Linjär nytta

Inom ekonomi och konsumentteori är en linjär nyttofunktion en funktion av formen:

$u(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m })=w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\dots w_{m}x_{m}$

eller, i vektorform:

$u({\överhögerpil {x}})={\överhögerpil {w}}\cdot {\överhögerpil {x}}$

var:

• $m$ är antalet olika varor i ekonomin.
• ${\overrightarrow {x}}$ är en vektor med storleken $m$ som representerar en bunt . Elementet $x_{i}$ representerar mängden gott $i$ i paketet.
• ${\overrightarrow {w}}$ är en vektor med storleken ${\displaystyle m} som representerar$ konsumentens subjektiva preferenser . Elementet $w_{i}$ representerar det relativa värde som konsumenten tilldelar varan $i$ . Om $w_{i}=0$ betyder det att konsumenten tycker att produkten $i$ är totalt värdelös. Ju högre $w_{i}$ är, desto mer värdefull är en enhet av denna produkt för konsumenten.

En konsument med en linjär nyttofunktion har följande egenskaper:

• Preferenserna är strikt monotona : att ha en större kvantitet av ens en enda vara ökar strikt användbarheten.
• Preferenserna är svagt konvexa , men inte strikt konvexa: en blandning av två ekvivalenta buntar motsvarar originalbuntarna, men inte bättre än det.
• Marginalsubstitutionsgraden för alla varor är konstant . För varje två varor $i,j$ :

$MRS_{i,j}=w_{i}/w_{j$ .

• Indifferenskurvorna är raka linjer (när det finns två varor) eller hyperplan (när det finns fler varor) .
• Varje efterfrågekurva (efterfrågan som en funktion av priset) är en stegfunktion : konsumenten vill köpa noll enheter av en vara vars nytta/prisförhållande är under maxvärdet, och vill köpa så många enheter som möjligt av en vara vars nytta /prisförhållandet är maximalt.
• Konsumenten betraktar varorna som perfekta ersättningsvaror .

Ekonomi med linjära verktyg

Definiera en linjär ekonomi som en bytesekonomi där alla agenter har linjära nyttofunktioner. En linjär ekonomi har flera egenskaper.

Antag att varje agent $A$ har en initial begåvning ${\overrightarrow {e_{A}}}$ . Detta är en vektor med storleken $m$ där elementet $e_{A,i}$ representerar mängden vara $i$ som ursprungligen ägs av agent ${\ displaystil A}$ . Sedan är det initiala verktyget för denna agent ${\overrightarrow {w_{A}}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$ .

Antag att marknadspriserna representeras av en vektor ${\overrightarrow {p}}$ - en vektor med storleken $m$ där elementet $p_{i}$ är pris på varan $i$ . Sedan är budgeten för agent $A$${\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$ . Medan denna prisvektor är i kraft har agenten råd med alla och endast de paket ${\overrightarrow {x}}$ som uppfyller budgetbegränsningen : ${\ displaystyle {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x}}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}}$ .

Konkurrensjämvikt

En konkurrenskraftig jämvikt är en prisvektor och en allokering där kraven från alla agenter tillgodoses (efterfrågan på varje vara är lika med dess utbud). I en linjär ekonomi består den av en prisvektor ${\overrightarrow {p}}$ och en allokering $X$ , vilket ger varje agent en bunt ${\overrightarrow {x_ {A}}}$ så att:

• ${\displaystyle \sum _{A}{\overrightarrow {x_{A}}}=\summa _{A}{\overrightarrow {e_{A}}}} ($ den totala mängden av alla varor är densamma som i den ursprungliga tilldelningen; inga varor produceras eller förstörs).
• För varje agent ${\displaystyle A} maximerar$ dess allokering ${\overrightarrow {x_{A}}}$ nyttan av agenten, ${\overrightarrow {w_ {A}}}\cdot {\overrightarrow {x}}$ , med förbehåll för budgetbegränsningen ${\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x }}\leq {\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {e_{A}}}$ .

I jämvikt har varje agent endast varor för vilka hans nytta/pris-förhållande är svagt maximalt. Dvs, om agent $A$ håller good $i$ i jämvikt, då för alla andra goda $j$ :

$w_{A,i}/p_{i}\geq w_{A,j}/p_{j}$

(annars skulle agenten vilja byta ut en viss kvantitet av good $i$ med good $j$ , och därmed bryta jämvikten).

Utan förlust av allmänhet är det möjligt att anta att varje vara önskas av minst en agent (annars kan denna vara ignoreras för alla praktiska ändamål). Under detta antagande måste ett jämviktspris på en vara vara strikt positivt (annars skulle efterfrågan vara oändlig).

Förekomst av konkurrenskraftig jämvikt

David Gale visade sig vara nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för existensen av en konkurrenskraftig jämvikt i en linjär ekonomi. Han bevisade också flera andra egenskaper hos linjära ekonomier.

En uppsättning $S$ av agenter kallas självförsörjande om alla medlemmar i $S$ tilldelar ett positivt värde endast för varor som uteslutande ägs av medlemmar i $S$ (med andra ord, de tilldelar värdet $w_{i}=0$ till alla produkter $i$ som ägs av medlemmar utanför $S$ ). Uppsättningen $S$ kallas supersjälvförsörjande om någon i $S$ äger en vara som inte värderas av någon medlem i $S$ (inklusive honom själv). Gales existenssats säger att:

En linjär ekonomi har en konkurrenskraftig jämvikt om och endast om ingen uppsättning agenter är supersjälvförsörjande.

Bevis på "bara om"-riktning : Antag att ekonomin är i jämvikt med pris ${\overrightarrow {p}}$ och allokering $x$ . Antag att $S$ är en självförsörjande uppsättning agenter. Sedan handlar alla medlemmar i $S$ endast med varandra, eftersom varorna som ägs av andra agenter är värdelösa för dem. Därför uppfyller jämviktsallokeringen:

$\sum _{A\in S}{\overrightarrow {x_{A}}}=\summa _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A}}}$ .

Varje jämviktsallokering är Pareto-effektiv . Detta betyder att, i jämviktsallokeringen $x$ , hålls varje vara endast av en agent som tilldelar den varan positivt värde. Med den nyss nämnda likheten, för varje vara $i$ , är den totala mängden $i$ som innehas av medlemmar i $S$ i jämviktstilldelningen $x$ lika med det totala beloppet av $i$ som innehas av medlemmar i $S$ i den initiala allokeringen $e$ . I den initiala allokeringen $e$ hålls därför varje vara av en medlem av ${\displaystyle S} ,$ endast om den är värdefull för en eller flera medlemmar av $S$ . Därför $S$ inte supersjälvförsörjande.

Konkurrensjämvikt med lika inkomster

Konkurrensjämvikt med lika inkomster (CEEI) är en speciell typ av konkurrensjämvikt, där budgeten för alla aktörer är densamma. Dvs för varannan agent $A$ och $B$ :

${\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_{A}}}={\overrightarrow {p}}\cdot {\overrightarrow {x_ {B}}}$

CEEI-tilldelningen är viktig eftersom den garanterat är fri från avundsjuka : paketet $x_{A}$ ger agent $A$ en maximal användbarhet bland alla paket med samma pris, så i speciellt det ger honom minst lika mycket användbarhet som paketet $x_{B}$ .

Ett sätt att uppnå ett CEEI är att ge alla agenter samma initiala belopp, dvs för varje $A$ och $B$ :

${\overrightarrow {e_{A}}}={\overrightarrow {e_{B}}}$

(om det finns $n$ agenter så får varje agent exakt $1/n$ av kvantiteten av varje vara). I en sådan tilldelning är inga undergrupper av agenter självförsörjande. Därför, som en följd av Gales teorem:

I en linjär ekonomi existerar alltid en CEEI .

Exempel

I alla exempel nedan finns det två agenter - Alice och George, och två varor - äpplen (x) och guava (y).

A. Unik jämvikt : hjälpfunktionerna är:

$u_{A}(x,y)=3x+2y$ ,

$u_{G }(x,y)=2x+3y$ .

Den totala anslaget är $T=(6,6)$ . Utan förlust av generalitet kan vi normalisera prisvektorn så att $P_{x}=1$ . Vilka värden kan $P_{y}$ ha i CE? Om $P_{y}>3/2$ så vill båda agenterna ge alla sina y för om $P_{y}<2/3$ , då vill båda agenterna ge alla sina x för y; därför, $y}\leq 3/2$ CE } Om $P_{y}=2/3$ så är Alice likgiltig mellan x och y, medan George bara vill ha y. På liknande sätt, om $P_{y}=3/2$ , då är George likgiltig medan Alice bara vill ha x. Om $2/3<P_{y}<3/2$ , då vill Alice bara ha x medan George bara vill ha y. Därför måste CE-tilldelningen vara [(6,0);(0,6)]. Prisvektorn beror på den initiala allokeringen. T.ex. om den initiala allokeringen är lika, [(3,3);(3,3)], så har båda agenterna samma budget i CE, så $P_{y}=P_ {x}=1$ . Denna CE är i grunden unik: prisvektorn kan multipliceras med en konstant faktor, men CE-jämvikten kommer inte att förändras.

B. Ingen jämvikt : Antag att Alice håller äpplen och guava men vill bara ha äpplen. George håller bara guava men vill ha både äpplen och guava. Uppsättningen {Alice} är självförsörjande, eftersom Alice tror att alla varor som George innehar är värdelösa. Dessutom är uppsättningen {Alice} supersjälvförsörjande, eftersom Alice har guava som är värdelösa för henne. Det finns faktiskt ingen konkurrensjämvikt: oavsett priset skulle Alice vilja ge alla sina guavor för äpplen, men George har inga äpplen så hennes krav kommer att förbli ouppfyllda.

C. Många jämvikter : Anta att det finns två varor och två agenter, båda agenterna tilldelar båda varorna samma värde (t.ex. för dem båda, $w_{äpplen}=w_{guavas}=1$ ). Sedan, i jämvikt, kan medlen byta ut några äpplen mot lika många guava, och resultatet blir fortfarande en jämvikt. Till exempel, om det finns en jämvikt där Alice håller 4 äpplen och 2 guava och George har 5 äpplen och 3 guava, då är situationen där Alice håller 5 äpplen och 1 guava och George 4 äpplen och 4 guava också en jämvikt.

Men i båda dessa jämvikter är den totala nyttan av båda agenterna densamma: Alice har nytta 6 i båda jämvikterna och George har nytta 8 i båda jämvikterna. Detta är ingen slump, som visas i följande avsnitt.

Det unika med hjälpmedel i konkurrensmässig jämvikt

Gale bevisade att:

I en linjär ekonomi är alla agenter likgiltiga mellan alla jämvikter .

Bevis. Beviset är genom induktion på antalet handlare. När det bara finns en enskild näringsidkare är påståendet uppenbart. Anta att det finns två eller flera handlare och betrakta två jämvikter: jämvikt X med prisvektor ${\overrightarrow {p}}$ och allokering $x$ och jämvikt Y med prisvektor ${\overrightarrow {q}}$ och allokering $y$ . Det finns två fall att överväga:

a. Prisvektorerna är desamma upp till multiplikativ konstant: ${\overrightarrow {p}}=C\cdot {\overrightarrow {q}}$ för någon konstant $C$ . Detta innebär att i båda jämvikterna har alla agenter exakt samma budget (de har råd med exakt samma paket). I jämvikt är nyttan av varje agent den maximala nyttan av en bunt i budgetuppsättningen; om budgetuppsättningen är densamma, så är den maximala nyttan i den uppsättningen också.

b. Prisvektorerna är inte proportionella. Det betyder att priset på vissa varor förändrades mer än andra. Definiera den högsta prishöjningen som:

$M:=\max _{i}{q_{i}/p_{i}}$

och definiera de varor som har högst prisstigande varor som de varor som upplevde den maximala prisförändringen (detta måste vara en riktig delmängd av alla varor eftersom prisvektorerna inte är proportionella):

$H:=\{i|q_{i}/p_{i}=M\}$

och definiera innehavarna av den högsta prishöjningen som de handlare som innehar en eller flera av dessa varor med maximal prisförändring i Jämvikt Y:

$S:=\{A|y_{A,i}>0{\text{ för vissa }}i\in H\}$

I jämvikt håller agenter endast varor vars nytta/prisförhållande är svagt maximalt. Så för alla agenter i ${\displaystyle S} är$ nytto/prisförhållandet för alla varor i $H$ svagt maximalt under prisvektorn ${\overrightarrow {q}}$ . Eftersom varorna i $H$ upplevde den högsta prisstegringen, när prisvektorn är ${\overrightarrow {p}}$ är deras nytta/prisförhållande starkt maximalt. Därför, i Jämvikt X, innehåller alla agenter i $S$ endast varor från $H$ . I jämvikt X måste någon hålla varor som inte är i $H$ ; därför $S$ vara en riktig delmängd av agenterna.

Så i jämvikt X innehåller ${\displaystyle S} -agenterna$ endast ${\displaystyle H} -varor$$H$ och i jämvikt Y, $S$ -agenter håller alla H -varor. Detta gör att vi kan göra några budgetberäkningar:

Å ena sidan, i jämvikt X med pris ${\overrightarrow {p}}$ , spenderar $S$ -agenterna hela sin budget på $H$ -varor, så:

${\overrightarrow {p}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A} }}\leq \sum _{i\in H}{p_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}$

(där ${\overrightarrow {e_{i}}}$ är den totala initiala donationen från good $i$ ).

Å andra sidan, i jämvikt Y med pris ${\overrightarrow {q}}$ , har $S$ -agenterna råd med alla $H$ -varor, så:

${\overrightarrow {q}}\cdot \sum _{A\in S}{\overrightarrow {e_{A} }}\geq \sum _{i\in H}{q_{i}\cdot {\overrightarrow {e_{i}}}}$

Att kombinera dessa ekvationer leder till slutsatsen att i båda jämvikterna handlar $S$ -agenterna endast med varandra:

$\sum _{A\in S}{y_{A}}=\summa _{A\in S}{x_ {A}}=\summa _{A\in S}{e_{A}}$ .

Därför handlar agenterna som inte är i $S$ också bara med varandra. Detta betyder att jämvikt X består av två jämvikter: en som endast involverar $S$ -agenter och $H$ -varor, och den andra som endast involverar icke- $S$ -agenter och icke- $H$ -varor. Detsamma gäller för agent Y. Eftersom $S$ är en riktig delmängd av agenterna, kan induktionsantagandet åberopas och satsen bevisas.

Beräkna konkurrensjämvikt

Eaves presenterade en algoritm för att hitta en konkurrenskraftig jämvikt i ett ändligt antal steg, när en sådan jämvikt existerar.

Relaterade begrepp

Linjära verktygsfunktioner är en liten delmängd av kvasilinjära verktygsfunktioner .

Varor med linjära nyttigheter är ett specialfall av ersättningsvaror .

Antag att mängden varor inte är ändlig utan kontinuerlig. Varan är till exempel en heterogen resurs, såsom mark. Då är nyttofunktionerna inte funktioner av ett ändligt antal variabler, utan snarare setfunktioner definierade på Borel-delmängder av landet. Den naturliga generaliseringen av en linjär nyttofunktion till den modellen är en additiv uppsättningsfunktion . Detta är det vanliga fallet i teorin om rättvis tårtskärning . En förlängning av Gales resultat till denna inställning ges av Wellers teorem .

Under vissa förhållanden kan en ordinal preferensrelation representeras av en linjär och kontinuerlig nyttofunktion.