Thermal de Broglie våglängd

Inom fysiken är den termiska de Broglie-våglängden ( ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {th} }},$ ibland också betecknad med $\Lambda$ ) ungefär den genomsnittliga de Broglie-våglängden för partiklar i en idealgas vid angiven temperatur. Vi kan ta det genomsnittliga avståndet mellan partiklarna i gasen till ungefär ( V / N ) ^1/3 där V är volymen och N är antalet partiklar. När den termiska de Broglie-våglängden är mycket mindre än avståndet mellan partiklarna, kan gasen anses vara en klassisk eller Maxwell-Boltzmann- gas. Å andra sidan, när den termiska de Broglie-våglängden är i storleksordningen eller större än avståndet mellan partiklarna, kommer kvanteffekter att dominera och gasen måste behandlas som en Fermi-gas eller en Bose-gas , beroende på gaspartiklarnas natur. . Den kritiska temperaturen är övergångspunkten mellan dessa två regimer, och vid denna kritiska temperatur kommer den termiska våglängden att vara ungefär lika med avståndet mellan partiklarna. Det vill säga gasens kvanta natur kommer att vara uppenbar för

$$\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}} }\leq 1\ ,{\rm {eller}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }$$

dvs när avståndet mellan partiklar är mindre än den termiska de Broglie-våglängden; i detta fall kommer gasen att följa Bose–Einstein-statistik eller Fermi–Dirac-statistik , beroende på vad som är lämpligt. Detta är till exempel fallet för elektroner i en typisk metall vid T = 300 K , där elektrongasen följer Fermi-Dirac-statistiken, eller i ett Bose-Einstein-kondensat . Å andra sidan, för

$$\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}} }\gg 1\ ,{\rm {eller}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }$$

dvs när avståndet mellan partiklarna är mycket större än den termiska de Broglie-våglängden, kommer gasen att följa Maxwell–Boltzmanns statistik . Så är fallet för molekylära eller atomära gaser vid rumstemperatur och för termiska neutroner som produceras av en neutronkälla .

Massiva partiklar

För massiva, icke-interagerande partiklar kan den termiska de Broglie-våglängden härledas från beräkningen av partitionsfunktionen . Om man antar en 1-dimensionell låda med längden L är partitionsfunktionen (med energitillstånden för 1D- partikeln i en låda )

$$Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\summa _{n}e^{-h^{2}n^{2 }/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.$$

Eftersom energinivåerna är extremt nära varandra kan vi approximera denna summa som en integral:

$$Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\ sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}.$$

Därav,

$$\lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}} },$$

där $h$ är Planck-konstanten , m är massan av en gaspartikel, $k_{\mathrm {B} }$ är Boltzmann-konstanten och T är gasens temperatur . Detta kan också uttryckas med den reducerade Planck-konstanten $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ som

$$\lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}.$$

Masslösa partiklar

För masslösa (eller mycket relativistiska ) partiklar definieras den termiska våglängden som

$$\lambda _{\mathrm {th} }={\frac {hc}{2\pi ^ {1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},$$

där c är ljusets hastighet. Liksom med den termiska våglängden för massiva partiklar, är denna av storleksordningen medelvåglängden för partiklarna i gasen och definierar en kritisk punkt vid vilken kvanteffekter börjar dominera. Till exempel, när man observerar det långa våglängdsspektrumet för svart kropp , kan den klassiska Rayleigh–Jeans-lagen tillämpas, men när de observerade våglängderna närmar sig den termiska våglängden för fotonerna i den svarta kroppsstrålaren, måste kvantplancks lag användas .

Allmän definition

En allmän definition av den termiska våglängden för en idealgas av partiklar som har ett godtyckligt kraftlagsförhållande mellan energi och rörelsemängd (spridningsförhållande), i valfritt antal dimensioner, kan introduceras. Om n är antalet dimensioner, och förhållandet mellan energi ( E ) och rörelsemängd ( p ) ges av

$$E=ap^{s}$$

(med a och s konstanter), så definieras den termiska våglängden som

$$\lambda _{\mathrm {th} } ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B}}T}}\right)^{1/s}\left[{ \frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},$$

där Γ är gammafunktionen . Speciellt för en 3-D ( n = 3 ) gas av massiva eller masslösa partiklar har vi E = p ² /2 m ( a = 1/2 m , s = 2) och E = pc ( a = c , s = 1) , vilket ger uttrycken som anges i de föregående avsnitten. Observera att för massiva icke-relativistiska partiklar ( s = 2) är uttrycket inte beroende av n . Detta förklarar varför 1-D-härledningen ovan stämmer överens med 3-D-fallet.

Exempel

Några exempel på den termiska de Broglie-våglängden vid 298 K ges nedan.

Arter	Massa (kg)	$\lambda _{\mathrm {th} }$ (m)
Elektron	9,1094 × 10 −31	4,3179 × 10 −9
Foton	0	1,6483 × 10 −5
H 2	3,3474 × 10 −27	7,1228 × 10 −11
O 2	5,3135 × 10 -26	1,7878 × 10 −11

• Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. denna wikisida är nere; se denna artikel i webbarkivet 2012 28 april .