Global kaskadmodell

Globala kaskadmodeller är en klass av modeller som syftar till att modellera stora och sällsynta kaskader som utlöses av exogena störningar som är relativt små jämfört med systemets storlek. Fenomenet förekommer överallt i olika system, som informationskaskader i sociala system, börskrascher i ekonomiska system och kaskadfel i fysikinfrastrukturnätverk. Modellerna fångar några väsentliga egenskaper hos ett sådant fenomen.

Modellbeskrivning

För att beskriva och förstå globala kaskader har en nätverksbaserad tröskelmodell föreslagits av Duncan J. Watts 2002. Modellen motiveras av att beakta en population av individer som måste fatta ett beslut mellan två alternativ, och deras val beror explicit på andra människors tillstånd eller val. Modellen antar att en individ kommer att anta en ny speciell åsikt (produkt eller tillstånd) om en tröskelfraktion av hans/hennes grannar har antagit den nya, annars skulle han behålla sitt ursprungliga tillstånd. För att initiera modellen kommer en ny åsikt att fördelas slumpmässigt bland en liten del av individerna i nätverket. Om fraktionen uppfyller ett visst villkor kan stora kaskader utlösas.(se Global Cascades Condition) Ett fasövergångsfenomen har observerats: när nätverket av interpersonella influenser är sparsamt uppvisar storleken på kaskaderna en maktlagsfördelning , de flesta högst anslutna noder är kritiska för att trigga kaskader, och om nätverket är relativt tätt visar fördelningen en bimodal form, där noder med medelgrad visar större betydelse genom att fungera som triggers.

Flera generaliseringar av Watts tröskelmodell har föreslagits och analyserats under de följande åren. Till exempel har den ursprungliga modellen kombinerats med oberoende interaktionsmodeller för att ge en generaliserad modell för social smitta, som klassificerar systemets beteende i tre universella klasser. Det har också generaliserats på modulära nätverk gradkorrelerade nätverk och till nätverk med avstämbar klustring. Initiativtagarnas roll har också studerats nyligen, visar att olika initiativtagare skulle påverka storleken på kaskaderna. Watts tröskelmodell är en av få modeller som visar kvalitativa skillnader på multiplexnätverk och enskiktsnätverk. Den kan dessutom uppvisa breda och multimodala kaskadstorleksfördelningar på ändliga nätverk.

Globala kaskadtillstånd

För att härleda det exakta kaskadtillståndet i den ursprungliga modellen kan en genererande funktionsmetod användas. Genereringsfunktionen för sårbara noder i nätverket är:

G_{0}(x)=\summa _{k}\rho _{k}p_{k}x^{k},

där p _k är sannolikheten för att en nod har graden k , och

\rho _{k}={\begin{cases}1&k=0\\\int _{0}^{1/ k}f(\chi)\,d\chi &k>0\\\end{fall}}

och f är fördelningen av tröskelfraktionen av individer. Den genomsnittliga sårbara klusterstorleken kan härledas som:

\langle n\rangle =G_{0}(1)+{\frac {G_{0}'(1 )^{2}}{z-G_{0}''(1)}}

där z är den genomsnittliga graden av nätverket. De globala kaskaderna uppstår när den genomsnittliga sårbara klusterstorleken ⟨ n ⟩ divergerar

G_{0}''(1)=\summa _{k}k(k-1)\rho _{k }p_{k}=z

Ekvationen skulle kunna tolkas som: När ${\displaystyle G_{0}''(1)<z} ,$ är klustren i nätverket små och globala kaskader kommer inte att inträffa eftersom de tidiga användarna är isolerade i systemet kunde således inget tillräckligt momentum genereras. När $G_{0}''(1)>z$ är den typiska storleken på det sårbara klustret oändlig, vilket innebär närvaro av globala kaskader.

Relationer med andra smittmodeller

Modellen överväger en förändring av individers tillstånd i olika system som tillhör en större klass av smittproblem. Det skiljer sig dock från andra modeller i flera aspekter: Jämfört med 1) epidemimodell : där smittsamma händelser mellan individuella par är oberoende, beror effekten en enskild infekterad nod har på en individ på individens andra grannar i den föreslagna modellen. Till skillnad från 2) perkolation eller självorganiserade kritikalitetsmodeller uttrycks inte tröskeln som det absoluta antalet "infekterade" grannar runt en individ, istället väljs en motsvarande bråkdel av grannar. Det skiljer sig också från 3) modell för slumpmässiga fält och majoritetsväljarmodell , som ofta analyseras på vanliga gitter, här spelar dock heterogeniteten i nätverket en betydande roll.

Se även