Hasse–Davenport relation

Hasse -Davenport-relationerna , introducerade av Davenport och Hasse ( 1935 ), är två relaterade identiteter för Gauss-summor , den ena kallas Hasse-Davenport-lyftrelationen och den andra kallas Hasse-Davenport-produktrelationen . Hasse–Davenports lyftrelation är en likhet i talteori som relaterar Gauss-summor över olika fält. Weil (1949) använde den för att beräkna zetafunktionen för en Fermat-hyperyta över ett ändligt fält , vilket motiverade Weil-förmodningarna .

Gauss-summor är analoger till gammafunktionen över ändliga fält, och Hasse-Davenport-produktrelationen är analogen till Gauss multiplikationsformel

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right) \cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2 -kz}\;\Gamma (kz).\,\!$

Faktum är att produktrelationen Hasse–Davenport följer av den analoga multiplikationsformeln för p -adiska gammafunktioner tillsammans med Gross–Koblitz-formeln från Gross & Koblitz (1979) .

Hasse–Davenport lyftförhållande

Låt F vara ett ändligt fält med q element, och F _s vara fältet så att [ F _s : F ] = s , det vill säga s är dimensionen av vektorrummet F _s över F .

Låt $\alpha$ vara ett element i $F_{s}$ .

Låt $\chi$ vara ett multiplikativt tecken från F till de komplexa talen.

Låt $N_{F_{s}/F}(\alpha )$ vara normen från $F_{s}$ till $F$ definierad av

$N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,$

Låt $\chi '$ vara det multiplikativa tecknet på $F_{s}$ som är sammansättningen av $\chi$ med normen från F _s till F , dvs.

$\chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))$

Låt ψ vara någon icke-trivial additiv karaktär av F , och låt $\psi '$ vara det additiva tecknet på $F_{s}$ som är sammansättningen av $\psi$ med spåra från F _s till F , det vill säga

$\psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))$

Låta

$\tau (\chi ,\psi )=\summa _{x\in F}\chi (x)\psi (x )$

vara Gausssumman över F , och låt $\tau (\chi ',\psi ')$ vara Gausssumman över $F_{s}$ .

Sedan säger Hasse–Davenports lyftrelation det

$(-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').$

Hasse–Davenport produktrelation

Produktrelationen Hasse–Davenport säger att

$\prod _{a{\bmod { m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{ \bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )$

där ρ är ett multiplikativt tecken av exakt ordning m dividerat q –1 och χ är vilket multiplikativt tecken som helst och ψ är ett icke-trivialt additivt tecken.

•    Davenport, Harold; Hasse, Helmut (1935), "Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen. (Om kongruensens zeta-funktioners nollor i vissa cykliska fall)" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (på tyska), 172 : 151– 182, ISSN 0075-4102 , Zbl 0010.33803
•     Gross, Benedict H.; Koblitz, Neal (1979), "Gauss sums and the p-adic Γ-function", Annals of Mathematics , Second Series, 109 (3): 569–581, doi : 10.2307 /1971226 , ISSN 0003-486X , JSTOR 7122 7122 MR 0534763
•   Irland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). En klassisk introduktion till modern talteori . Springer. s. 158 –162. ISBN 978-0-387-97329-6 .
•     Weil, André (1949), "Antal lösningar av ekvationer i finita fält", Bulletin of the American Mathematical Society , 55 ( 5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-0002 , ISSN 0002 -9904 , MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers av André Weil ISBN 0-387-90330-5