Leontief verktyg

Inom ekonomi , särskilt i konsumentteori , är en Leontief-verktygsfunktion en funktion av formen:

$$u(x_{1},\ldots ,x_{m})=\min \left\{{\frac {x_{1}}{w_{1}}},\ldots ,{\frac {x_ {m}}{w_{m}}}\right\}.$$

var:

• $m$ är antalet olika varor i ekonomin.
• $x_{i}$ (för $i\in 1,\dots ,m$ ) är mängden bra $i$ i paketet.
• $w_{i}$ (för $i\in 1,\dots ,m$ ) är vikten av varan $i$ för konsumenten.

Denna form av nyttofunktion konceptualiserades först av Wassily Leontief .

Exempel

Leontiefs nyttofunktioner representerar kompletterande varor . Till exempel:

• Antag att $x_{1}$ är antalet vänsterskor och $x_{2}$ antalet högerskor. En konsument kan bara använda ett par skor. Därför är hans nytta $\min(x_{1},x_{2})$ .
• I en cloud computing- miljö finns det en stor server som kör många olika uppgifter . Anta att en viss typ av uppgift kräver 2 processorer , 3 gigabyte minne och 4 gigabyte diskutrymme för att slutföra. Användarens nytta är lika med antalet slutförda uppgifter. Därför kan den representeras av: ${\textstyle \min({x_{\mathrm {CPU} } \over 2},{x_{\mathrm {MEM} } \over 3},{x_{\mathrm {DISK} } \over 4})}$ .

Egenskaper

En konsument med en Leontief-verktygsfunktion har följande egenskaper:

• Preferenserna är svagt monotona men inte starkt monotona: att ha en större kvantitet av en enskild vara ökar inte användbarheten, men att ha en större kvantitet av alla varor gör det.
• Preferenserna är svagt konvexa , men inte strikt konvexa: en blandning av två ekvivalenta buntar kan vara antingen likvärdiga med eller bättre än de ursprungliga buntarna.
• Indifferenskurvorna är L-formade och deras hörn bestäms av vikterna . För t.ex. funktionen $\min(x_{1}/2,x_{2}/3)$ är hörnen på de likgiltiga kurvorna vid $(2t,3t)$ där $t\in [0,\infty )$ .
• Konsumentens krav är alltid att få varorna i konstanta förhållanden som bestäms av vikterna, dvs konsumenten kräver en bunt $(w_{1}t,\ldots ,w_{m }t)$ där $t$ bestäms av inkomsten: $t={\text{Inkomst}}/(p_{1}w_{1}+\dots +p_{m}w_{m})$ . Eftersom den marshallska efterfrågefunktionen för varje vara ökar i inkomst, är alla varor normala varor .

Konkurrensjämvikt

Eftersom Leontief-verktyg inte är strikt konvexa, uppfyller de inte kraven i Arrow–Debreu-modellen för att det ska finnas en konkurrenskraftig jämvikt . Faktum är att en Leontief-ekonomi inte är garanterad att ha en konkurrenskraftig jämvikt . Det finns begränsade familjer av Leontief-ekonomier som har en konkurrenskraftig jämvikt.

Det finns en minskning från problemet med att hitta en Nash-jämvikt i ett bimatrix-spel till problemet med att hitta en konkurrenskraftig jämvikt i en Leontief-ekonomi. Detta har flera konsekvenser:

• Det är NP-svårt att säga om en viss familj av Leontief-växlingsekonomier, som garanterat har minst en jämvikt, har mer än en jämvikt.
• Det är NP-svårt att avgöra om en Leontief-ekonomi har en jämvikt.

Dessutom har Leontief-marknadsutbytesproblemet inte ett fullständigt polynom-tidsapproximationsschema, såvida inte PPAD ⊆ P.

Å andra sidan finns det algoritmer för att hitta en ungefärlig jämvikt för vissa speciella Leontief-ekonomier.