Neuberg kubik

I euklidisk geometri är Neuberg -kubiken en speciell kubisk plankurva som är förknippad med en referenstriangel med flera anmärkningsvärda egenskaper. Den är uppkallad efter Joseph Jean Baptiste Neuberg (30 oktober 1840 – 22 mars 1926), en luxemburgsk matematiker, som först introducerade kurvan i en tidning publicerad 1884. Kurvan förekommer som det första föremålet, med identifikationsnummer K001, i Bernard Gilberts bok. Catalog of Triangle Cubics som är en sammanställning av omfattande information om mer än 1200 triangelkubiker.

Definitioner

Neuberg kubik av triangeln △ ABC som visar en av de definierande egenskaperna för en godtycklig punkt X på kurvan

Neuberg-kubiken kan definieras som ett lokus på många olika sätt. Ett sätt är att definiera det som en plats för en punkt P i planet för referenstriangeln △ ABC så att _om Pa , P _b , P _c reflektionerna av P i sidolinjerna för triangeln △ ABC är , så linjerna _{samtidiga .} APa , BPb _, CPc är Det måste dock bevisas att det så definierade stället verkligen är en kubisk kurva. Ett andra sätt är att definiera det som platsen för punkten P så att om O _a , O _b , O _c är omkretsen av trianglarna △ BPC , △ CPA , △ APB , så är linjerna AO _a , BO _b , O _c samverkande. Ännu ett sätt är att definiera det som platsen för P som uppfyller följande egenskap känd som quadrangles involutifs (detta var sättet på vilket Neuberg introducerade kurvan):

${\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2 }\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0$

Ekvation

Låt a, b, c vara sidolängderna för referenstriangeln △ ABC . Då är ekvationen för Neubergskubiken av △ ABC i barycentriska koordinater x : y : z

$\sum _{\text{cyklisk }}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^ {2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Övrig terminologi: 21-punktskurva, 37-punktskurva

Neuberg kubisk (21-punkts kubik) av triangeln △ ABC som visar 21-punkts specialpunkterna på den

I den äldre litteraturen kallas Neuberg-kurvan vanligtvis som 21-punktskurvan. Terminologin hänvisar till egenskapen hos kurvan upptäckt av Neuberg själv att den passerar genom vissa speciella 21 punkter associerade med referenstriangeln. Om vi ​​antar att referenstriangeln är △ ABC , är de 21 punkterna enligt lista nedan.

• Topparna A, B, C
• Reflexionerna A _a , B _b , C _c av hörnen A, B, C på motsatta sidlinjer
• Ortocentret H _
• Omkretsen O _
• De tre punkterna D _a , D _b , D _c där D _a är reflektionen av A i linjen som förenar Q _bc och Q _cb där Q _bc är skärningen av den vinkelräta bisektrisen av AC med AB och Q _cb är skärningspunkten mellan vinkelrät bisektris av AB med AC ; Db _och Dc _sätt definieras på liknande
• De sex hörnen A', B', C', A", B", C" i de liksidiga trianglarna konstruerade på sidorna av triangeln △ ABC
• De två isogoniska centran (punkterna X(13) och X(14) i Encyclopedia of Triangle Centers )
• De två isodynamiska punkterna (punkterna X(15) och X(16) i Encyclopedia of Triangle Centers)

Den bifogade figuren visar Neubergs kubik av triangeln △ ABC med alla ovan nämnda 21 specialpunkter på den.

I en tidning publicerad 1925 rapporterade BH Brown om sin upptäckt av ytterligare 16 specialpunkter på Neuberg-kubiken, vilket gör det totala antalet då kända specialpunkter på kubiken 37. På grund av detta kallas Neuberg-kubiken ibland även som 37:an -punkt kubik. För närvarande är ett stort antal specialpunkter kända för att ligga på Neuberg-kubiken. Gilberts katalog har en speciell sida dedikerad till en lista över sådana speciella punkter som också är triangelcentrum.

Några egenskaper hos Neuberg cubic

Neuberg cubic som en cirkulär cubic

Ekvationen i trilinjära koordinater för linjen i oändligheten i referenstriangelns plan är

$ax+by+cz=0$

Det finns två speciella punkter på denna linje som kallas de cirkulära punkterna vid oändligheten . Varje cirkel i triangelns plan passerar genom dessa två punkter och varje kägel som passerar genom dessa punkter är en cirkel. De trilinjära koordinaterna för dessa punkter är

${\begin{aligned}& \cos B+i\sin B:\cos Ai\sin A:-1\\&\cos Bi\sin B:\cos A+i\sin A:-1\end{aligned}}$

där $i={\sqrt {-1}}$ . Varje kubisk kurva som passerar genom de två cirkulära punkterna i oändligheten kallas en cirkulär kubisk. Neubergkubiken är en cirkulär kubik.

Neuberg kubisk som en pivotal isogonal kubisk

Det isogonala konjugatet av en punkt P med avseende på en triangel △ ABC är punkten för samstämmighet mellan reflektionerna av linjerna PA, PB, PC kring vinkelhalveringslinjerna för A, B, C respektive. Det isogonala konjugatet av P betecknas ibland med P* . Det isogonala konjugatet av P* är P . En självisogonal kubisk är en triangelkubik som är invariant under isogonal konjugering. En pivotal isogonal kubisk är en kubisk där punkter P som ligger på kuben och deras isogonala konjugat är kolinjära med en fixpunkt Q känd som svängpunkten för kuben. Neuberg-kubiken är en pivotal isogonal kubisk som har sin pivot i skärningspunkten mellan Euler-linjen och linjen i oändligheten . I Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers betecknas denna punkt med X(30).

Neuberg cubic som pivotol ortocubic

Låt P vara en punkt i triangelns plan △ ABC . De vinkelräta linjerna vid _. Pa , Pb _, Pc _P till AP , BP, CP skär BC , CA LP _, AB respektive vid och dessa punkter ligger på en linje Låt den trilinjära polen för LP _. vara P ^⊥ En isopivotal kubisk är en triangelkubik som har egenskapen att det finns en fixpunkt P så att, för vilken punkt M som helst på kuben, punkterna P, M, M ^⊥ är kolinjära. Den fasta punkten P kallas kubikens orthopivot. Neubergkubiken är en ortopivotal kubik med ortopivot vid triangelns omkretscentrum.

Ytterligare läsning

•   Zvonko Čerin (1998). "Locusegenskaper hos Neuberg-kubiken" . Journal of Geometry . 63 (1–2): 39–56. doi : 10.1007/BF01221237 . S2CID 116778499 . Hämtad 30 november 2021 .
•   TW Moore och JH Nelley (maj 1925). "Den cirkulära kubiken på tjugoen punkter i en triangel" . American Mathematical Monthly . 32 (5): 241–246. doi : 10.1080/00029890.1925.11986451 . JSTOR 2299192 . Hämtad 2 december 2021 .
• Abdikadir Altintas, om vissa egenskaper hos Neuberg Cubic
• Bernard Gilbert. "Neuberg Cubics" (PDF) . Kubik i triangelplanet . Hämtad 2 december 2021 .