Girationsradie

Gyrationsradie eller gyradie för en kropp kring rotationsaxeln definieras som det radiella avståndet till en punkt som skulle ha ett tröghetsmoment lika med kroppens faktiska massfördelning, om kroppens totala massa var koncentrerad där.

Matematiskt är gyrationsradien det genomsnittliga kvadratiska avståndet för objektets delar från antingen dess masscentrum eller en given axel , beroende på den relevanta tillämpningen. Det är faktiskt det vinkelräta avståndet från punktmassan till rotationsaxeln. Man kan representera en bana av en rörlig punkt som en kropp. Sedan kan svängningsradien användas för att karakterisera den typiska sträckan som denna punkt tillryggalagt.

Antag att en kropp består av $n$ partiklar var och en med massan $m$ . Låt $r_{1},r_{2},r_{3},\dots ,r_{n}$ vara deras vinkelräta avstånd från rotationsaxeln. Då är tröghetsmomentet $I$ för kroppen kring rotationsaxeln

$I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2 }+\cdots +m_{n}r_{n}^{2}$

Om alla massor är lika ( $m$ ), så är tröghetsmomentet $I=m(r_{1 }^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{n}^{2})$ .

Eftersom $m=M/n$ ( $M$ är kroppens totala massa),

$I=M(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+\cdots +r_{ n}^{2})/n$

Från ovanstående ekvationer har vi

$\displaystyle MR_{g}^{2}=M(r_{1}^{2}+r_{2} ^{2}+\cdots +r_{n}^{2})/n}$

Gyrationsradien är rotmedelkvadratavståndet för partiklar från axelformeln

$R_{g}^{2}=(r_{1}^{2}+r_{2}^{2 }+\cdots +r_{n}^{2})/n$

Därför kan en kropps svängningsradie kring en given axel också definieras som medelkvadratavståndet för kroppens olika partiklar från rotationsaxeln. Det är också känt som ett mått på hur massan av en roterande stel kropp är fördelad kring dess rotationsaxel.

IUPAP definition

Gyreringsradie (inom polymervetenskap)( $s$ , enhet: nm eller SI-enhet: m): För en makromolekyl som består av $n$ masselement, med massorna $m_{i }$ , $i$ =1,2,…, $n$ , belägen på fasta avstånd $s_{i}$ från massans centrum, gyrationsradien är kvadraten -roten av massmedelvärdet för $s_{i}^{2}$ över alla masselement, dvs.

$s=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}s_ {i}^{2}/\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)^{1/2}$

Obs: Masselementen tas vanligtvis som massorna av de skelettgrupper som utgör makromolekylen, t.ex. –CH ₂ – i poly(metylen).

Tillämpningar inom byggnadsteknik

Inom konstruktionsteknik används den tvådimensionella rotationsradien för att beskriva fördelningen av tvärsnittsarean i en kolumn runt dess tyngdpunktsaxel med kroppens massa. Gyrationsradien ges av följande formel:

$R_{\mathrm {g} }^{2}={\frac {I}{A}}$

eller

$R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {I}{A}}}$

Där $I$ är areans andra moment och $A$ är den totala tvärsnittsarean.

Gyreringsradien är användbar för att uppskatta styvheten hos en kolumn. Om huvudmomenten för den tvådimensionella gyrationstensorn inte är lika, kommer kolonnen att tendera att böja sig runt axeln med det mindre huvudmomentet. Till exempel kommer en kolumn med ett elliptiskt tvärsnitt att tendera att böja sig i riktning mot den mindre halvaxeln.

Inom teknik , där kontinuerliga kroppar av materia i allmänhet är föremål för studier, beräknas gyrationsradien vanligtvis som en integral.

Tillämpningar inom mekanik

Gyrationsradien kring en given axel ( ${\displaystyle r_{\mathrm {g} {\text{ axeln}}}} )$ kan beräknas i termer av masströghetsmomentet I- $\displaystyle I_{ \text{axeln}}}$ runt den axeln, och den totala massan m ;

$r_{\mathrm {g} {\text{ axel}}}^{2}={\frac {I_{\text{axel}}}{m}}$

eller

$r_{\mathrm {g} {\text{axel}}}={\sqrt {\frac {I_{\text{axel}}}{m}}}$

$I_{\text{axeln}}$ är en skalär , och är inte tröghetsmomentet tensor .

Molekylära tillämpningar

Inom polymerfysik används gyrationsradien för att beskriva dimensionerna av en polymerkedja . Gyrationsradien för en viss molekyl vid en given tidpunkt definieras som:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\summa _{k=1} ^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}$

där $\mathbf {r} _{\mathrm {medelvärde} }$ är medelpositionen för monomererna. Som beskrivs i detalj nedan är gyrationsradien också proportionell mot det genomsnittliga kvadratiska avståndet mellan monomererna:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{ i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}$

Som en tredje metod kan gyrationsradien också beräknas genom att summera de huvudsakliga momenten för gyrationstensorn .

Eftersom kedjekonformationerna för ett polymerprov är nästan oändliga i antal och ständigt förändras över tiden, måste "gyrationsradien" som diskuteras i polymerfysik vanligtvis förstås som ett medelvärde över alla polymermolekyler i provet och över tiden. Det vill säga svängningsradien som mäts som ett genomsnitt över tid eller ensemble :

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\left\langle \sum _ {k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}\right\rangle$

där vinkelparenteserna $\langle \ldots \rangle$ anger ensemblens medelvärde .

En entropiskt styrd polymerkedja (dvs i så kallade theta-förhållanden) följer en slumpmässig vandring i tre dimensioner. Girationsradien för detta fall ges av

$R_{\mathrm {g} }={\frac {1}{{\sqrt {6}}\ }}\ {\sqrt {N}}\ a$

Observera att även om $aN$ representerar polymerens konturlängd , är $a$ starkt beroende av polymerstyvheten och kan variera över storleksordningar. $N$ reduceras därefter.

En anledning till att gyrationsradien är en intressant egenskap är att den kan bestämmas experimentellt med statisk ljusspridning såväl som med neutron- och röntgenspridning med liten vinkel . Detta gör att teoretiska polymerfysiker kan kontrollera sina modeller mot verkligheten. Den hydrodynamiska radien är numeriskt lika och kan mätas med Dynamic Light Scattering (DLS).

Härledning av identitet

För att visa att de två definitionerna av $R_{\mathrm {g} }^{2}$ är identiska, multiplicerar vi först summan i den första definitionen:

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{ N}}\summa _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right)^{2}={ \frac {1}{N}}\summa _{k=1}^{N}\left[\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }-2\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\ höger]$

Genom att summera de två sista termerna och använda definitionen av $\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }$ ger formeln

$R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }+{\frac {1 }{N}}\summa _{k=1}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)$

Tillämpningar inom geografisk dataanalys

Vid dataanalys används gyrationsradien för att beräkna många olika statistik inklusive spridningen av geografiska platser. Dessa platser har nyligen samlats in från användare av sociala medier för att undersöka typiska omnämnanden av en användare. Detta kan vara användbart för att förstå hur en viss grupp användare på sociala medier använder plattformen.

$R_{\mathrm {g} }={\sqrt {\frac {\sum _{i= 1}^{N}m_{i}(r_{i}-r_{C})^{2}}{\summa _{i=1}^{N}m_{i}}}}$

Anteckningar

•   Grosberg AY och Khokhlov AR. (1994) Statistical Physics of Macromolecules (översatt av Atanov YA), AIP Press. ISBN 1-56396-071-0
• Flory PJ. (1953) Principles of Polymer Chemistry , Cornell University, s. 428–429 (Bilaga C i kapitel X).