Homotetiska preferenser

I konsumentteorin kallas en konsuments preferenser homotetiska om de kan representeras av en nyttofunktion som är homogen av grad 1. Till exempel, i en ekonomi med två varor $x,y$ , kan homotetiska preferenser vara representeras av en hjälpfunktion $u$ som har följande egenskap: för varje $a>0$ :

u(a\cdot x,a\cdot y)=a\cdot u(x,y)

Inom matematiken är en homotetisk funktion en monoton omvandling av en funktion som är homogen ; men eftersom ordinala nyttofunktioner endast definieras upp till en ökande monoton omvandling , finns det en liten skillnad mellan de två begreppen i konsumentteorin.

I en modell där konkurrenskraftiga konsumenter optimerar homotetiska nyttofunktioner med förbehåll för en budgetrestriktion , kommer andelen varor som efterfrågas av konsumenter att bero endast på relativa priser , inte på inkomst eller skala. Detta översätts till en linjär expansionsväg i inkomst: lutningen för indifferenskurvor är konstant längs strålar som börjar vid utgångspunkten. Det vill säga, Engel-kurvan för varje vara är linjär.

Dessutom kan den indirekta nyttofunktionen skrivas som en linjär funktion av välstånd $w$ :

v(p_{x},p_{y},w)=f(p_{x},p_{y} )\cdot w

vilket är ett specialfall av Gorman-polarformen . Om alla konsumenter har homotetiska preferenser (med samma koefficient på förmögenhetssikten), kan därför den aggregerade efterfrågan beräknas genom att betrakta en enda "representativ konsument" som har samma preferenser och samma samlade inkomst.

Exempel

Nyttofunktioner med konstant substitutionselasticitet (CES) är homotetiska. De kan representeras av en hjälpfunktion som:

u(x,y)=\left(\left({x \over w_{x}} \right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}

Denna funktion är homogen av grad 1:

u(ax,ay)=\left(a^{r}\left({x \over w_{x}}\right)^{ \!r}+a^{r}\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=(a^{r} )^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\ !r}\ \right)^{\!1/r}=au(x,y)

Linjära verktyg , Leontief verktyg och Cobb–Douglas verktyg är specialfall av CES-funktioner och är därför också homotetiska.

Å andra sidan är kvasilinjära verktyg inte alltid homotetiska. Exempelvis kan funktionen $u(x,y)=x+{\sqrt {y}}$ inte representeras som en homogen funktion.

Intratemporalt kontra intertemporalt homotetiska preferenser

Preferenser är intratemporalt homotetiska om konsumenter med olika inkomster men som står inför samma priser och med identiska preferenser under samma tidsperiod efterfrågar varor i samma proportioner.

Preferenser är intertemporalt homotetiska om, över tidsperioder, rika och fattiga beslutsfattare är lika motvilliga till proportionella fluktuationer i konsumtionen.

Modeller för modern makroekonomi och offentliga finanser antar ofta den konstanta-relativa-risk-aversion-formen för inom perioden nytta (även kallad kraftverket eller isoelastiskt verktyg ). Anledningen är att, i kombination med additivitet över tid, ger detta homotetiska intertemporala preferenser och denna homoteticitet är av stor analytisk bekvämlighet (det möjliggör till exempel analys av stabila tillstånd i tillväxtmodeller). Dessa antaganden innebär att elasticiteten för intertemporal substitution , och dess invers, koefficienten för (risk)aversion, är konstanta.

Bevis

Det är dock välkänt att konsumtionsmönstren i verkligheten förändras med ekonomiskt välstånd. Detta betyder att preferenser faktiskt inte är homotetiska. Det har länge konstaterats att relativa prisförändringar påverkar människor olika även om alla står inför samma prisuppsättning.

Se även