Ordinal nytta

Inom ekonomi är en ordinal nyttofunktion en funktion som representerar en agents preferenser på en ordinalskala . Ordinal nytta teori hävdar att det bara är meningsfullt att fråga vilket alternativ som är bättre än det andra, men det är meningslöst att fråga hur mycket bättre det är eller hur bra det är. All teori om konsumenternas beslutsfattande under villkor av säkerhet kan uttryckas, och är typiskt, uttryckt i termer av ordinär nytta.

Anta till exempel att George säger till oss att "Jag föredrar A framför B och B framför C". Georges preferenser kan representeras av en funktion u så att:

u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1

Men kritiker av kardinal nytta hävdar att det enda meningsfulla budskapet i denna funktion är ordningen $u(A)>u(B)>u(C)$ ; de faktiska siffrorna är meningslösa. Därför kan Georges preferenser också representeras av följande funktion v :

v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1

Funktionerna u och v är normalt ekvivalenta – de representerar Georges preferenser lika väl.

Ordinal nytta står i kontrast till kardinal nytta teori: den senare antar att skillnaderna mellan preferenser också är viktiga. I u är skillnaden mellan A och B mycket mindre än mellan B och C, medan i v är det motsatta. Därför är u och v inte kardinalt ekvivalenta.

Ordinal nyttokonceptet introducerades först av Pareto 1906.

Notation

Antag att mängden av alla tillstånd i världen är $X$ och en agent har en preferensrelation på $X$ . Det är vanligt att markera den svaga preferensrelationen med $\preceq$ , så att $A\preceq B$ läser "agenten vill ha B minst lika mycket som A".

Symbolen $\sim$ används som en förkortning till indifferensrelationen: $A\sim B\iff (A\preceq B\land B\ preceq A)$ , som lyder "Agenten är likgiltig mellan B och A".

Symbolen $\prec$ används som en förkortning till den starka preferensrelationen: $A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)$ , som lyder "Agenten föredrar strikt B framför A".

En funktion $u:X\to \mathbb {R}$ sägs representera relationen $\preceq$ om:

A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)

Relaterade begrepp

Mappningar av likgiltighetskurvor

Istället för att definiera en numerisk funktion kan en agents preferensrelation representeras grafiskt av indifferenskurvor. Detta är särskilt användbart när det finns två typer av varor, x och y . Sedan visar varje indifferenskurva en uppsättning punkter $(x,y)$ så att, if $(x_{1},y_{1})$ och $(x_{2},y_{2})$ är på samma kurva, sedan $(x_ {1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})$ .

Ett exempel på en indifferenskurva visas nedan:

Varje indifferenskurva är en uppsättning punkter som var och en representerar en kombination av kvantiteter av två varor eller tjänster, alla dessa kombinationer konsumenten är lika nöjd med. Ju längre en kurva är från origo, desto högre är nyttan.

Kurvans lutning (den negativa av den marginala ersättningsgraden för X för Y) visar vid vilken punkt som helst den hastighet med vilken individen är villig att byta bort bra X mot goda Y med bibehållen samma nivå av nytta. Kurvan är konvex mot ursprunget som visas förutsatt att konsumenten har en minskande marginalsubstitution. Det kan visas att konsumentanalys med indifferenskurvor (ett ordinalt tillvägagångssätt) ger samma resultat som det som baseras på kardinal nyttoteorin — dvs. konsumenter kommer att konsumera vid den punkt där marginalsubstitutionsgraden mellan två godtyckliga varor är lika med förhållandet mellan priserna på dessa varor (lika marginalprincipen).

Avslöjad preferens

Revealed preference theory tar upp problemet med hur man observerar ordinala preferensrelationer i den verkliga världen. Utmaningen med teorin om avslöjade preferenser ligger delvis i att avgöra vilka varubuntar som försvann, på basis av att de var mindre omtyckta, när individer observeras välja särskilda varubuntar.

Nödvändiga förutsättningar för existensen av ordinal nyttofunktion

Vissa villkor på $\preceq$ är nödvändiga för att garantera existensen av en representerande funktion:

Transitivitet : om $A\preceq B$ och $B\preceq C$ så $A\preceq C$ .
Fullständighet: för alla paket $A,B\in X$ $A,B\in X$ : antingen $A\preceq B$ $A\preceq B$ eller $B\preceq A$ $B\preceq A$ eller båda.
- Fullständighet innebär också reflexivitet: för varje $A\in X$ : $A\preceq A$ .

När dessa villkor är uppfyllda och mängden $X$ är finit, är det lätt att skapa en funktion $u$ som representerar $\prec$ genom att bara tilldela ett lämpligt nummer till varje element i $X$ , som exemplifieras i det inledande stycket. Detsamma gäller när X är uträkneligt oändligt . Dessutom är det möjligt att induktivt konstruera en representerande nyttofunktion vars värden ligger i intervallet ( $\displaystyle (-1,1)}$ .

När $X$ är oändlig är dessa villkor otillräckliga. Till exempel lexikografiska preferenser transitiva och kompletta, men de kan inte representeras av någon hjälpfunktion. Det ytterligare villkoret som krävs är kontinuitet .

Kontinuitet

En preferensrelation kallas kontinuerlig om, närhelst B föredras framför A, små avvikelser från B eller A inte kommer att vända ordningen mellan dem. Formellt kallas en preferensrelation på en mängd X kontinuerlig om den uppfyller ett av följande ekvivalenta villkor:

För varje $A\in X$ , mängden $\{(A,B)|A\preceq B\}$ är topologiskt stängd i $X\ gånger X$ med produkttopologin (denna definition kräver $X$ för att vara ett topologiskt utrymme ).
För varje sekvens $(A_{i},B_{i})$ , om för alla i $A_{i}\preceq B_{i}$ och $A_{i}\to A$ och $B_{i}\to B$ , sedan $A\preceq B$ .
För varje $A,B\in X$ så att $A\prec B$ finns det en boll runt $A$ och en boll runt $B$ så att för varje $a$ i bollen runt $A$ och varje $b$ i bollen runt $B$ , $a\ prec b$ (denna definition kräver att $X$ är ett metriskt mellanslag ).

Om en preferensrelation representeras av en kontinuerlig nyttofunktion så är den helt klart kontinuerlig. Enligt Debreus (1954) satser gäller också motsatsen:

Varje kontinuerlig fullständig preferensrelation kan representeras av en kontinuerlig ordinal nyttofunktion.

Observera att de lexikografiska preferenserna inte är kontinuerliga. Till exempel, $(5,0)\prec (5,1)$ , men i varje boll runt (5,1) finns det punkter med $x<5$ och dessa punkter är sämre än $(5,0)$ . Detta är i enlighet med det ovan angivna faktumet att dessa preferenser inte kan representeras av en hjälpfunktion.

Unikhet

För varje hjälpfunktion v finns det en unik preferensrelation som representeras av v . Men det motsatta är inte sant: en preferensrelation kan representeras av många olika hjälpfunktioner. Samma preferenser kan uttryckas som vilken nyttofunktion som helst som är en monotont ökande transformation av v . T.ex. om

v(A)\equiv f(v(A))

där $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ är vilken monotont ökande funktion som helst, då ger funktionerna v och v identiska indifferenskurvmappningar.

Denna likvärdighet beskrivs kortfattat på följande sätt:

En ordinal nyttofunktion är unik upp till ökande monoton transformation .

Däremot är en kardinal nyttofunktion unik upp till ökande affin transformation . Varje affin transformation är monoton; därför, om två funktioner är kardinalt ekvivalenta, är de också ordinärt ekvivalenta, men inte vice versa.

Monotonicitet

Antag, från och med nu, att mängden $X$ är mängden av alla icke-negativa reella tvådimensionella vektorer. Så ett element av $X$ är ett par $(x,y)$ som representerar mängden som konsumeras från två produkter, t.ex. äpplen och bananer.

Sedan under vissa omständigheter representeras en preferensrelation $\preceq$ av en hjälpfunktion $v(x,y)$ .

Antag att preferensrelationen ökar monotont , vilket betyder att "mer är alltid bättre":

x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)

y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')

Då är båda partiella derivator, om de finns, av v positiva. Kortfattat:

Om en nyttofunktion representerar en monotont ökande preferensrelation, så ökar nyttofunktionen monotont.

Marginal substitutionsgrad

Anta att en person har en bunt $(x_{0},y_{0})$ och hävdar att han är likgiltig mellan denna bunt och bunten $(x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )$ . Det betyder att han är villig att ge $\lambda \cdot \delta$ enheter av x för att få $\delta$ enheter av y. Om detta förhållande hålls som $\to 0}$ $(x_{0},y_{0})$ , säger vi att $\lambda$ är den marginala substitutionsgraden (MRS) mellan x och y i punkten .

Denna definition av MRS baseras endast på den ordinala preferensrelationen – den beror inte på en numerisk hjälpfunktion. Om preferensrelationen representeras av en hjälpfunktion och funktionen är differentierbar, kan MRS beräknas från derivatorna av den funktionen:

MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.

Till exempel, om preferensrelationen representeras av $v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}$ så är $MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}} {b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}$ . MRS är densamma för funktionen $v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}$ . Detta är inte en slump eftersom dessa två funktioner representerar samma preferensrelation – var och en är en ökande monoton transformation av den andra.

I allmänhet kan MRS vara olika vid olika punkter $(x_{0},y_{0})$ . Till exempel är det möjligt att vid $(9,1)$ är MRS låg eftersom personen har många x och bara ett y , men vid $( 9,9)$ eller $(1,1)$ är MRS högre. Några specialfall beskrivs nedan.

Linjäritet

När MRS för en viss preferensrelation inte beror på paketet, dvs. MRS är densamma för alla ( $\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , är indifferenskurvorna linjära och av formen:

x+\lambda y={\text{const}},

och preferensrelationen kan representeras av en linjär funktion:

v(x,y)=x+\lambda y.

(Naturligtvis kan samma relation representeras av många andra icke-linjära funktioner, såsom ${\sqrt {x+\lambda y}}$ eller $( x+\lambda y)^{2}$ , men den linjära funktionen är enklast.)

Kvasilinjäritet

När MRS beror på $y_{0}$ men inte på ${\displaystyle x_{0}} ,$ kan preferensrelationen representeras av en kvasilinjär hjälpfunktion , av formen

v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)

där $v_{Y}$ är en viss monotont ökande funktion. Eftersom MRS är en funktion $\lambda (y)$ , kan en möjlig funktion $v_{Y}$ beräknas som en integral av $\lambda ( y)$ :

v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}

I det här fallet är alla indifferenskurvor parallella - de är horisontella överföringar av varandra.

Additivitet med två varor

En mer allmän typ av hjälpfunktion är en additiv funktion :

v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)

Det finns flera sätt att kontrollera om givna preferenser kan representeras av en additiv verktygsfunktion.

Dubbel avbokning egendom

Om inställningarna är additiva visar en enkel aritmetisk beräkning det

(x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})

och

(x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})

innebär

(x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})

så denna "dubbelavbrytande" egenskap är ett nödvändigt villkor för additivitet.

Debreu (1960) visade att den här egenskapen också är tillräcklig: dvs om en preferensrelation uppfyller egenskapen för dubbelutsläckning kan den representeras av en additiv nyttofunktion.

Motsvarande avvägningsegendom

Om inställningarna representeras av en additiv funktion, visar en enkel aritmetisk beräkning att

MRS(x_{2 },y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1 })}}

så denna "motsvarande kompromiss"-egenskap är ett nödvändigt villkor för additivitet. Detta villkor är också tillräckligt.

Additivitet med tre eller fler varor

När det finns tre eller flera varor är villkoret för additiviteten av nyttofunktionen förvånansvärt enklare än för två varor. Detta är ett resultat av sats 3 i Debreu (1960) . Villkoret som krävs för additivitet är förmånsoberoende .

En delmängd A av varor sägs vara preferentiellt oberoende av en delmängd B av varor, om preferensrelationen i delmängd A, givna konstanta värden för delmängd B, är oberoende av dessa konstanta värden. Anta till exempel att det finns tre varor: x y och z . Delmängden { x , y } är preferentiellt oberoende av delmängden { z }, om för alla $x_{i},y_{i},z,z'$ :

(x_{1}, y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2} ,z')

.

I det här fallet kan vi helt enkelt säga att:

(x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})

för konstant z .

Förmånsoberoende är meningsfullt när det gäller oberoende varor . Till exempel är preferenserna mellan knippen av äpplen och bananer förmodligen oberoende av antalet skor och strumpor som en agent har, och vice versa.

Enligt Debreus teorem, om alla delmängder av varor företrädesvis är oberoende av deras komplement, kan preferensrelationen representeras av en additiv värdefunktion. Här ger vi en intuitiv förklaring av detta resultat genom att visa hur en sådan additiv värdefunktion kan konstrueras. Beviset antar tre varor: x , y , z . Vi visar hur man definierar tre punkter för var och en av de tre värdefunktionerna $v_{x},v_{y},v_{z}$ : 0-punkten, 1-punkten och 2 poäng. Andra poäng kan beräknas på liknande sätt, och då kan kontinuitet användas för att dra slutsatsen att funktionerna är väldefinierade i hela sitt område.

0 poäng : välj godtyckliga $x_{0},y_{0},z_{0}$ och tilldela dem som nollpunkten för värdefunktionen, dvs:

v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{ 0})=0

1 poäng : välj godtycklig $x_{1}>x_{0}$ så att $(x_{1},y_ {0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})$ . Ställ in den som värdeenhet, dvs:

v_{x}(x_{1})=1

Välj $y_{1}$ och $z_{1}$ så att följande likgiltighetsrelationer gäller:

(x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{ 0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})

.

Denna indifferens tjänar till att skala enheterna för y och z för att matcha enheterna för x . Värdet i dessa tre punkter bör vara 1, så vi tilldelar

v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1

Punkt 2 : Nu använder vi antagandet om förmånsoberoende. Relationen mellan $(x_{1},y_{0})$ och $(x_{0},y_{1})$ är oberoende av z , och på liknande sätt är relationen mellan $(y_{1},z_{0})$ och $(y_{0},z_{1})$ oberoende av x och relationen mellan $(z_{1},x_{0})$ och $(z_{0},x_{1})$ är oberoende av y . Därav

(x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1}, z_{0}).

Detta är användbart eftersom det betyder att funktionen v kan ha samma värde – 2 – i dessa tre punkter. Välj $x_{2},y_{2},z_{2}$ så att

(x_{2},y_{0}, z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_ {1},z_{0})

och tilldela

v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{ z}(z_{2})=2.

3 poäng : För att visa att våra uppdrag hittills är konsekventa måste vi visa att alla poäng som får ett totalt värde på 3 är likgiltighetspoäng. Här används återigen antagandet om preferentiellt oberoende, eftersom förhållandet mellan $(x_{2},y_{0})$ och $(x_{ 1},y_{1})$ är oberoende av z (och på liknande sätt för de andra paren); därav

(x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1 },z_{1})

och liknande för de andra paren. Därför definieras 3-punkten konsekvent.

Vi kan fortsätta så här genom induktion och definiera per-varufunktionerna i alla heltalspunkter, och sedan använda kontinuitet för att definiera det i alla reella punkter.

Ett implicit antagande i punkt 1 i ovanstående bevis är att alla tre varorna är väsentliga eller preferensrelevanta . Detta betyder att det finns en bunt så att om mängden av en viss vara ökas så är den nya bunten absolut bättre.

Beviset för mer än 3 varor är liknande. Faktum är att vi inte behöver kontrollera att alla delmängder av punkter är preferentiellt oberoende; det räcker med att kontrollera ett linjärt antal varupar. T.ex. om det finns $m$ olika varor, $j=1,...,m$ , då räcker det att kontrollera att för alla $j=1,...,m-1$ , de två varorna $\{x_{j},x_{j+1}\}$ är företrädesvis oberoende av de andra $m-2$ -varorna.

Det unika med additiv representation

En additiv preferensrelation kan representeras av många olika additiva nyttofunktioner. Men alla dessa funktioner är likartade: de är inte bara ökande monotona transformationer av varandra ( liksom alla nyttofunktioner som representerar samma relation) ; de ökar linjära transformationer av varandra. Kortfattat,

En additiv ordinal nyttofunktion är unik upp till ökande linjär transformation .

Konstruera additiva och kvadratiska nyttofunktioner från ordningsdata

De matematiska grunderna för de vanligaste typerna av nyttofunktioner – kvadratiska och additiva – som lades upp av Gérard Debreu gjorde det möjligt för Andranik Tangian att utveckla metoder för deras konstruktion från rent ordinarie data. Speciellt kan additiva och kvadratiska nyttofunktioner i $n$ variabler konstrueras från intervjuer av beslutsfattare, där frågorna syftar till att spåra totalt $n$ 2D-indiferenskurvor i $n -1$ koordinera plan utan att hänvisa till kardinal nyttouppskattningar.

Jämförelse mellan ordinal och kardinal nyttofunktioner

Följande tabell jämför de två typerna av nyttofunktioner som är vanliga inom ekonomi:

	Mätnivå	Representerar preferenser på	Unikt upp till	Existens bevisad av	Används mestadels i
Ordinal nytta	Ordinalskala	Klart resultat	Ökande monoton transformation	Debreu (1954)	Konsumenteori under säkerhet
Kardinal nytta	Intervallskala	Slumpmässiga utfall (lotterier)	Ökande monoton linjär transformation	Von Neumann-Morgenstern (1947)	Spelteori , val under osäkerhet

Se även

externa länkar

Lexikografisk preferensrelation kan inte representeras av en hjälpfunktion . Inom Economics.SE
Känner igen linjära ordrar inbäddade i R2 ordnade lexikografiskt . I Math.SE.
Murray N. Rothbard , "Mot en rekonstruktion av nytto- och välfärdsekonomi"