Lie algebra-värderad differentialform

I differentialgeometri är en Lie-algebra-värderad form en differentialform med värden i en Lie-algebra . Sådana former har viktiga tillämpningar i teorin om kopplingar på en huvudbunt såväl som i teorin om kartankopplingar .

Formell definition

En lie-algebra-värderad differential $k$ -form på ett grenrör, $M$ , är en jämn sektion av bunten ${\displaystyle ({\ mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M} , där$ g $\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ är en Lie algebra , $T ^{*}M$ är cotangensbunten av $M$ och $\wedge ^{k}$ betecknar den $k^{\text{th}}$ yttre kraften .

Kilprodukt

Eftersom varje Lie-algebra har en bilinjär Lie-algebra-operation kan kilprodukten av två Lie-algebra-värderade former komponeras med hakparentesoperationen för att erhålla en annan Lie-algebra-värderad form. För en ${\mathfrak {g}}$ -värderad $p$ -form $\omega$ och en ${\mathfrak {g}}$ -värderad ${\ displaystyle q}$ -form $\eta$ , deras kilprodukt $[\omega \wedge \eta ]$ ges av

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\summa _{\sigma }\operatörsnamn {sgn} (\ sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma ( p+q)})],$

där $v_{i}$ är tangentvektorer. Notationen är avsedd att indikera båda operationerna. Till exempel, om $\omega$ och $\eta$ är Lie-algebra-värderade en-former, då har man

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})={1 \över 2}([\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]- [\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]).$

Operationen $[\omega \wedge \eta ]$ kan också definieras som den bilinjära operationen på $\Omega (M,{\mathfrak {g}})$ tillfredsställande

$[(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g, h]\otimes (\alpha \wedge \beta )$

för alla $g,h\in {\mathfrak {g}}$ och $\alpha ,\beta \in \Omega (M,\ mathbb {R} )$ .

Vissa författare har använt notationen $[\omega ,\eta ]$ istället för $[\omega \wedge \eta ]$ . Notationen $[\omega ,\eta ]$ , som liknar en kommutator , motiveras av det faktum att om Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är en matrisalgebra då är $[\omega \wedge \eta ]$ inget annat än den graderade kommutatorn för $\omega$ och $\eta$ , dvs om $\omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})$ och $\eta \in \Omega ^{q} (M,{\mathfrak {g}})$ sedan

$[\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \ kil \omega ,$

där $\omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\ mathfrak {g}})$ är kilprodukter som bildas med hjälp av matrismultiplikationen på ${\mathfrak {g}}$ .

Operationer

Låt $f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ vara en Lie algebra homomorfism . Om $\varphi$ är en ${\mathfrak {g}}$ -värderad form på ett grenrör, då är $f(\varphi )$ en ${ \mathfrak {h}}$ -värderad form på samma grenrör som erhålls genom att applicera $f$ på värdena för $\varphi$ : $f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{ k}))$ .

På liknande sätt, om $f$ är en multilinjär funktion på ${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}},$ så sätter man

$f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \över q!}\summa _ {\sigma }\operatörsnamn {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc, \varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))$

där $q=q_{1}+\ldots +q_{k}$ och $\varphi _{i}$ är ${\mathfrak { g}}$ -värderade $q_{i}$ -former. Dessutom, givet ett vektorutrymme $V$ , kan samma formel användas för att definiera den $V$ -värderade formen $f(\varphi ,\eta )$ när

$f:{\mathfrak {g}}\times V\to V$

är en multilinjär karta, $\varphi$ är en ${\mathfrak {g}}$ -värderad form och $\eta$ är en $V$ -värderad form. Observera att när

$f([x,y],z )=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)$

att ge $f$ motsvarar att ge en åtgärd av ${\mathfrak {g}}$ på $V$ ; dvs $f$ bestämmer representationen

$\rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)$

och omvänt, vilken representation ${\displaystyle \rho } som helst$ bestämmer $f$ med villkoret $(*)$ . Till exempel, om $f(x,y)=[x,y]$ (parentesen för ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} )$ , sedan återställer vi definitionen av $[\cdot \wedge \cdot ]$ som ges ovan, med $\rho =\operatörsnamn {ad}$ , den adjoint representationen . (Observera relationen mellan $f$ och $\rho$ ovan är alltså som relationen mellan en parentes och $\operatorname {ad}$ .)

I allmänhet, om ${\mathfrak {gl}}(V)$$\displaystyle \alpha }$ är en -värderad $p$ -form och $\varphi$ är en $V$ -värderad $q$ -form, då skriver man mer vanligt $\alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\ varphi )$ när $f(T,x)=Tx$ . Explicit,

$(\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\summa _{\sigma }\operatörsnamn {sgn } (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).$

Med denna notation har man till exempel:

$\operatörsnamn {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]$ .

Exempel: Om $\omega$ är en ${\mathfrak {g}}$ -värderad enform (till exempel en kopplingsform ), $\rho$ en representation av ${ \displaystyle {\mathfrak {g}}}$ på ett vektorrum $V$ och $\varphi$ a $V$ -värderad nollform, sedan

$\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).$

Formulär med värden i ett angränsande paket

Se även: angränsande bunt

Låt $P$ vara en jämn huvudbunt med strukturgruppen $G$ och ${\mathfrak {g}}=\operatörsnamn {Lie} (G)$ . $G$ verkar på ${\mathfrak {g}}$ via adjoint representation och så kan man bilda den associerade bunten:

${\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatörsnamn {Ad} }{\mathfrak {g}}.$

Alla ${\mathfrak {g}}_{P}$ -värderade former på basutrymmet i $P$ är i en naturlig en-till-en-överensstämmelse med alla tensorialformer på ${\ displaystyle P}$ av adjoint typ.

Se även

• Maurer–Cartan form
• Sammanhängande bunt

Anteckningar

• S. Kobayashi, K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry (Wiley Classics Library) Volym 1, 2.

externa länkar

• Wedge Product of Lie Algebra Valued One-Form
• groupoid av Lie-algebra värderade former vid n Lab