Oexakt skillnad

En inexakt differential eller imperfekt differential är en differential vars integral är vägberoende. Det används oftast inom termodynamik för att uttrycka förändringar i vägberoende storheter som värme och arbete, men definieras mer generellt inom matematik som en typ av differentialform . Däremot är en integral av en exakt differential alltid vägoberoende eftersom integralen verkar för att invertera differentialoperatorn. Följaktligen kan en storhet med en inexakt differential inte uttryckas som en funktion av endast variablerna inom differentialen. Dvs dess värde kan inte härledas bara genom att titta på de initiala och slutliga tillstånden för ett givet system. Inexakta differentialer används främst i beräkningar som involverar värme och arbete eftersom de är vägfunktioner , inte tillståndsfunktioner .

Definition

En inexakt differential $\delta u$ är en differential för vilken integralen över några två banor med samma ändpunkter är olika. Specifikt finns det integrerbara vägar $\gamma _{1},\gamma _{2}:[0,1]\to \mathbb {R}$ så att $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ , $\gamma _ {1}(1)=\gamma _{2}(1)$ och

$$\int _{\gamma _{1}}\delta u\not =\int _{\gamma _{2}}\delta u$$

I detta fall betecknar vi integralerna som $\Delta u|_{\gamma _{1}}$ och $\Delta u|_{\gamma _{2}}$ respektive för att tydliggöra sökvägsberoendet för förändringen av den kvantitet som vi betraktar som $u$ .

Mer generellt är en inexakt differential $\delta u$ en differentialform som inte är en exakt differential , dvs för alla funktioner $f$ ,

$$\mathrm {d} f\neq \delta u$$

Grundsatsen för kalkyl för linjeintegraler kräver banoberoende för att uttrycka värdena för ett givet vektorfält i termer av partiella derivator av en annan funktion som är den multivariata analogen till antiderivatan. Detta beror på att det inte kan finnas någon unik representation av ett antiderivat för inexakta skillnader eftersom deras variation är inkonsekvent längs olika vägar. Denna bestämmelse om vägoberoende är ett nödvändigt tillägg till kalkylens grundläggande sats eftersom det i endimensionell kalkyl bara finns en väg mellan två punkter som definieras av en funktion.

Notation

Termodynamik

Istället för differentialsymbolen d används symbolen δ , en konvention som har sitt ursprung i den tyske matematikern Carl Gottfried Neumanns arbete från 1800-talet, vilket indikerar att Q (värme) och W (arbete) är vägberoende, medan U (intern energi) ) är inte.

Statistisk mekanik

Inom statistisk mekanik betecknas ofta inexakta differentialer med en stapel genom differentialoperatorn, đ . I LaTeX är kommandot "\rlap{\textrm{d}}{\bar{\phantom{w}}}" en approximation eller helt enkelt "\dj" för ett färgtecken, som behöver T1 - kodningen .

Matematik

Inom matematiken brukar inexakta differentialer bara mer allmänt refereras till som differentialformer som ofta skrivs precis som $\omega$ .

Exempel

Totalt avstånd

När du går från en punkt $A$ till en punkt $B$ längs en linje ${\overline {AB}}$ (utan att ändra riktning) din nettoförskjutning och totala avstånd är båda lika med längden på nämnda linje $AB$ . Om du sedan återgår till punkt $A$ (utan att ändra riktning) är din nettoförskjutning noll medan din totala sträcka är $2AB$ . Detta exempel fångar den väsentliga idén bakom den inexakta skillnaden i en dimension. Observera att om vi tillät oss själva att ändra riktning, skulle vi kunna ta ett steg framåt och sedan bakåt när som helst när vi går från $A$ till $B$ och på så sätt öka den totala avstånd tillryggalagt till ett godtyckligt stort antal samtidigt som nettoförskjutningen hålls konstant, därav ordspråket två steg framåt ett steg bakåt.

Omarbetar ovanstående med differentialer och tar ${\overline {AB}}$ längs $x$ -axeln, är nettoavståndsskillnaden $\mathrm { d} f=\mathrm {d} x$ , en exakt differential med antiderivata $x$ . Å andra sidan är den totala avståndsskillnaden $|\mathrm {d} x|$ , som inte har en antiderivata. Vägen som tas är $\gamma :[0,1]\to {\overline {AB}}$ där det finns en tid $t \in (0,1)$ så att $\gamma$ är strikt ökande före $t$ och strikt minskande efteråt. Då $\mathrm {d} x$ positiv före $t$ och negativ efteråt, vilket ger integralerna,

$$\Delta f=\int _{\gamma }\mathrm {d} x=0$$

$$\Delta g|_{\gamma }=\int _{\gamma }|\mathrm { d} x|=\int _{A}^{B}\mathrm {d} x+\int _{B}^{A}(-\mathrm {d} x)=2\int _{A}^{ B}\mathrm {d} x=2AB$$

exakt de resultat vi förväntade oss av det verbala argumentet innan.

Termodynamikens första lag

Inexakta skillnader dyker upp explicit i termodynamikens första lag ,

$$\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W$$

där $U$ är energin, $\delta Q$ är den differentiella förändringen i värme och $\delta W$ är den differentiella förändringen i arbetet. Utifrån det termodynamiska systemets konstanter kan vi parametrisera medelenergin på flera olika sätt. Till exempel, i det första steget av Carnot-cykeln (som är isentropisk) värms en gas upp av en reservoar, vilket ger oss en isotermisk expansion av den gasen. Under detta skede är volymen konstant medan någon skillnad i värmemängd $\delta Q=SdT$ kommer in i gasen. Under det andra steget tillåts gasen att expandera fritt, vilket ger en viss differentiell mängd arbete $\delta W=PdV$ . Det tredje steget liknar det första steget, förutom att värmen går förlorad vid kontakt med en kall reservoar, medan den fjärde cykeln är som den andra, förutom att omgivningen gör arbete på systemet för att komprimera gasen. Eftersom de övergripande förändringarna i värme och arbete är olika över olika delar av cykeln, finns det en nettoförändring som inte är noll i värme och arbete, vilket indikerar att skillnaderna $\delta Q$ och $\delta W$ måste vara inexakta differenser.

Intern energi U är en tillståndsfunktion , vilket innebär att dess förändring kan härledas bara genom att jämföra två olika tillstånd i systemet (oberoende av dess övergångsväg), vilket vi därför kan indikera med U ₁ och U ₂ . Eftersom vi kan gå från tillstånd U ₁ till tillstånd U ₂ antingen genom att tillhandahålla värme Δ Q = U ₂ − U ₁ eller arbete Δ W = U ₂ − U ₁ , identifierar en sådan tillståndsändring inte entydigt mängden arbete W som utförts till systemet eller värme Q överförs, men bara förändringen i intern energi Δ U .

Värme och arbete

En brand kräver värme, bränsle och ett oxidationsmedel. Den energi som krävs för att övervinna aktiveringsenergibarriären för förbränning överförs som värme till systemet, vilket resulterar i förändringar i systemets inre energi. I en process kan energitillförseln för att starta en brand bestå av både arbete och värme, till exempel när man gnuggar tinder (arbete) och upplever friktion (värme) för att starta en brand. Den efterföljande förbränningen är mycket exoterm, vilket avger värme. Den övergripande förändringen i intern energi avslöjar inte sättet för energiöverföring och kvantifierar endast nätet och värmen. Skillnaden mellan initiala och slutliga tillstånd av systemets interna energi svarar inte för omfattningen av de energiinteraktioner som inträffade. Därför är intern energi en tillståndsfunktion (dvs exakt differential), medan värme och arbete är vägfunktioner (dvs inexakta skillnader) eftersom integration måste ta hänsyn till vägen som tagits.

Integrerande faktorer

Det är ibland möjligt att omvandla en inexakt differential till en exakt med hjälp av en integrerande faktor . Det vanligaste exemplet på detta inom termodynamik är definitionen av entropi :

$$\mathrm {d} S={\frac {\delta Q_{\text{rev}}}{T}}$$

I detta fall är δQ en inexakt differential, eftersom dess effekt på systemets tillstånd kan kompenseras av δW . Men när det divideras med den absoluta temperaturen och när utbytet sker vid reversibla förhållanden (därför _varvtal ), producerar det en exakt differential: entropin S är också en tillståndsfunktion.

Exempel

Tänk på den inexakta differentialformen,

$$\delta u=2y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y.$$

Detta måste vara inexakt genom att överväga att gå till punkten ( 1,1) . Om vi ​​först ökar y och sedan ökar x , så motsvarar det att först integrera över y och sedan över x . Integrering över y först bidrar med ${\textstil \int _{0}^{1}x\,dy|_{x=0}=0}$ och sedan integrera över x bidrar ${\textstil \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {\mathrm {d} } x|_{y=1}=2}$ . Längs den första banan får vi alltså värdet 2. Men längs den andra banan får vi värdet ${\textstil \int _{0}^{1}2y\,\mathrm {d} x|_{y=0}+\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} y|_{x=1}=1}$ . Vi kan göra $\delta u$ till en exakt differential genom att multiplicera den med x , vilket ger

$$x\,\delta u=2xy\,\mathrm {d} x+x^{2}\,\mathrm {d} y=\mathrm {\mathrm {d} } (x^{2}y)$$

. Och så $x\,\delta u$ är en exakt differential.

Se även

• Slutna och exakta differentialformer för en behandling på högre nivå
• Differential (matematik)
• Exakt differential
• Exakt differentialekvation
• Integreringsfaktor för att lösa icke-exakta differentialekvationer genom att göra dem exakta
• Konservativa vektorfält

externa länkar

• Inexact Differential – från Wolfram MathWorld
• Exakta och inexakta skillnader – University of Arizona
• Exakta och inexakta skillnader – University of Texas
• Exact Differential – från Wolfram MathWorld