Projektivt omslag

I den gren av abstrakt matematik som kallas kategoriteori är en projektiv täckning av ett objekt X på sätt och vis den bästa approximationen av X av ett projektivt objekt P. Projektiva omslag är två av injektionskuvert .

Definition

Låt ${\mathcal {C}}$ vara en kategori och X ett objekt i ${\mathcal {C}}$ . Ett projektivt omslag är ett par ( P , p ), med P ett projektivt objekt i ${\mathcal {C}}$ och p en överflödig epimorfism i Hom( P , X ).

Om R är en ring, då i kategorin R -moduler, är en överflödig epimorfism då en epimorfism $p:P\to X$ så att kärnan i p är en överflödig submodul av P .

Egenskaper

Projektiva omslag och deras överflödiga epimorfismer, när de finns, är unika upp till isomorfism . Isomorfismen behöver dock inte vara unik, eftersom den projektiva egenskapen inte är en fullfjädrad universell egenskap .

Huvudeffekten av att p har en överflödig kärna är följande: om N är någon riktig undermodul av P , då är $p(N)\neq M$ . Informellt sett visar detta att den överflödiga kärnan gör att P täcker M optimalt, det vill säga att ingen undermodul av P skulle räcka. Detta beror inte på projektiviteten hos P : det är sant för alla överflödiga epimorfismer.

Om ( P , p ) är ett projektivt omslag till M , och P' är en annan projektiv modul med en epimorfism $p':P'\rightarrow M$ , så finns det en delad epimorfism α från P' till P så att $p\alpha =p'$

Till skillnad från injektionskuvert och platta omslag , som finns för varje vänster (höger) R -modul oavsett ringen R , har vänster (höger) R -moduler i allmänhet inte projektiva omslag. En ring R kallas vänster (höger) perfekt om varje vänster (höger) R -modul har ett projektivt lock i R -Mod (Mod- R ).

En ring kallas semiperfekt om varje ändligt genererad vänster (höger) R -modul har ett projektivt hölje i R -Mod (Mod- R ). "Semiperfekt" är en vänster-höger symmetrisk egenskap.

En ring kallas lift/rad om idempotenta lyfter från R / J till R , där J är Jacobson-radikalen till R . Egenskapen att vara lift/rad kan karakteriseras i termer av projektiva lock: R är lift/rad om och endast om direkta summeringar av R -modulen R / J (som en höger- eller vänstermodul) har projektiva lock.

Exempel

I kategorin R- moduler:

• Om M redan är en projektiv modul, så är identitetskartan från M till M en överflödig epimorfism (dess kärna är noll). Därför har projektiva moduler alltid projektiva omslag.
• Om J( R )=0, så har en modul M ett projektivt skydd om och endast om M redan är projektiv.
• I fallet att en modul M är enkel , så är det nödvändigtvis toppen av dess projektiva hölje, om den finns.
• Injektionshöljet för en modul finns alltid, men över vissa ringar kanske moduler inte har projektiva lock. Till exempel är den naturliga kartan från Z till Z /2 Z inte ett projektivt omslag av Z -modulen Z /2 Z (som faktiskt inte har något projektivt omslag). Klassen av ringar som förser alla sina rätta moduler med projektiva lock är klassen av rätt perfekta ringar .
• Varje R -modul M har ett platt lock , vilket är lika med det projektiva locket om R har ett projektivt lock.

Se även

• Projektiv upplösning

•   Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R (1992). Ringar och kategorier av moduler . Springer. ISBN 0-387-97845-3 . Hämtad 2007-03-27 .
• Faith, Carl (1976), Algebra. II. Ringteori. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, nr 191. Springer-Verlag
•   Lam, TY (2001), A first course in noncommutative rings (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95183-0