Gorman polär form

Gorman polär form är en funktionell form för indirekta nyttofunktioner inom ekonomi .

Motivering

Standard konsumentteori är utvecklad för en enskild konsument. Konsumenten har en nyttofunktion, från vilken hans efterfrågekurvor kan beräknas. Sedan är det möjligt att förutsäga konsumentens beteende under vissa förhållanden, pris- eller inkomstförändringar. Men i verkligheten finns det många olika konsumenter, var och en med sin egen nyttofunktion och efterfrågekurva. Hur kan vi använda konsumentteori för att förutsäga beteendet i ett helt samhälle? Ett alternativ är att representera ett helt samhälle som en enda "megakonsument", som har en aggregerad nyttofunktion och en aggregerad efterfrågekurva. Men i vilka fall är det verkligen möjligt att representera ett helt samhälle som en enda konsument?

Formellt: betrakta en ekonomi med $n$ konsumenter, som var och en har en efterfrågefunktion som beror på hans inkomst $m^{i}$ och prissystemet:

x^{i}(p,m^{i})

Samhällets samlade efterfrågan är i allmänhet en funktion av prissystemet och hela inkomstfördelningen:

X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\ summa _{i=1}^{n}{x^{i}(p,m^{i})}

För att representera hela samhället som en enda konsument måste den samlade efterfrågan endast vara en funktion av priserna och den totala inkomsten, oavsett dess fördelning:

X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X( p,\summa _{i=1}^{n}{m^{i}})

Under vilka förutsättningar är det möjligt att representera den samlade efterfrågan på detta sätt?

Tidiga resultat av Antonelli (1886) och Nataf (1953) hade visat att, om man antar att alla individer står inför samma priser på en marknad, borde deras inkomstkonsumtionskurvor och deras Engel-kurvor (utgifter som funktion av inkomst) vara parallella räta linjer. Det betyder att vi kan beräkna en inkomst-konsumtionskurva för ett helt samhälle bara genom att summera konsumenternas kurvor. Med andra ord, anta att hela samhället ges en viss inkomst. Denna inkomst fördelas på något sätt mellan medlemmarna i samhället, sedan väljer varje medlem sin konsumtion efter sin inkomst-konsumtionskurva. Om kurvorna alla är parallella räta linjer kommer samhällets samlade efterfrågan att vara oberoende av inkomstfördelningen mellan agenterna .

Gormans form av utgiftsfunktionen

Gormans första publicerade artikel 1953 utvecklade dessa idéer för att svara på frågan om att representera ett samhälle av en enda individ. År 1961 publicerade Gorman en kort, fyra sidor lång artikel i Metroeconomica som härledde ett explicit uttryck för den funktionella formen av preferenser som ger upphov till linjära Engel-kurvor. Utgiftsfunktionen för varje konsument $i$ (den summa pengar som krävs för att nå en viss nyttonivå i ett visst prissystem) måste vara linjär i nyttan :

e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}( p)+g(p)\cdot u^{i}

,

där både $f^{i}\left(p\right)$ och $g\left(p\right)$ är homogena av grad ett i priser ( $p$ , en vektor). Detta homogenitetsvillkor säkerställer att $e^{i}\left(p,u\right)$ ger linjära Engel-kurvor.

$f^{i}\left(p\right)$ och $g\left(p\right)$ har fina tolkningar: $f^{i}\left(p\right)$ är utgifterna som behövs för att nå en referensnivå på noll för varje individ ( $i$ ), medan $g\left(p \right)$ är prisindexet som deflaterar den överskjutande penninginkomsten $e^{i}\left(p,u\right)-f^{i} (p)$ som behövs för att uppnå en användbarhetsnivå ${\bar {u}}$ . Det är viktigt att notera att $g\left(p\right)$ är samma för varje individ i ett samhälle, så Engel-kurvorna för alla konsumenter är parallella.

Gormans form av den indirekta nyttofunktionen

Att invertera denna formel ger den indirekta nyttofunktionen (nytta som funktion av pris och inkomst):

v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{ i}-f^{i}(p)}{g(p)}}

,

där $m$ är mängden inkomst som är tillgänglig för individen och motsvarar utgiften ( $e^{i}\left(p,u^{i}\ höger)$ ) i föregående ekvation. Detta är vad Gorman kallade "den polära formen av den underliggande nyttofunktionen." Gormans användning av termen polär var med hänvisning till idén att den indirekta nyttofunktionen kan ses som att använda polära snarare än kartesiska (som i direkta nyttofunktioner) koordinater för att beskriva indifferenskurvan. Här är inkomst ( $m^{i}$ ) analog med radien och priser ( $p$ ) till en vinkel.

Exempel

Två typer av preferenser som har den Gorman polära formen är:

Kvasilinjära verktyg

När verktygsfunktionen för agent $i$ har formen:

u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m

den indirekta nyttofunktionen har (förutsatt en interiörlösning) formen:

v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m

vilket är ett specialfall av Gorman-formen.

Faktum är att den marshalliska efterfrågefunktionen för den icke-linjära varan hos konsumenter med kvasilinjära verktyg inte alls beror på inkomsten (i detta kvaslinjära fall är efterfrågan på den linjära varan linjär i inkomst):

x_{i}(p,m)=(-dv(p)/dm)/(v(p)/dp_{i})= -1/(dv(p)/dp_{i})=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}

Därför beror den aggregerade efterfrågefunktionen för den olinjära varan inte heller på inkomst:

X(p,M)=\summa _{i=1}^{n}{(v_{i} ')^{-1}(p)}

Hela samhället kan representeras av en enda representativ agent med kvasilinjär nyttofunktion:

U(x,m)=U(x)+m

där funktionen $U$ uppfyller likheten:

(U')^{-1}(p)=\summa _{i=1}^ {n}{(v_{i}')^{-1}(p)}

I det speciella fallet där alla agenter har samma hjälpfunktion $u(x,m)=u(x)+m$ , är den aggregerade verktygsfunktionen:

U(x,M)=n\cdot u({x \över n})+M

Homotetiska preferenser

Den indirekta hjälpfunktionen har formen:

v(p,m_{i})=v(p)\cdot m

vilket också är ett specialfall av Gorman-formen.

Speciellt: linjära, Leontief och Cobb-Douglas verktyg är homotetiska och har därför Gorman-formen.

Bevis på linjäritet och likvärdighet hos Engel-kurvors lutning

För att bevisa att Engel-kurvorna för en funktion i Gorman-polär form är linjära , applicera Roys identitet på den indirekta nyttofunktionen för att få en Marshallsk efterfrågefunktion för en individ ( ${\displaystyle i} )$ och en god ( $n$ ):

x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{ i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i} }}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\ cdot {\frac {mf^{i}(p)}{g(p)}}

Detta är linjärt i inkomst ( $m$ ), så förändringen i en individs efterfrågan på någon vara med avseende på en förändring i den personens inkomst, ${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac { \partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}} ,$ beror inte på inkomst, och därför är Engelkurvor linjära.

Dessutom, eftersom denna förändring inte beror på variabler som är specifika för någon individ, är lutningarna på Engel-kurvorna för olika individer lika.

Ansökan

Många tillämpningar av Gorman polär form sammanfattas i olika texter och i Honohan och Nearys artikel. Dessa applikationer inkluderar enkel uppskattning av $f^{i}(p)$ och $g(p)$ i vissa fall. Men den viktigaste tillämpningen är för teoretikern inom ekonomi, eftersom den tillåter en forskare att behandla ett samhälle av nyttomaximerande individer som en enda individ. Med andra ord, under dessa förhållanden är det garanterat en gemenskapslikgiltighetskartläggning .

Se även

Antonelli, GB (1886). Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica . Pisa. Engelsk översättning i Chipman, JS; Hurwicz, L.; Richter, MK; et al., red. (1971). Preferenser, nytta och efterfrågan: A Minnesota Symposium . New York: Harcourt Brace Jovanovich. s. 333–360.
Gorman, WM (1961). "På en klass av preferensfält". Metroeconomica . 13 (2): 53–56. doi : 10.1111/j.1467-999X.1961.tb00819.x .
Nataf, A. (1953). "Sur des question d'agrégation en économétrie". Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris . 2, Fasc. Vol. 4: 5–61.