koordinater $1 : 1 : 1$ (dessa är proportionella mot faktiska tecken på trianglarna $△ BGC, △ CGA, △ AGB$ , där $G$ = tyngdpunkt.)

Mittpunkten på till exempel sidan $BC$ har trilinjära koordinater i faktiska sidlinjeavstånd $(0,{\tfrac {\Delta }{b}},{\tfrac {\Delta }{ c}})$ för triangelarea $Δ$ , som i godtyckligt specificerade relativa avstånd förenklas till $0 : ca : ab$ . Koordinaterna i faktiska sidlinjeavstånd för foten av höjden från $A$ till $BC$ är ${\displaystyle (0,{\tfrac {2\Delta }{a }}\cos C,{\tfrac {2\Delta }{a}}\cos B),} vilket$ i rent relativa avstånd förenklas till $0 : cos C : cos B$ .

Formler

Kolineariteter och samtidigheter

Trilinjära koordinater möjliggör många algebraiska metoder inom triangelgeometri. Till exempel tre poäng

{\begin{aligned}P&=p:q:r\\U&=u:v:w\\X&= x:y:z\\\end{aligned}}

är kolinjära om och endast om determinanten

D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}

är lika med noll. Således om $x : y : z är en variabel punkt,$ är ekvationen för en linje genom punkterna $P$ och $U$ $D = 0$ . Från detta har varje rät linje en linjär ekvation homogen i $x, y, z$ . Varje ekvation av formen $lx+my+nz=0$ i reella koefficienter är en reell rät linje av ändliga punkter om inte $l : m : n$ är proportionell mot $a : b : c$ , sidolängderna, i vilket fall vi har punkterna i oändligheten.

Det dubbla av detta förslag är att linjerna

{\begin{aligned}p\alpha +q\beta +r\gamma &=0 \\u\alpha +v\beta +w\gamma &=0\\x\alpha +y\beta +z\gamma &=0\end{aligned}}

överens i en punkt $(α, β, γ)$ om och endast om $D = 0$ .

Dessutom, om de faktiska riktade avstånden används vid utvärdering av determinanten för $D , så$ är arean av triangeln $△ PUX$ $KD$ , där $K={\tfrac {-abc}{8 \Delta ^{2}}}$ (och där $Δ$ är arean av triangeln $△ ABC$ , enligt ovan) om triangeln $△ PUX$ har samma orientering (medurs eller moturs) som $△ ABC$ , och $K={\tfrac {-abc}{8\Delta ^{2}}}$ annars.

Parallella linjer

Två linjer med trilinjära ekvationer $lx+my+nz=0$ och $l'x+m'y+n 'z=0$ är parallella om och endast om

{\begin{vmatrix}l&m&n\\l'&m'&n'\\a&b&c\end{vmatrix}}=0,

där $a, b, c$ är sidolängderna.

Vinkel mellan två linjer

Tangenterna för vinklarna mellan två linjer med trilinjära ekvationer $lx+my+nz=0$ + l $\displaystyle l'x +m'y+n'z=0}$ ges av

\pm {\frac {(mn'-m'n)\sin A+(nl'-n'l)\sin B+(lm'-l'm)\sin C}{ll'+mm'+ nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C}}.

Vinkelräta linjer

Alltså två linjer med trilinjära ekvationer $lx+my+nz=0$ och $l'x+m'y+ n'z=0$ är vinkelräta om och endast om

ll'+mm'+nn'-(mn'+m'n)\cos A-(nl'+n'l)\cos B-(lm'+l'm)\cos C =0.

Höjd över havet

Ekvationen för höjden från vertex $A$ till sidan $BC$ är

y\cos Bz\cos C=0.

Linje i termer av avstånd från hörn

Ekvationen för en linje med variabla avstånd $p, q, r$ från hörnen $A, B, C$ vars motsatta sidor är $a, b, c$ är

apx+bqy+crz=0.

Faktiska avstånd trilinjära koordinater

Trilinjära med koordinatvärdena $a', b', c'$ är de faktiska vinkelräta avstånden till sidorna uppfyller

aa'+bb'+cc'=2\Delta

för triangelsidorna $a, b, c$ och area $Δ$ . Detta kan ses i figuren högst upp i denna artikel, med den inre punkten $P$ som delar triangeln $△ ABC$ i tre trianglar $△ PBC, △ PCA, △ PAB$ med respektive områden ${\tfrac {1}{2}}aa',{\tfrac {1}{2}}bb',{\tfrac {1}{2}}cc'.$

Avstånd mellan två punkter

Avståndet $d$ mellan två punkter med faktiska avstånd trilinjära $a i : b i : c i$ ges av

d^{2 }\sin ^{2}C=(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}+2(a_{1}-a_{ 2})(b_{1}-b_{2})\cos C

eller på ett mer symmetriskt sätt

d^{2}={\frac {abc}{4\Delta ^{2}}}\left(a(b_{1}-b_{2})(c_{2}-c_{1} )+b(c_{1}-c_{2})(a_{2}-a_{1})+c(a_{1}-a_{2})(b_{2}-b_{1})\ höger).

Avstånd från en punkt till en linje

Avståndet $d$ från en punkt $a' : b' : c'$ , i trilinjära koordinater för faktiska avstånd, till en rät linje $lx+my+nz=0$ är

d={\frac {la'+mb'+nc'}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}-2mn\cos A-2nl\cos B- 2lm\cos C}}}.

Kvadratiska kurvor

Ekvationen för ett koniskt snitt i den variabla trilinjära punkten $x : y : z$ är

rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+ 2uyz+2vzx+2wxy=0.

Den har inga linjära termer och ingen konstant term.

Ekvationen för en cirkel med radien $a', b', c') r$ $med$ centrum vid faktiska avståndskoordinater ( är

(xa')^{2}\sin 2A+(yb')^{2}\sin 2B+(zc')^{2}\sin 2C=2r^{2}\sin A\sin B\sin C.

Circumconics

Ekvationen i trilinjära koordinater $x, y, z$ för varje cirkumkonisk i en triangel är

lyz+mzx+nxy=0.

Om parametrarna $l, m, n$ respektive är lika med sidolängderna $a, b, c$ (eller sinusen för de motstående vinklarna) så ger ekvationen den omslutna cirkeln .

Varje distinkt circumconic har ett center som är unikt för sig själv. Ekvationen i trilinjära koordinater för den circumkoniska med centrum $x' : y' : z'$ är

\displaystyle yz(x'

Inconics

Varje konisk sektion inskriven i en triangel har en ekvation i trilinjära koordinater:

l^{2}x^{2}+m^ {2}y^{2}+n^{2}z^{2}\pm 2mnyz\pm 2nlzx\pm 2lmxy=0,

med exakt ett eller tre av de ospecificerade tecknen som är negativa.

Incirkelns ekvation kan förenklas till

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt { y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0,

medan ekvationen för till exempel excirkeln intill sidosegmentet mittemot vertex $A$ kan skrivas som

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm { \sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0.

Kubiska kurvor

Många kubiska kurvor representeras lätt med hjälp av trilinjära koordinater. Till exempel, det pivotala självisokonjugatet kubisk $Z (U, P)$ , som platsen för en punkt $X$ så att $P$ -isokonjugatet av $X$ är på linjen $UX$ ges av determinantekvationen

{\begin{vmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{vmatrix}}=0.

Bland namngivna cubics $Z (U, P)$ finns följande:

Thomson kubisk : Z(X(2),X(1)) , där X(2) = tyngdpunkt , X(1) = central

Feuerbach kubisk : Z(X(5),X(1)) , där X(5) ) = Feuerbach punkt

Darboux kubik : Z(X(20),X(1)) , där X(20) = De Longchamps punkt

Neuberg kubik : Z(X(30),X(1)) , där X(30) = Euler oändlighetspunkt.

Konverteringar

Mellan trilinjära koordinater och avstånd från sidlinjer

För val av trilinjära koordinater $x : y : z$ för att lokalisera en punkt, ges punktens faktiska avstånd från sidlinjen av $a' = kx, b' = ky, c' = kz$ där $k$ kan bestämmas med formeln $k={\tfrac {2\Delta }{ax+by+cz}}$ där $a, b, c$ är respektive sidolängder $BC, CA, AB$ , och $∆$ är arean av $△ ABC$ .

Mellan barycentriska och trilinjära koordinater

En punkt med trilinjära koordinater $x : y : z$ har barycentriska koordinater $ax : by : cz$ där $a, b, c$ är triangelns sidolängder. Omvänt har en punkt med barycentrik $α : β : γ$ trilinjära koordinater ${\tfrac {\alpha }{a}}:{\tfrac {\beta }{b}}:{\tfrac {\gamma }{c}}.$

Mellan kartesiska och trilinjära koordinater

Givet en referenstriangel $△ ABC$ $, {\displaystyle {\vec {B}},}$ uttryck positionen för vertex $B$ i termer av ett ordnat par kartesiska koordinater och representera detta algebraiskt som en vektor med vertex $C$ som ursprung. Definiera på liknande sätt positionsvektorn för vertex $A$ som ${\vec {A}}.$ Då kan vilken punkt $P som helst$ som är associerad med referenstriangeln $△ ABC$ definieras i ett kartesiskt system som en vektor ${\displaystyle {\vec {P}}=k_{1}{\vec {A}}+k_{2}{\vec {B}}.} Om$ denna punkt $P$ har trilinjära koordinater $x : y : z$ så omvandlingsformel från koefficienterna $k 1$ och $k 2$ i den kartesiska representationen till de trilinjära koordinaterna är för sidolängderna $a, b, c$ motsatta hörn $A, B, C$ ,

x:y:z={\frac {k_{1}}{a}}:{\frac { k_{2}}{b}}:{\frac {1-k_{1}-k_{2}}{c}},

och omvandlingsformeln från de trilinjära koordinaterna till koefficienterna i den kartesiska representationen är

k_{1}={\frac {ax}{ax+by+cz}},\quad k_{2}={\frac {by}{ax+by+cz}}.

Mer allmänt, om ett godtyckligt ursprung väljs där de kartesiska koordinaterna för hörnen är kända och representerade av vektorerna ${\vec {A}},{\vec {B}}, {\vec {C}}$ och om punkten $P$ har trilinjära koordinater $x : y : z$ , så är de kartesiska koordinaterna för ${\vec {P}}$ det viktade medelvärdet av de kartesiska koordinaterna för dessa hörn med de barycentriska koordinaterna $ax, by, cz$ som vikterna. Omvandlingsformeln från de trilinjära koordinaterna $x, y, z$ till vektorn för kartesiska koordinater ${\vec {P}}$ för punkten ges därför av

{\vec {P }}={\frac {ax}{ax+by+cz}}{\vec {A}}+{\frac {by}{ax+by+cz}}{\vec {B}}+{\frac {cz}{ax+by+cz}}{\vec {C}},

var sidolängderna är

{\begin{aligned}&|{\vec {C}}-{\vec {B}}|=a,\\&|{\vec {A}}-{\vec {C}}| =b,\\&|{\vec {B}}-{\vec {A}}|=c.\end{aligned}}

Se även

Morleys trisektorsats#Morleys trianglar , som ger exempel på många punkter uttryckta i trilinjära koordinater
Ternär tomt
Vivianis sats

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Trilinjära koordinater" . MathWorld .
Encyclopedia of Triangle Centers - ETC av Clark Kimberling; har trilinjära koordinater (och barycentriska) för mer än 7000 triangelcentrum