Inexakt differentialekvation

En inexakt differentialekvation är en differentialekvation av formen (se även: inexakt differential )

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,{\text{ där }}{\frac {\partial M}{\partial y}}\neq {\ frac {\partial N}{\partial x}}.

Lösningen på sådana ekvationer kom med uppfinningen av den integrerande faktorn av Leonhard Euler 1739.

Lösningsmetod

För att lösa ekvationen måste vi omvandla den till en exakt differentialekvation . För att göra det måste vi hitta en integrerande faktor $\mu$ att multiplicera ekvationen med. Vi börjar med själva ekvationen. ${\displaystyle M\,dx+N\,dy=0} ,$ så vi får $\mu M\,dx+\mu N\ ,dy=0$ . Vi kommer att kräva $\mu$ för att uppfylla ${\textstyle {\frac {\partial \mu M}{\partial y}}={\frac {\partial \ mu N}{\partial x}}}$ . Vi får

{\frac {\partial \mu }{\partial y}}M+{\frac {\partial M}{\partial y}}\mu ={\frac {\partial \mu }{\partial x} }N+{\frac {\partial N}{\partial x}}\mu .

Efter förenkling får vi

M\mu _{y}-N\mu _{x}+(M_{y}-N_{x})\ mu =0.

Eftersom detta är en partiell differentialekvation är den oftast extremt svår att lösa, men i vissa fall får vi antingen $\mu (x,y)=\mu (x )$ eller $\mu (x,y)=\mu (y)$ , i så fall behöver vi bara hitta $\mu$ med en första -ordning linjär differentialekvation eller en separerbar differentialekvation , och som sådan antingen