Hitchin system

Inom matematik är Hitchins integrerbara system ett integrerbart system beroende på valet av en komplex reduktiv grupp och en kompakt Riemann-yta, introducerad av Nigel Hitchin 1987. Det ligger på korsvägen mellan algebraisk geometri , teorin om Lie-algebras och integrerbara system teori. Det spelar också en viktig roll i geometrisk Langlands korrespondens över området komplexa tal ; relaterad till konform fältteori . En genus noll-analog av Hitchin-systemet upptäcktes av R. Garnier något tidigare som en viss gräns för Schlesinger-ekvationerna, och Garnier löste sitt system genom att definiera spektralkurvor. (Garnier-systemet är den klassiska gränsen för Gaudin-modellen . I sin tur är Schlesinger-ekvationerna den klassiska gränsen för Knizhnik–Zamolodchikov-ekvationerna ). Nästan alla integrerbara system av klassisk mekanik kan erhållas som speciella fall av Garnier/Hitchin-systemet eller deras vanliga generalisering definierad av Bottacin och Markman 1994.

Hitchin -fibrationen är kartan från modulutrymmet för Hitchin-par till karakteristiska polynom, en högre genusanalog av kartan som Garnier använde för att definiera spektralkurvorna. Ngô ( 2006 , 2010 ) använde Hitchin-fibrationer över ändliga fält i sitt bevis på det grundläggande lemmat .

Beskrivning

Med användning av språket för algebraisk geometri är systemets fasutrymme en partiell kompaktering av cotangensknippet till modulutrymmet för stabila G -buntar för någon reduktiv grupp G , på någon kompakt algebraisk kurva. Detta utrymme är försett med en kanonisk symbolisk form. Antag för enkelhetens skull att G =GL( n ), den allmänna linjära gruppen ; då kan hamiltonerna beskrivas på följande sätt: tangentutrymmet till G -buntar vid bunten F är

$H^{1}(\operatörsnamn {End} (F)),$

som av Serre dualitet är dual till

$\Phi \in H^{0}(\operatörsnamn {End} (F)\otimes K),$

ett par alltså

$(F,\Phi )$

kallas ett Hitchin-par eller Higgs-bunt , definierar en punkt i cotangensbunten. Tar

$\operatörsnamn {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatörsnamn {rank} ( G)$

man får in element i

$H^{0}(K^{\otimes k}),$

vilket är ett vektorrum som inte är beroende av $(F,\Phi )$ . Så med vilken grund som helst i dessa vektorrum får vi funktionerna H _i , som är Hitchins hamiltonianer. Konstruktionen för allmän reduktiv grupp är liknande och använder invarianta polynom på Lie-algebra av G .

Av triviala skäl är dessa funktioner algebraiskt oberoende, och vissa beräkningar visar att deras antal är exakt hälften av dimensionen av fasrummet. Den icke-triviala delen är ett bevis på Poisson-kommutativiteten för dessa funktioner.

Se även

• Yang–Mills ekvationer
• Higgs bunt
• Nonabelian Hodge korrespondens
• Karaktärsvariation
• Hitchins ekvationer

•   Chudnovsky, DV (1979), "Simplified Schlesinger systems", Lettere al Nuovo Cimento , 26 (14): 423–427, doi : 10.1007/BF02817023 , S2CID 122196561
•   Garnier, René (1919), "Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires", Rend . Circ. Matta. Palermo , 43 : 155–191, doi : 10.1007/BF03014668 , S2CID 120557738
• Hitchin, Nigel (1987), "Stable bundles and integrable systems", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 91–114, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05408-1
•   Ngô, Bao Châu (2006), "Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces" (PDF) , International Congress of Mathematicians. Vol. II , Eur. Matematik. Soc., Zürich, s. 1213–1225, MR 2275642
•     Ngô, Bao Châu (2010), "Fibration de Hitchin et endoscopie", Inventiones Mathematicae , 164 (2): 399–453, arXiv : math/0406599 , Bibcode : 2006InMat.164..399N : 02-201N , do 201/201/201. -0483-7 , ISSN 0020-9910 , MR 2218781 , S2CID 52064585