Debye funktion

I matematik definieras familjen av Debye-funktioner av

$D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t }-1}}\,dt.$

Funktionerna är namngivna för att hedra Peter Debye , som kom över denna funktion (med n = 3) 1912 när han analytiskt beräknade värmekapaciteten för det som nu kallas Debye-modellen .

Matematiska egenskaper

Relation till andra funktioner

Debye-funktionerna är nära besläktade med polylogaritmen .

Serieutvidgning

De har serieutvidgningen

$D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\summa _{k=1}^{\ infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,$

där $B_{n}$ är det n:te Bernoulli-talet .

Begränsande värden

$\lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.$

Om $\Gamma$ är gammafunktionen och $\zeta$ är Riemann zetafunktionen , då, för $x\gg 0$ ,

$D_{n}(x )={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\ sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatörsnamn {Re} n>0,$

Derivat

Derivaten lyder relationen

$xD_{n}^{\prime }(x)=n(B(x)-D_{n}( x)),$

där $B(x)=x/(e^{x}-1)$ är Bernoulli-funktionen.

Tillämpningar i fasta tillståndets fysik

Debye-modellen

Debye -modellen har en täthet av vibrationstillstånd

$g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D} }^{3}}}$ för $0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}$

med Debye-frekvensen ω _D .

Intern energi- och värmekapacitet

Infoga g i den inre energin

$U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \, n(\omega )$

med Bose–Einstein-distributionen

$n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}} T)-1}}$ .

man får

$U=3k_{\rm {B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\rm {D}} /k_{\rm {B}}T)$ .

Värmekapaciteten är derivatet därav.

Medelkvadratförskjutning

Intensiteten av röntgendiffraktion eller neutrondiffraktion vid vågnummer q ges av Debye-Waller-faktorn eller Lamb-Mössbauer-faktorn . För isotropa system tar det formen

$\exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x} ^{2}\rangle$ ).

I detta uttryck hänvisar medelkvadratförskjutningen till bara en gång kartesisk komponent u _x i vektorn u som beskriver förskjutningen av atomer från deras jämviktspositioner. Om man antar harmoni och utvecklas till normala lägen får man

$2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\rm {B}}T}}= {\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}} +1\höger].$

Genom att infoga densiteten av tillstånd från Debye-modellen får man

$2W(q)={\ frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega _{\rm {D}}}}\right)D_{1}\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {D }}}{k_{\rm {B}}T}}\right)+{\frac {1}{2}}\right]$ .

Av ovanstående effektserieexpansion av $D_{1}$ följer att medelkvadratförskjutningen vid höga temperaturer är linjär i temperatur

$2W(q)={\frac {3k_{\rm {B}}Tq^{2}}{M\omega _{\rm {D}}^{2}}}$ .

Frånvaron av $\hbar$ indikerar att detta är ett klassiskt resultat. Eftersom $D_{1}(x)$ går till noll för $x\to \infty$ följer det att för $T=0$

$2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}} {M\hbar \omega _{\rm {D}}}}$ ( nollpunktsrörelse ).

Vidare läsning

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 27" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. sid. 998. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
• "Debye function"-posten i MathWorld , definierar Debye-funktionerna utan prefaktor n / x ⁿ

Genomföranden

•   Ng, EW; Devine, CJ (1970). "Om beräkningen av Debye-funktioner av heltalsordningar" . Matematik. Comp . 24 (110): 405–407. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0272160-6 . MR 0272160 .
•   Engeln, I.; Wobig, D. (1983). "Beräkning av de generaliserade Debye-funktionerna delta(x,y) och D(x,y)". Kolloid- och polymervetenskap . 261 : 736-743. doi : 10.1007/BF01410947 . S2CID 98476561 .
•   MacLeod, Allan J. (1996). "Algorithm 757: MISCFUN, ett mjukvarupaket för att beräkna ovanliga specialfunktioner". ACM Trans. Matematik. Programvara . 22 (3): 288–301. doi : 10.1145/232826.232846 . S2CID 37814348 . Fortran 77 kod
• Fortran 90 version
•   Maximon, Leonard C. (2003). "Dilogaritmfunktionen för komplext argument". Proc. R. Soc. A . 459 (2039): 2807–2819. Bibcode : 2003RSPSA.459.2807M . doi : 10.1098/rspa.2003.1156 . S2CID 122271244 .
•   Guseinov, II; Mamedov, BA (2007). "Beräkning av heltals och icke-heltals n-dimensionella debye-funktioner med hjälp av binomialkoefficienter och ofullständiga gammafunktioner". Int. J. Thermophys . 28 (4): 1420–1426. Bibcode : 2007IJT....28.1420G . doi : 10.1007/s10765-007-0256-1 . S2CID 120284032 .
• C-version av GNU Scientific Library