Isogonalt konjugat

Vinkelhalveringslinjer ( överensstämmer i mitten

I

)

Linjer från varje vertex till

P

Linjer till

P

reflekterade kring vinkelhalveringslinjerna (överensstämmer vid

P*

, det isogonala konjugatet av

P

)

Isogonal konjugerad transformation över punkterna inuti triangeln.

I geometri konstrueras det isogonala konjugatet av en punkt $P$ med avseende på en triangel $△ ABC genom$ att reflektera linjerna $PA, PB, PC$ kring vinkelhalveringslinjerna för $A, B, C$ respektive. Dessa tre reflekterade linjer överensstämmer vid det isogonala konjugatet av $P$ . (Denna definition gäller endast punkter som inte ligger på en sidolinje av triangeln $△ ABC$ .) Detta är ett direkt resultat av den trigonometriska formen av Cevas sats .

Det isogonala konjugatet av en punkt $P$ betecknas ibland med $P*$ . Det isogonala konjugatet av $P*$ är $P$ .

Det isogonala konjugatet av incenter $I$ är sig själv. Det isogonala konjugatet av ortocentret $H$ är det circumcentre $O$ . Det isogonala konjugatet av tyngdpunkten $G$ är (per definition) symmedianpunkten $K$ . De isogonala konjugaten av Fermat-punkterna är de isodynamiska punkterna och vice versa. Brocard -punkterna är isogonala konjugat av varandra.

I trilinjära koordinater , om $X=x:y:z$ är en punkt som inte ligger på en sidolinje för triangeln $△ ABC$ , då är dess isogonala konjugat ${\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$ Av denna anledning betecknas det isogonala konjugatet av $X ibland med$ $X -1$ . Uppsättningen $S av triangel centreras under den trilinjära produkten$ , definierad av

(p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,

är en kommutativ grupp och inversen av varje $X$ i $S$ är $X -1$ .

Eftersom isogonal konjugering är en funktion är det vettigt att tala om den isogonala konjugatet av uppsättningar av punkter, såsom linjer och cirklar. Till exempel är det isogonala konjugatet av en linje en cirkumkonisk ; specifikt, en ellips , parabel eller hyperbel beroende på hur linjen skär den omslutna cirkeln i 0, 1 eller 2 punkter. Det isogonala konjugatet av den omslutna cirkeln är linjen i oändligheten . Flera välkända kubik (t.ex. Thompson cubic , Darboux cubic, Neuberg cubic ) är självisogonal-konjugerade, i den meningen att om $X$ är på kubiken, så är $X -1$ också på kubiken.

En annan konstruktion för det isogonala konjugatet av en punkt

En andra definition av isogonalt konjugat

För en given punkt $P$ i triangelplanet $△ ABC$ , låt reflektionerna av $P$ i sidlinjerna $BC, CA, AB$ vara $P a, P b, P c$ . Då är cirkelns mittpunkt $〇 P a P b P c$ det isogonala konjugatet av $P$ .

Se även

externa länkar