Borel subalgebra

I matematik, särskilt inom representationsteori , är en Borel-subalgebra av en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ en maximalt lösbar subalgebra. Föreställningen är uppkallad efter Armand Borel .

Om Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ är Lie-algebra för en komplex Lie-grupp , då är en Borel-subalgebra Lie-algebra för en Borel-undergrupp .

Borel subalgebra associerad med en flagga

Låt ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)$ vara Lie-algebra för endomorfismerna för ett ändligt dimensionellt vektorrum V över de komplexa talen. Att sedan specificera en Borel-subalgebra av ${\mathfrak {g}}$ motsvarar att specificera en flagga av V ; givet en flagga ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0} ,$ delutrymmet ${\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i}) \subset V_{i},1\leq i\leq n\}$ är en Borel-subalgebra, och omvänt är varje Borel-subalgebra av den formen enligt Lies teorem . Följaktligen klassificeras Borel-subalgebrerna av flaggvarianten V .

Borel subalgebra i förhållande till en bas i ett rotsystem

Låt $g}}}$ { vara en komplex halvenkel Lie-algebra , ${\mathfrak {h}}$ en Cartan-subalgebra och R rotsystemet som är associerat med dem. Att välja en bas av R ger uppfattningen om positiva rötter. Då ${\mathfrak {g}}$ nedbrytningen ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus { \mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ där ${\mathfrak {n}}^{\pm }=\summa _{ \alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }$ . Då är ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}$ Borels subalgebra i förhållande till ovanstående inställning. (Det är lösbart eftersom den härledda algebran $[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]$ är nilpotent. Den är maximalt lösbar genom en sats från Borel–Morozov om konjugation av lösbara subalgebra.)

Givet en ${\mathfrak {g}}$ -modul V , är ett primitivt element av V en vektor (ej noll) som (1) är en viktvektor för ${\mathfrak {h}}$ och att (2) förintas av ${\mathfrak {n}}^{+}$ . Det är samma sak som en ${\mathfrak {b}}$ -viktsvektor (Bevis: om $h\in {\mathfrak {h}}$ och ${\ displaystyle e\in {\mathfrak {n}}^{+}}$ med $[h,e]=2e$ och om ${\mathfrak {b} }\cdot v$ är en linje, då ${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v} .$ )

Se även

Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Representation Theory and Complex Geometry , Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8 .
Humphreys, James E. (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-enkla komplex [ Complex Semisimple Lie Algebras ], översatt av Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .