h-vektor

I algebraisk kombinatorik är h kodar -vektorn för en enkel polytop en fundamental invariant av polytopen som antalet ytor av olika dimensioner och låter en uttrycka Dehn–Sommervilles ekvationer i en särskilt enkel form. En karakterisering av uppsättningen h -vektorer för enkla polytoper antogs av Peter McMullen och bevisades av Lou Billera och Carl W. Lee och Richard Stanley ( g -sats ). Definitionen av h -vektor gäller för godtyckliga abstrakta enkla komplex . G - förmodan angav att för enkla sfärer förekommer alla möjliga h -vektorer redan bland h -vektorerna för gränserna för konvexa enkla polytoper. Det bevisades i december 2018 av Karim Adiprasito .

Stanley introducerade en generalisering av h -vektorn, den toriska h -vektorn , som definieras för en godtyckligt rankad poset , och bevisade att för klassen Eulerian-poseter fortsätter Dehn–Sommerville-ekvationerna att hålla. En annan, mer kombinatorisk generalisering av h -vektorn som har studerats ingående är flaggan h -vektor för en rankad poset. För Euleriska posetter kan det uttryckas mer kortfattat med hjälp av ett icke-kommutativt polynom i två variabler som kallas cd -index .

Definition

Låt Δ vara ett abstrakt förenklat komplex av dimensionen d − 1 med fi _i - dimensionella ytor och f ₋₁ = 1. Dessa tal är ordnade i f -vektorn för Δ,

$f(\Delta )=(f_{-1},f_{0},\ldots ,f_{d-1}).$

Ett viktigt specialfall inträffar när Δ är gränsen för en d -dimensionell konvex polytop.

För k = 0, 1, …, d , låt

$h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{ki}{\binom {di}{ki}}f_{i-1}.$

Tupeln

$h(\Delta )=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})$

kallas h -vektorn för Δ. Speciellt $h_{0}=1$ , $h_{1}=f_{0}-d$ och ${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta ))} ,$ där $\chi (\Delta )$ är Euler -karakteristiken för $\Delta$ . f -vektorn och h -vektorn bestämmer varandra unikt genom den linjära relationen

$\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}( t-1)^{di}=\summa _{k=0}^{d}h_{k}t^{dk},$

av vilket det följer att, för $i=0,\dotsc ,d$ ,

$f_{i-1}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {dk}{ik}}h_{k}.$

Speciellt $f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}$ . Låt R = k [Δ] vara Stanley–Reisner-ringen av Δ. Då kan dess Hilbert–Poincaré-serie uttryckas som

$P_{R}(t)=\sum _{i=0}^{d}{\frac {f_{i-1}t^{i}}{(1-t)^{i}} }={\frac {h_{0}+h_{1}t+\cdots +h_{d}t^{d}}{(1-t)^{d}}}.$

Detta motiverar definitionen av h -vektorn för en ändligt genererad positivt graderad algebra av Krull dimension d som täljaren för dess Hilbert–Poincaré-serie skriven med nämnaren (1 − t ) ^d .

h -vektorn är nära besläktad med h ^* -vektorn för en konvex gitterpolytop, se Ehrhart -polynom .

Återkommande förhållande

h $\textstyle h$ -vektorn $(h_{0},h_{1},\dotsc ,h_{d})$ beräknas från $\textstyle f$ -vektor $(f_{-1},f_{0},\dotsc ,f_{d-1})$ genom att använda återfallsrelationen

$h_{0}^{i}=1,\qquad -1\leq i\leq d$

$h_{i+1}^{i}=f_{i},\qquad -1\leq i\leq d-1$

$h_{k}^{i}=h_{k}^{i-1}-h_{k-1}^{i-1},\qquad 1\ leq k\leq i\leq d$ .

och slutligen ställa in $\textstyle h_{k}=h_{k}^{d}$ för $\textstyle 0\leq k\leq d$ . För små exempel kan man använda denna metod för att snabbt beräkna $\textstyle h$ -vektorer för hand genom att rekursivt fylla i posterna i en array som liknar Pascals triangel . Betrakta till exempel gränskomplexet $\textstyle \Delta$ för en oktaeder . $\textstyle f$ -vektorn för $\textstyle \Delta$ är $\textstyle (1,6,12,8)$ . För att beräkna $\textstyle h$ -vektorn för ${\displaystyle \Delta } ,$ konstruera en triangulär array genom att först skriva $d+2$$\textstyle 1$ s ner i vänster kant och $\textstyle f$ -vektorn längs den högra kanten.

${\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\\&&1&&&&12&\\&1&&&&&&&8\\1&&&&&&&&0\end{matris}}$

(Vi ställer in $f_{d}=0$ bara för att göra arrayen triangulär.) Sedan, börja från toppen, fyll varje återstående post genom att subtrahera dess övre vänstra granne från dess övre högra granne. På detta sätt genererar vi följande array:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&1&&&\\&&&1&&6&&\\&&&1&&5&&12&\\&1&&4&&7&&8\\{1&&3&}\end$

Posterna i den nedre raden (förutom den sista $0$ ) är posterna i $\textstyle h$ -vektorn. Därför är $\textstyle h$ -vektorn för $\textstyle \Delta$$\textstyle (1,3,3,1)$ .

Torisk h -vektor

Till en godtyckligt graderad poset P associerade Stanley ett par polynom f ( P , x ) och g ( P , x ). Deras definition är rekursiv i termer av polynom som är associerade med intervall [0, y ] för alla y ∈ P , y ≠ 1, sett som rangordnade posetter av lägre rang (0 och 1 anger de minimala och maximala elementen i P ). Koefficienterna för f ( P , x ) bildar den toriska h -vektorn för P. När P är en eulerisk poset av rang d + 1 så att P − 1 är enkel, sammanfaller den toriska h -vektorn med den vanliga h -vektorn konstruerad med talen fi _för element i P − 1 med given rang i + 1. I detta fall uppfyller den toriska h -vektorn för P Dehn–Sommervilles ekvationer

$h_{k}=h_{dk}.$

Anledningen till adjektivet "torisk" är en koppling av den toriska h -vektorn med skärningskohomologin för en viss projektiv torisk varietet X närhelst P är gränskomplexet för rationell konvex polytop. Komponenterna är nämligen dimensionerna för kohomologigrupperna med jämn skärning av X :

$h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatörsnamn {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )$

(de udda korsningskohomologigrupperna för X är alla noll). Dehn–Sommerville-ekvationerna är en manifestation av Poincaré-dualiteten i korsningskohomologin av X . Kalle Karu bevisade att den toriska h -vektorn för en polytop är unimodal, oavsett om polytopen är rationell eller inte.

Flagga h -vektor och cd -index

En annan generalisering av begreppen f -vektor och h -vektor för en konvex polytop har studerats omfattande. Låt $P$ vara en finit graderad poset av rang n , så att varje maximal kedja i $P$ har längden n . För alla $\displaystyle S}$$) {\displaystyle \alpha _{ P}(S)}$ , en delmängd av $\left\{0,\ldots ,n\right\}$ , låt betecknar antalet kedjor i $P$ vars rangordning utgör mängden $S$ . Mer formellt, låt

$rk:P\to \{0,1,\ldots ,n\}$

vara rangfunktionen för $P$ och låt $P_{S}$ vara $S$ -rank vald delpost , som består av elementen från $P$ vars rangordning är i $S$ :

$P_{S}=\{x\in P:rk(x)\in S\}.$

Då är $\alpha _{P}(S)$ antalet maximala kedjor i $P_{S}$ och funktionen

$S\mapsto \alpha _{P}(S)$

kallas flaggan f -vektor för P . Funktionen

$S\mapsto \beta _{P}(S),\quad \beta _{P}(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1)^{|S |-|T|}\alpha _{P}(S)$

kallas flaggan h -vektor för $P$ . Enligt principen om inkludering och uteslutning ,

$\alpha _{P}(S)=\summa _{T\subseteq S}\beta _{P}(T).$

Flaggan f - och h -vektorerna för $P$ förfinar de vanliga f - och h -vektorerna av dess ordningskomplex $\Delta (P)$ :

$f_{i-1}(\Delta (P))=\summa _{|S|=i}\alpha _{P}(S),\quad h_{i}(\Delta (P)) =\summa _{|S|=i}\beta _{P}(S).$

Flaggan h -vektor för $P$ kan visas via ett polynom i icke-kommutativa variabler a och b . För varje delmängd $S$ av {1,…, n }, definiera motsvarande monom i a och b ,

$u_{S}=u_{1}\cdots u_{n},\quad u_{i}=a{\text{ för }}i\notin S,u_{i}=b{\text{ för }}i\i S.$

definieras den icke-kommutativa genererande funktionen för flaggan h -vektor för P av

$\Psi _{P}(a,b)=\summa _{S}\beta _{P}(S)u_{S}.$

_Från förhållandet mellan αP ( S ) och βP ( S ) är den icke-kommutativa genererande funktionen för flaggan f - _vektor för P

$\Psi _{P}(a,a+b)=\summa _{S}\alpha _{P}(S)u_{S}.$

Margaret Bayer och Louis Billera bestämde de mest generella linjära relationerna mellan komponenterna i flaggans h -vektor för en Eulerisk poset P .

Fine noterade ett elegant sätt att ange dessa relationer: det finns ett icke-kommutativt polynom Φ _P ( c , d ), kallat cd -index för P , så att

$\Psi _{P}(a,b)=\Phi _{P}(a+b,ab+ba).$

Stanley bevisade att alla koefficienter för cd -indexet för gränskomplexet för en konvex polytop är icke-negativa. Han förmodade att detta positivitetsfenomen kvarstår för en mer allmän klass av Eulerianska poser som Stanley kallar Gorenstein*-komplex och som inkluderar enkla sfärer och kompletta fans. Denna gissning bevisades av Kalle Karu. Den kombinatoriska innebörden av dessa icke-negativa koefficienter (ett svar på frågan "vad räknas de?") är fortfarande oklart.

Vidare läsning

•   Stanley, Richard (1996), Combinatorics and commutative algebra , Progress in Mathematics, vol. 41 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-3836-9 .
•   Stanley, Richard (1997), Enumerative Combinatorics , vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1 .