Kvartisk ömsesidighet

Kvartisk eller biquadratisk reciprocitet är en samling satser i elementär och algebraisk talteori som anger förhållanden under vilka kongruensen x ⁴ ≡ p (mod q ) är lösbar; ordet "reciprocitet" kommer från formen av några av dessa satser, genom att de relaterar lösbarheten av kongruensen x ⁴ ≡ p (mod q ) till den för x ⁴ ≡ q (mod p ).

Historia

Euler gjorde de första gissningarna om biquadratisk ömsesidighet. Gauss publicerade två monografier om biquadratic reciprocity. I den första (1828) bevisade han Eulers gissning om den biquadratiska karaktären av 2. I den andra (1832) angav han den biquadratiska ömsesidighetslagen för de Gaussiska heltal och bevisade de kompletterande formlerna. Han sa att en tredje monografi skulle komma med beviset för den allmänna satsen, men den dök aldrig upp. Jacobi presenterade bevis i sina Königsberg-föreläsningar 1836–37. De första publicerade bevisen var av Eisenstein.

Sedan dess har ett antal andra bevis på den klassiska (gaussiska) versionen hittats, såväl som alternativa påståenden. Lemmermeyer konstaterar att det har skett en explosion av intresset för de rationella ömsesidighetslagarna sedan 1970-talet.

Heltal

En kvarts- eller tvågradsrest (mod p ) är vilket tal som helst som är kongruent med fjärde potensen av ett heltal (mod p ). Om x ⁴ ≡ a (mod p ) inte har en heltalslösning, är a en kvarts- eller bikvadratisk icke-rest (mod p ).

Som ofta är fallet i talteorin är det lättast att arbeta med moduloprimtal, så i detta avsnitt antas alla moduli p , q , etc. vara positiva, udda primtal.

Gauss

Det första man bör lägga märke till när man arbetar inom ringen Z av heltal är att om primtalet q är ≡ 3 (mod 4) så är en rest r en kvadratisk rest (mod q ) om och endast om den är en tvågradig rest (mod). q ). Det första tillägget av kvadratisk reciprocitet anger faktiskt att −1 är en kvadratisk rest (mod q ), så att för vilket heltal x som helst är en av x och − x en kvadratisk rest och den andra är en icke-rest. Således, om r ≡ a ² (mod q ) är en kvadratisk rest, då om a ≡ b ² är en rest, är r ≡ a ² ≡ b ⁴ (mod q ) en tvågradsrest, och om a är en icke-rest, − a är en rest, − a ≡ b ² , och återigen är r ≡ (− a ) ² ≡ b ⁴ (mod q ) en biquadratisk rest.

Därför är det enda intressanta fallet när modulen p ≡ 1 (mod 4).

Gauss bevisade att om p ≡ 1 (mod 4) så kan restklasserna som inte är noll (mod p ) delas in i fyra uppsättningar, som var och en innehåller ( p −1)/4 tal. Låt e vara en kvadratisk icke-rest. Den första uppsättningen är kvartsresterna; den andra är e gånger siffrorna i den första uppsättningen, den tredje är e ² gånger siffrorna i den första uppsättningen, och den fjärde är e ³ gånger siffrorna i den första uppsättningen. Ett annat sätt att beskriva denna uppdelning är att låta g vara en primitiv rot (mod p ); då är den första mängden alla siffror vars index med avseende på denna rot är ≡ 0 (mod 4), den andra mängden är alla de vars index är ≡ 1 (mod 4), etc. I gruppteorins vokabulär är den första mängd är en undergrupp av index 4 (av den multiplikativa gruppen Z /p Z ^× ), och de andra tre är dess bimängder.

Den första uppsättningen är de tvågradiga resterna, den tredje uppsättningen är de kvadratiska resterna som inte är kvartsrester, och den andra och fjärde uppsättningen är de kvadratiska icke-rester. Gauss bevisade att −1 är en tvågradsrest om p ≡ 1 (mod 8) och en kvadratisk, men inte tvågradig, rest, när p ≡ 5 (mod 8).

2 är en kvadratisk rest mod p om och endast om p ≡ ±1 (mod 8). Eftersom p också är ≡ 1 (mod 4), betyder detta p ≡ 1 (mod 8). Varje sådant primtal är summan av en kvadrat och två gånger en kvadrat.

Gauss bevisade

Låt q = a ² + 2 b ² ≡ 1 (mod 8) vara ett primtal. Sedan

2 är en tvågradsrest (mod q ) om och endast om a ≡ ±1 (mod 8), och

2 är en kvadratisk, men inte en tvågradig, rest (mod q ) om och endast om a ≡ ±3 (mod 8) .

Varje primtal p ≡ 1 (mod 4) är summan av två kvadrater. Om p = a ² + b ² där a är udda och b är jämnt, bevisade Gauss det

2 tillhör den första (respektive andra, tredje eller fjärde) klassen definierad ovan om och endast om b ≡ 0 (resp. 2, 4 eller 6) (mod 8). Det första fallet av detta är en av Eulers gissningar:

2 är en biquadratisk rest av ett primtal p ≡ 1 (mod 4) om och endast om p = a ² + 64 b ² .

Dirichlet

För ett udda primtal p och en kvadratisk rest a (mod p ), anger Eulers kriterium att $a^{\frac {p-1}{2}}\ ekv. 1{\pmod {p}},$ så om p ≡ 1 (mod 4), $a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.$

Definiera den rationella kvartsrestsymbolen för primtal p ≡ 1 (mod 4) och kvadratisk rest a (mod p ) som ${\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.$ Det är lätt att bevisa att a är en biquadratisk rest (mod p ) om och endast om ${\Bigg (}{\frac {a}{p} }{\Bigg )}_{4}=1.$

Dirichlet förenklade Gauss bevis på den biquadratiska karaktären av 2 (hans bevis kräver bara kvadratisk reciprocitet för heltal) och satte resultatet i följande form:

Låt p = a ² + b ² ≡ 1 (mod 4) vara primtal, och låt i ≡ b / a (mod p ). Sedan

${\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.$ (Observera att i ² ≡ −1 (mod p ).)

I själva verket, låt p = a ² + b ² = c ² + 2 d ² = e ² − 2 f ² ≡ 1 (mod 8) vara primtal, och anta att a är udda. Sedan

${\Bigg (}{\frac {2}{p} }{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg) }=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},$ där $({\tfrac {x}{q}})$ är den vanliga Legendre-symbolen .

Gå bortom tecknet 2, låt primtal p = a ² + b ² där b är jämnt, och låt q vara ett primtal så att $({\tfrac {p}{q} })=1.$ Kvadratisk ömsesidighet säger att $({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,$ där $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.$ Låt σ ² ≡ p (mod q ). Sedan

${\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma)}{ q}}{\Bigg )}.$ Detta innebär att

${\Bigg (}{\frac {q^{*}}{ p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ om och endast om }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ eller }} \\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ och }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ eller }}\\a \equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, och }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}$

De första exemplen är:

${\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod { 3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\ \left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({ \frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2 })&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ om och endast om }}\;\ ;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}$

Euler hade gissat reglerna för 2, −3 och 5, men bevisade inte någon av dem.

Dirichlet bevisade också att om p ≡ 1 (mod 4) är primtal och $({\tfrac {17}{p}})=1$ så

${\Bigg (}{ \frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+ 1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+ 17y^{2}\end{cases}}$

Detta har utökats från 17 till 17, 73, 97 och 193 av Brown och Lehmer.

Burde

Det finns ett antal likvärdiga sätt att uttrycka Burdes rationella biquadratic reciprocity-lag.

De antar alla att p = a ² + b ² och q = c ² + d ² är primtal där b och d är jämna, och att ( $\displaystyle ({\tfrac {p}{q} })=1.}$

Gossets version är

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/bc/d}{a/b+c /d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.$

Om man låter i ² ≡ −1 (mod p ) och j ² ≡ −1 (mod q ), är Frölichs lag

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4 }={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.$

Burde uttalade sitt i formen:

${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4 }={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.$

Anteckna det

${\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg)}{\Bigg ( }{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.$

Hopplock

Låt p ≡ q ≡ 1 (mod 4) vara primtal och antag $({\tfrac {p}{q}})=1$ . Då e ² = pf ² + qg ² icke-triviala heltalslösningar, och

${\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4 }=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).$

Låt p ≡ q ≡ 1 (mod 4) vara primtal och antag p = r ² + qs ² . Sedan

${\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4 }=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.$

Låt p = 1 + 4 x ² vara primtal, låt a vara vilket udda tal som helst som delar x , och låt ${\displaystyle a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.} Då är$ a * ^en biquadratisk rest (mod p ).

Låt p = a ² + 4 b ² = c ² + 2 d ² ≡ 1 (mod 8) vara primtal. Då är alla divisorer för c ⁴ − pa ² biquadratiska rester (mod p ). Detsamma gäller för alla divisorer för d ⁴ − pb ² .

Gaussiska heltal

Bakgrund

I sin andra monografi om biquadratisk ömsesidighet visar Gauss några exempel och gör gissningar som antyder de satser som anges ovan för den biquadratiska karaktären hos små primtal. Han gör några allmänna kommentarer och medger att det inte finns någon självklar allmän regel på jobbet. Han fortsätter med att säga

Satserna om biquadratiska rester glimmar med största enkelhet och äkta skönhet först när aritmetikens fält utvidgas till imaginära tal, så att utan begränsningar utgör talen i formen a + bi studieobjektet ... vi kallar sådana tal. integralkomplexa tal . [fet i originalet]

Dessa nummer kallas nu ringen av Gaussiska heltal , betecknade med Z [ i ]. Observera att i är en fjärde rot av 1.

I en fotnot tillägger han

Teorin om kubiska rester måste på liknande sätt baseras på en övervägande av tal av formen a + bh där h är en imaginär rot av ekvationen h ³ = 1 ... och på samma sätt leder teorin om rester av högre makter till införandet av andra imaginära storheter.

Siffrorna som byggs upp från en kubrot av enhet kallas nu ringen av Eisensteins heltal . De "andra imaginära kvantiteter" som behövs för "teorin om rester av högre makter" är ringarna av heltal i de cyklotomiska talfälten ; Gauss- och Eisenstein-heltalen är de enklaste exemplen på dessa.

Fakta och terminologi

Gauss utvecklar aritmetikteorin om de "integralkomplexa talen" och visar att den är ganska lik aritmetiken för vanliga heltal. Det var här termerna enhet, associerad, norm och primär introducerades i matematiken.

Enheterna är talen som delar 1. De är 1, i , −1 och − i . De liknar 1 och −1 i de vanliga heltalen, genom att de delar varje tal. Enheterna är potenserna av i .

Givet ett tal λ = a + bi är dess konjugat a − bi och dess associerade är de fyra talen

λ = + a + bi

   i λ = − b + ai

−λ = − a − bi

− i λ = + b − ai

Om λ = a + bi är normen för λ, skriven Nλ, talet a ² + b ² . Om λ och μ är två Gaussiska heltal, Nλμ = Nλ Nμ; normen är med andra ord multiplikativ. Normen för noll är noll, normen för alla andra tal är ett positivt heltal. ε är en enhet om och endast om Nε = 1. Kvadratroten ur normen λ, ett icke-negativt reellt tal som kanske inte är ett Gaussiskt heltal, är det absoluta värdet av lambda.

Gauss bevisar att Z [ i ] är en unik faktoriseringsdomän och visar att primtalen delas in i tre klasser:

• 2 är ett specialfall: 2 = i ³ (1 + i ) ² . Det är det enda primtal i Z som är delbart med kvadraten av ett primtal i Z [ i ]. I algebraisk talteori sägs 2 förgrena sig i Z [ i ].
• Positiva primtal i Z ≡ 3 (mod 4) är också primtal i Z [ i ]. I algebraisk talteori sägs dessa primtal förbli inerta i Z [ i ].
• Positiva primtal i Z ≡ 1 (mod 4) är produkten av två konjugerade primtal i Z [ i ]. I algebraisk talteori sägs dessa primtal dela sig i Z [ i ].

Sålunda är inerta primtal 3, 7, 11, 19, ... och en faktorisering av de delade primtalen är

5 = (2 + i ) × (2 - i ),

13 = (2 + 3 i ) × (2 - 3 i ),

17 = (4 + i ) × (4 - i ),

29 = (2 + 5 i ) × (2 − 5 i ), ...

De associerade och konjugatet av ett primtal är också primtal.

Observera att normen för ett inert primtal q är N q = q ² ≡ 1 (mod 4); sålunda är normen för alla andra primtal än 1 + i och dess associerade ≡ 1 (mod 4).

Gauss kallar ett tal i Z [ i ] udda om dess norm är ett udda heltal. Alla primtal utom 1 + i och dess associerade är således udda. Produkten av två udda tal är udda och konjugatet och associerade till ett udda tal är udda.

För att kunna ange den unika faktoriseringssatsen är det nödvändigt att ha ett sätt att särskilja en av de associerade till ett tal. Gauss definierar ett udda tal som primärt om det är ≡ 1 (mod (1 + i ) ³ ). Det är enkelt att visa att varje udda tal har exakt en primär associering. Ett udda tal λ = a + bi är primärt om a + b ≡ a − b ≡ 1 (mod 4); dvs a ≡ 1 och b ≡ 0, eller a ≡ 3 och b ≡ 2 (mod 4). Produkten av två primärtal är primär och konjugatet av ett primärtal är också primär.

Det unika faktoriseringssatsen för Z [ i ] är: om λ ≠ 0, alltså

$\lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1 }^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots$

där 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π _i s är primära primtal och α _i s ≥ 1, och denna representation är unik, upp till ordningen av faktorerna.

Begreppen kongruens och största gemensamma divisor definieras på samma sätt i Z [ i ] som de är för de vanliga heltalen Z. Eftersom enheterna delar alla tal, är en kongruens (mod λ) också sann modulo vilken som helst associering av λ, och varje associering av en GCD är också en GCD.

Kvartisk restkaraktär

Gauss bevisar analogen till Fermats teorem : om α inte är delbart med ett udda primtal π, då

$\alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}$

Eftersom Nπ ≡ 1 (mod 4), är $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}$ vettigt, och $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}$ för en unik enhet i ^k .

Denna enhet kallas den kvarts- eller biquadratiska restkaraktären av α (mod π) och betecknas med

$\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod { \pi }}.$

Den har formella egenskaper som liknar Legendre-symbolen .

Kongruensen $x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}$ är lösbar i Z [ i ] om och endast om ${ \displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.}$

${\Bigg [}{\frac { \alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta } {\pi }}{\Bigg ]}$

${\displaystyle {\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}} där stapeln anger$ komplex konjugation .

om π och θ är associerade, ${\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}$

om α ≡ β (mod π), ${\Bigg [}{\frac {\alpha }{\ pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}$

Det biquadratiska tecknet kan utökas till udda sammansatta tal i "nämnaren" på samma sätt som Legendre-symbolen generaliseras till Jacobi-symbolen . Som i så fall, om "nämnaren" är sammansatt, kan symbolen vara lika med en utan att kongruensen är lösbar:

$\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\ alpha }{\pi _{1}}}\höger]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\höger]^{\alpha _ {2}}\dots$ där $\lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2} ^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots$

Om a och b är vanliga heltal, a ≠ 0, | b | > 1, gcd( a , b ) = 1, sedan $\left[{\frac {a}{b}}\right]=1.$

Uttalanden av satsen

Gauss uttalade lagen om biquadratisk ömsesidighet i denna form:

Låt π och θ vara distinkta primära primtal av Z [ i ]. Sedan

om antingen π eller θ eller båda är ≡ 1 (mod 4), då ${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ] }=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],$ men

om både π och θ är ≡ 3 + 2 i (mod 4), då ${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\vänster[{\frac {\theta }{\pi }}\höger].$

Precis som den kvadratiska ömsesidighetslagen för Legendre-symbolen också gäller för Jacobi-symbolen, behövs inte kravet på att talen ska vara primtal; det räcker att de är udda relativt prime icke-enheter. Det mest kända uttalandet är förmodligen:

Låt π och θ vara primära relativt primära icke-enheter. Sedan

${\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=( -1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.$

Det finns kompletterande satser för enheterna och halvjämna primtal 1 + i .

om π = a + bi är ett primärt primtal, då

${\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{ \Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {ab-1-b^{2}}{4}},$

och sålunda

${\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\; {\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.$

Dessutom, om π = a + bi är ett primärt primtal, och b ≠ 0 då

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}= {\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}} (om$ b = 0 symbolen är 0).

Jacobi definierade π = a + bi att vara primär om a ≡ 1 (mod 4). Med denna normalisering tar lagen formen

Låt α = a + bi och β = c + di där a ≡ c ≡ 1 (mod 4) och b och d till och med är relativt primära icke-enheter. Sedan

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{ \alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}$

Följande version hittades i Gauss opublicerade manuskript.

Låt α = a + 2 bi och β = c + 2 di där a och c är udda är relativt primtala icke-enheter. Sedan

$\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1 )^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i }{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}$

Lagen kan anges utan att använda begreppet primär:

Om λ är udda, låt ε(λ) vara den unika enheten kongruent med λ (mod (1 + i ) ³ ); dvs, ε(λ) = i ^k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), där 0 ≤ k ≤ 3. Sedan för udda och relativt primtal α och β, varken en enhet,

$\left[{ \frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\ alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta ) ^{\frac {N\alpha -1}{4}}$

För udda λ, låt $\lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .$ Sedan om λ och μ är relativt primtala icke-enheter, bevisade Eisenstein

$\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.$

Se även

• Kvadratisk ömsesidighet
• Kubik ömsesidighet
• Oktisk ömsesidighet
• Eisenstein ömsesidighet
• Artin ömsesidighet

Anteckningar

• A. ^ Här betyder "rationell" lagar som anges i termer av vanliga heltal snarare än i termer av heltal i något algebraiskt talfält .

Litteratur

Referenserna till Eulers, Dirichlets och Eisensteins originalpapper kopierades från bibliografierna i Lemmermeyer och Cox och användes inte vid förberedelserna av denna artikel.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Kommentar. Aritmet. 2

Denna skrevs egentligen 1748–1750, men publicerades först postumt; Det finns i Vol V, s. 182–283 av

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, vols I–V , Leipzig & Berlin: Teubner

Gauss

De två monografier Gauss publicerade om biquadratic reciprocity har numrerade avsnitt i följd: den första innehåller §§ 1–23 och den andra §§ 24–76. Fotnoter som hänvisar till dessa är av formen "Gauss, BQ, § n ". Fotnoter som hänvisar till Disquisitiones Arithmeticae är av formen "Gauss, DA, Art. n ".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Kommentar. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Kommentar. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Dessa finns i Gauss' Werke , Vol II, s. 65–92 och 93–148

Tyska översättningar finns på s. 511–533 och 534–586 av följande, som också har Disquisitiones Arithmeticae och Gauss andra artiklar om talteori.

•   Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (översättare till tyska) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Andra upplagan) , New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{ citat }} : |first2= har ett generiskt namn ( hjälp )

Eisenstein

•   Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), "Lois de réciprocité" , Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) , J. Reine Angew. Matematik. 28, pp. 53–67 (Crelle's Journal), 1844 (28): 53–67, doi : 10.1515/crll.1844.28.53 , S2CID 120713971

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Matematik. 28 s. 223–245 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique transcendante , J. Reine Angew. Matematik. 29 s. 177–184 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen Angewungen, zu den Multiplications- und Multiplications . Matematik. 30 s. 185–210 (Crelle's Journal)

Dessa papper finns alla i Vol I av hans Werke .

Dirichlet

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , J. Reine Angew. Matematik. 9 s. 379–389 (Crelle's Journal)

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen , Abh. Königl. Preuss. Akad. Wiss. s. 101–121

båda dessa finns i Vol I av hans Werke .

Moderna författare

•   Cox, David A. (1989), Primes of the form x ² + ny ² , New York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0

•   Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (andra upplagan) , New York: Springer , ISBN 0-387-97329-X

•   Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein , Springer Monographs in Matematik, Berlin: Springer, doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Biquadratic Reciprocity Theorem" . MathWorld .

Dessa två artiklar av Franz Lemmermeyer innehåller bevis för Burdes lag och relaterade resultat:

• Rationell kvartisk ömsesidighet
• Rational Quartic Reciprocity II