Gas i en harmonisk fälla
Resultaten av den kvantharmoniska oscillatorn kan användas för att titta på jämviktssituationen för en kvantideal gas i en harmonisk fälla, som är en harmonisk potential som innehåller ett stort antal partiklar som inte interagerar med varandra förutom för momentana termaliserande kollisioner. Denna situation är av stor praktisk betydelse eftersom många experimentella studier av Bose-gaser utförs i sådana harmoniska fällor.
Med hjälp av resultaten från antingen Maxwell–Boltzmann statistik , Bose–Einstein statistik eller Fermi–Dirac statistik använder vi Thomas–Fermi approximation (gas i en låda) och går till gränsen för en mycket stor fälla och uttrycker energins degeneration anger ( ) som en differential, och summeringar över tillstånd som integraler. Vi kommer då att kunna beräkna gasens termodynamiska egenskaper med hjälp av partitionsfunktionen eller den stora partitionsfunktionen . Endast fallet med massiva partiklar kommer att beaktas, även om resultaten kan utökas till masslösa partiklar också, ungefär som gjordes i fallet med den ideala gasen i en låda . Mer fullständiga beräkningar kommer att lämnas till separata artiklar, men några enkla exempel kommer att ges i den här artikeln.
Thomas-Fermi approximation för degeneration av stater
För massiva partiklar i en harmonisk brunn räknas partikelns tillstånd upp av en uppsättning kvanttal . Energin i ett visst tillstånd ges av:
Anta att varje uppsättning kvanttal anger tillstånd där är antalet interna frihetsgrader för partikeln som kan ändras genom kollision. Till exempel skulle en spin-1/2-partikel ha en för varje spinntillstånd. Vi kan tänka på varje möjligt tillstånd för en partikel som en punkt på ett 3-dimensionellt rutnät av positiva heltal. Thomas–Fermi approximationen antar att kvanttalen är så stora att de kan anses vara ett kontinuum. För stora värden på kan vi uppskatta antalet tillstånd med energi mindre än eller lika med från ovanstående ekvation som:
vilket är bara gånger volymen av tetraedern som bildas av planet som beskrivs av energiekvationen och gränsplanen för den positiva oktanten. Antalet tillstånd med energi mellan och är därför:
Lägg märke till att när vi använder denna kontinuumapproximation har vi förlorat förmågan att karakterisera lågenergitillstånden, inklusive grundtillståndet där . I de flesta fall kommer detta inte att vara ett problem, men när vi överväger Bose–Einstein-kondensering, där en stor del av gasen är i eller nära marktillståndet, måste vi återställa förmågan att hantera lågenergitillstånd.
Utan att använda kontinuumapproximationen ges antalet partiklar med energi
var
för partiklar som följer Maxwell–Boltzmanns statistik för partiklar som följer Bose–Einsteins statistik för partiklar som följer Fermi–Dirac-statistiken
med , där är Boltzmanns konstant , är temperatur och är den kemiska potentialen . Med hjälp av kontinuumapproximationen skrivs nu antalet partiklar med energi mellan och
Energidistributionsfunktion
Vi är nu i stånd att bestämma några fördelningsfunktioner för "gasen i en harmonisk fälla". Fördelningsfunktionen för valfri variabel är och är lika med andelen partiklar som har värden för mellan och :
Det följer att:
Genom att använda dessa relationer får vi energifördelningsfunktionen:
Specifika exempel
Följande avsnitt ger ett exempel på resultat för vissa specifika fall.
Massiva Maxwell-Boltzmann-partiklar
För det här fallet:
Att integrera energidistributionsfunktionen och lösa för ger:
Att ersätta den ursprungliga energidistributionsfunktionen ger:
Massiva Bose-Einstein-partiklar
För det här fallet:
där definieras som:
Att integrera energidistributionsfunktionen och lösa för ger:
Där är polylogaritmfunktionen . Polylogaritmtermen måste alltid vara positiv och reell, vilket innebär att dess värde kommer att gå från 0 till eftersom går från 0 till 1. När temperaturen går till noll, blir större och större, tills slutligen når ett kritiskt värde , där och
Temperaturen vid vilken är den kritiska temperatur vid vilken ett Bose–Einstein-kondensat börjar bildas. Problemet är, som nämnts ovan, att grundtillståndet har ignorerats i kontinuumapproximationen. Det visar sig att uttrycket ovan uttrycker antalet bosoner i exciterade tillstånd ganska bra, och så kan vi skriva:
där den tillagda termen är antalet partiklar i grundtillståndet. (Grundtillståndsenergin har ignorerats.) Denna ekvation kommer att hålla nere till noll temperatur. Ytterligare resultat finns i artikeln om den ideala Bose-gasen .
Massiva Fermi-Dirac-partiklar (t.ex. elektroner i en metall)
För det här fallet:
Att integrera energidistributionsfunktionen ger:
där återigen är polylogaritmfunktionen . Ytterligare resultat finns i artikeln om den ideala Fermi-gasen .
- Huang, Kerson, "Statistical Mechanics", John Wiley and Sons, New York, 1967
- A. Isihara, "Statistical Physics", Academic Press, New York, 1971
- LD Landau och EM Lifshitz, "Statistical Physics, 3rd Edition del 1", Butterworth-Heinemann, Oxford, 1996
- CJ Pethick och H. Smith, "Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases", Cambridge University Press, Cambridge, 2004