Dehn–Sommerville ekvationer

I matematik är Dehn–Sommerville-ekvationerna en komplett uppsättning linjära relationer mellan antalet ansikten av olika dimensioner av en enkel polytop . För polytoper med dimensionerna 4 och 5 hittades de av Max Dehn 1905. Deras allmänna form fastställdes av Duncan Sommerville 1927. Dehn–Sommerville-ekvationerna kan återställas som ett symmetrivillkor för h -vektorn för den enkla polytopen och detta har blivit standardformuleringen i nyare kombinatoriklitteratur. Genom dualitet gäller analoga ekvationer för enkla polytoper .

Påstående

Låt P vara en d -dimensionell enkel polytop . För i = 0, 1, ..., d − 1, låt f _i beteckna antalet i -dimensionella ytor av P . Sekvensen

$f(P)=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{d-1})$

kallas f -vektorn för polytopen P . Dessutom, ställ in

$f_{-1}=1,f_{d}=1.$

gäller följande Dehn–Sommerville-ekvation för alla k = −1, 0, ..., d − 2:

$\sum _{j=k}^{d-1}(-1)^{j}{\binom {j+1}{k+1}}f_{j}=(-1)^{ d-1}f_{k}.$

När k = −1, uttrycker det det faktum att Euler-karakteristiken för en ( d − 1)-dimensionell enkel sfär är lika med 1 + (−1) ^{d − 1} .

Dehn–Sommerville-ekvationer med olika k är inte oberoende. Det finns flera sätt att välja en maximal oberoende delmängd bestående av ${\textstyle \left[{\frac {d+1}{2}}\right]}$ ekvationer. Om d är jämnt är ekvationerna med k = 0, 2, 4, ..., d − 2 oberoende. En annan oberoende mängd består av ekvationerna med k = −1, 1, 3, ..., d − 3. Om d är udda så bildas ekvationerna med k = −1, 1, 3, ..., d − 2 en oberoende mängd och ekvationerna med k = −1, 0, 2, 4, ..., d − 3 bildar en annan.

Likvärdiga formuleringar

Huvudartikel: h-vektor

Sommerville hittade ett annat sätt att ange dessa ekvationer:

$\sum _{i=-1}^{k-1}(-1)^{d+i}{\binom {di-1}{dk}}f_{i}=\ summa _{i=-1}^{dk-1}(-1)^{i}{\binom {di-1}{k}}f_{i},$

där 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1). Detta kan ytterligare underlättas genom att introducera begreppet h -vektor för P . För k = 0, 1, ..., d , låt

$h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{ki}{\binom {di}{ki}}f_{i-1}.$

Sekvensen

$h(P)=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})$

kallas h -vektorn för P . f -vektorn och h -vektorn bestämmer varandra unikt genom relationen

$\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{di}=\summa _{k=0}^{d}h_{k}t^{ dk}.$

Sedan kan Dehn–Sommerville-ekvationerna räknas om helt enkelt som

$h_{k}=h_{dk}\quad {\text{ för }}0\leq k\leq d.$

Ekvationerna med 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1) är oberoende, och de andra är uppenbart ekvivalenta med dem.

Richard Stanley gav en tolkning av komponenterna i h -vektorn för en enkel konvex polytop P i termer av den projektiva toriska varianten X associerad med (dual av) P . De är nämligen dimensionerna för kohomologigrupperna med jämn skärning av X :

$h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatörsnamn {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )$

(de udda korsningskohomologigrupperna för X är alla noll). I detta språk är den sista formen av Dehn–Sommerville-ekvationerna, h - vektorns symmetri, en manifestation av Poincaré-dualiteten i intersektionskohomologin av X .

•   Branko Grünbaum , konvexa polytoper . Andra upplagan. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 221, Springer, 2003 ISBN 0-387-00424-6
•   Richard P. Stanley , kombinatorik och kommutativ algebra . Andra upplagan. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. ISBN 0-8176-3836-9
• DMY Sommerville (1927) Relationerna som förbinder vinkelsummorna och volymen av en polytop i rymden av n dimensioner . Proceedings of the Royal Society Series A, 115:103–19, webblänk från JSTOR .
•   Günter M. Ziegler , Föreläsningar om polytoper . Springer , 1998. ISBN 0-387-94365-X