Enkel sfär

Inom geometri och kombinatorik är en enkel (eller kombinatorisk ) d -sfär en enkel komplex homeomorphic till den d -dimensionella sfären . Vissa enkla sfärer uppstår som gränserna för konvexa polytoper , men i högre dimensioner kan de flesta enkla sfärer inte erhållas på detta sätt.

Ett viktigt öppet problem på området var g-förmodan , formulerad av Peter McMullen , som frågar om möjliga antal ansikten av olika dimensioner av en enkel sfär. I december 2018 bevisades g-förmodan av Karim Adiprasito i det mer allmänna sammanhanget av rationella homologisfärer.

Exempel

Egenskaper

Det följer av Eulers formel att varje enkel 2-sfär med n hörn har 3 n − 6 kanter och 2 n − 4 ytor. Fallet med n = 4 realiseras av tetraedern. Genom att upprepade gånger utföra den barycentriska underindelningen är det lätt att konstruera en enkel sfär för vilken som helst n ≥ 4. Dessutom gav Ernst Steinitz en karakterisering av 1-skelett (eller kantgrafer) av konvexa polytoper i R 3 , vilket antyder att varje enkel 2-sfär är en gräns för en konvex polytop.

0 Branko Grünbaum konstruerade ett exempel på en icke-polytopal enkel sfär (det vill säga en enkel sfär som inte är gränsen för en polytop). Gil Kalai bevisade att "de flesta" enkla sfärer faktiskt är icke-polytopala. Det minsta exemplet har dimensionen d = 4 och har f = 8 hörn.

0 Den övre gränssatsen ger övre gränser för talen fi av i - ytor för varje enkel d -sfär med f = n hörn. Denna gissning bevisades för enkla konvexa polytoper av Peter McMullen 1970 och av Richard Stanley för allmänna enkla sfärer 1975.

G - förmodan , formulerad av McMullen 1970, efterfrågar en fullständig karakterisering av f -vektorer för enkla d -sfärer. Med andra ord, vilka är de möjliga sekvenserna av antalet ansikten i varje dimension för en enkel d -sfär? När det gäller polytopala sfärer ges svaret av g -satsen , bevisad 1979 av Billera och Lee (existens) och Stanley (nödvändighet). Det har antagits att samma villkor är nödvändiga för allmänna enkla sfärer. Gissningen bevisades av Karim Adiprasito i december 2018.

Se även

  1. ^ a b Adiprasito, Karim (2019). "Kombinatoriska Lefschetz-satser bortom positivitet". arXiv : 1812.10454 .
  2. ^ a b Kalai, Gil (2018-12-25). "Fantastiskt: Karim Adiprasito bevisade g-förmodan för sfärer!" . Kombinatorik och mer . Hämtad 2018-12-25 .
  3. ^ McMullen, P. (1971). "Om den övre gränsen förmodan för konvexa polytoper" . Journal of Combinatorial Theory, serie B . 10 : 187–200. doi : 10.1016/0095-8956(71)90042-6 .