Indirekt nyttofunktion

Inom ekonomi ger en konsuments indirekta nyttofunktion $v(p,w)$ konsumentens maximalt uppnåbara nytta när den står inför en vektor $p$ av varupriser och ett inkomstbelopp $w$ . Det speglar både konsumentens preferenser och marknadsvillkor.

Denna funktion kallas indirekt eftersom konsumenterna vanligtvis tänker på sina preferenser i termer av vad de konsumerar snarare än priser. En konsuments indirekta nytta $v(p,w)$ kan beräknas från hans eller hennes hjälpfunktion $u(x),$ definierad över vektorer $x$ kvantiteter av förbrukningsvaror, genom att först beräkna det mest föredragna prisvärda paketet, representerat av vektorn $x(p,w)$ genom att lösa nyttomaximeringsproblemet och sedan beräkna nyttan $u(x(p,w))$ konsumenten härleder från det paketet. Den resulterande indirekta nyttofunktionen är

$v(p,w)=u(x(p,w)).$

Den indirekta hjälpfunktionen är:

• Kontinuerlig på R ⁿ ₊ × R ₊ där n är antalet varor;
• Sjunkande priser;
• Strikt ökande inkomst;
• Homogen med nollgrad i priser och inkomst; om priser och inkomster alla multipliceras med en given konstant representerar samma konsumtionspaket ett maximum, så optimal nytta förändras inte;
• kvasi-konvex i ( p , w ).

Dessutom anger Roys identitet ${ \displaystyle {\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0} ,$ om v ( p , w ) är differentierbar vid $(p^{0},w^{0})$ och sedan

$-{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0} )/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.$

Indirekt nytta och utgifter

Den indirekta nyttofunktionen är inversen av utgiftsfunktionen när priserna hålls konstanta. Dvs för varje prisvektor $p$ och nyttonivå $u$ :

$v(p,e(p,u))\equiv u$

Exempel

Låt oss säga att hjälpfunktionen är Cobb-Douglas-funktionen $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^ {.6}x_{2}^{.4},$ som har Marshallian efterfrågefunktioner

$x_{1}(p_{1}, p_{2 })={\frac {.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {och}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{ 2})={\frac {.4w}{p_{2}}},$

där $w$ är konsumentens inkomst. Den indirekta nyttofunktionen $v(p_{1},p_{2},w)$ hittas genom att ersätta kvantiteterna i nyttofunktionen med efterfrågefunktionerna så här:

$v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6 }(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6w}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {. 4w}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}*.4^{.4})w^{.6+.4}p_{1}^{ -.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}w,$

där $K=(.6^{.6}*.4^{.4}).$ Observera att verktygsfunktionen visar verktyget för vilka kvantiteter dess argument än har, även om de inte är optimala för konsumenten och gör det. inte lösa hans nyttomaximeringsproblem. Den indirekta nyttofunktionen förutsätter däremot att konsumenten har härlett sina efterfrågefunktioner optimalt för givna priser och inkomster.

Se även

• Gorman polär form
• Hicksian efterfrågefunktion
• Värdefunktion

Vidare läsning

•   Cornes, Richard (1992). "Individuellt konsumentbeteende: direkta och indirekta nyttofunktioner". Dualitet och modern ekonomi . New York: Cambridge University Press. s. 31–62. ISBN 0-521-33601-5 .
•   Jehle, GA ; Reny, PJ (2011). Advanced Microeconomic Theory (tredje upplagan). Harlow: Prentice Hall. s. 28–33. ISBN 978-0-273-73191-7 .
•   Luenberger, David G. (1995). Mikroekonomisk teori . New York: McGraw-Hill. s. 103–107. ISBN 0-07-049313-8 .
•   Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995). Mikroekonomisk teori . New York: Oxford University Press. s. 56–57. ISBN 0-19-507340-1 .
•   Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions (Andra upplagan). Hinsdale: Dryden Press. s. 57–59. ISBN 0-03-020831-9 .