Goldberg polyeder

Icosahedral Goldberg polyhedra med femhörningar i rött
$GP(1,4) = {5+,3} 1,4$	$GP(4,4) = {5+,3} 4,4$
$GP(7,0) = {5+,3} 7,0$	$GP(3,5) = {5+,3} 3,5$
$GP(10,0) = {5+,3} 10,0$ Liksidig och sfärisk

Inom matematiken , och mer specifikt inom polyedrisk kombinatorik , är en Goldberg-polyeder en konvex polyeder gjord av hexagoner och pentagoner . De beskrevs första gången 1937 av Michael Goldberg (1902–1990). De definieras av tre egenskaper: varje ansikte är antingen en femhörning eller hexagon, exakt tre ansikten möts vid varje vertex , och de har roterande ikosaedrisk symmetri . De är inte nödvändigtvis spegelsymmetriska ; t.ex. $GP(5,3)$ och $GP(3,5)$ är enantiomorfer av varandra. En Goldberg polyhedron är en dubbel polyeder av en geodesisk sfär .

En konsekvens av Eulers polyederformel är att en Goldberg-polyeder alltid har exakt tolv femkantiga ytor. Ikosaedrisk symmetri säkerställer att femhörningarna alltid är regelbundna och att det alltid finns 12 av dem. Om hörnen inte är begränsade till en sfär, kan polyedern konstrueras med plana liksidiga (men inte i allmänhet likkantiga) ytor.

Enkla exempel på Goldberg-polyedrar inkluderar dodekaedern och den trunkerade icosahedronen . Andra former kan beskrivas genom att ta ett schackriddardrag från en femkant till nästa: ta först $m$ steg i en riktning, sväng sedan 60° åt vänster och ta $n$ steg. En sådan polyeder betecknas $GP(m, n).$ En dodekaeder är $GP(1,0)$ och en trunkerad ikosaeder är $GP(1,1).$

En liknande teknik kan tillämpas för att konstruera polyedrar med tetraedrisk symmetri och oktaedrisk symmetri . Dessa polyedrar kommer att ha trianglar eller kvadrater snarare än femhörningar. Dessa variationer ges romerska siffror som anger antalet sidor på de icke-hexagoniska ytorna: $GP III (n, m),$ $GP IV (n, m)$ och $GP V (n, m).$

Element

Antalet hörn, kanter och ytor av GP ( m , n ) kan beräknas från m och n , med T = m ² + mn + n ² = ( m + n ) ² − mn , beroende på en av tre symmetri system: Antalet icke-hexagonala ytor kan bestämmas med hjälp av Euler-karakteristiken, som visas här .

Symmetri	Icosahedral	Octaedral	Tetraedrisk
Bas	Dodecahedron GP _V (1,0) = {5+,3} _1,0	Cube GP _IV (1,0) = {4+,3} _1,0	Tetrahedron GP _III (1,0) = {3+,3} _1,0
Bild
Symbol	GP _V ( m , n ) = {5+,3} _{m , n}	GP _IV ( m , n ) = {4+,3} _{m , n}	GP _III ( m , n ) = {3+,3} _{m , n}
Vertices	$20T$	$8T$	$4T$
Kanter	$30T$	$12T$	$6T$
Ansikten	$10T+2$	$4T+2$	$2T+2$
Ansikten efter typ	12 {5} och 10( T − 1) {6}	6 {4} och 4( T − 1) {6}	4 {3} och 2( T − 1) {6}

Konstruktion

De flesta Goldberg polyedrar kan konstrueras med Conway polyhedron notation som börjar med (T)etrahedron, (C)ube och (D)odecahedron frön. Avfasningsoperatorn , c , ersätter alla kanter med hexagoner och transformerar GP ( m , n ) till GP (2 m ,2 n ) , med en T -multiplikator på 4. Den trunkerade kis- operatorn, y = tk , genererar GP (3, 0), omvandlar GP ( m , n ) till GP (3 m , 3 n ), med en T- multiplikator på 9.

För klass 2-former omvandlar den dubbla kis- operatorn, z = dk , GP ( a ,0) till GP ( a , a ), med en T- multiplikator på 3. För klass 3-former genererar virveloperatorn , w , GP ( 2,1), med en T- multiplikator på 7. En virvelgenerator medurs och moturs, w w = wrw genererar GP (7,0) i klass 1. I allmänhet kan en virvel omvandla en GP( a , b ) till GP ( a + 3 b , 2 ab ) för a > b och samma kirala riktning. Om kirala riktningar vänds om, blir GP( a , b ) GP(2 a + 3 b , a − 2 b ) om a ≥ 2 b , och GP(3 a + b ,2 b − a ) om a < 2 b .