Enhetsrot

Ej att förväxla med roten till enhet .

I sannolikhetsteori och statistik är en enhetsrot ett särdrag i vissa stokastiska processer (som slumpmässiga vandringar ) som kan orsaka problem i statistisk slutledning som involverar tidsseriemodeller . En linjär stokastisk process har en enhetsrot om 1 är en rot av processens karakteristiska ekvation . En sådan process är icke-stationär men har inte alltid en trend.

Om de andra rötterna till den karakteristiska ekvationen ligger inuti enhetscirkeln – det vill säga har en modul ( absolut värde ) som är mindre än en – så kommer den första skillnaden i processen att vara stationär; annars kommer processen att behöva ändras flera gånger för att bli stationär. Om det finns d enhetsrötter, måste processen differeras d gånger för att göra den stationär. På grund av denna egenskap kallas enhetsrotprocesser också differensstationära.

Enhetsrotprocesser kan ibland förväxlas med trendstationära processer; medan de delar många egenskaper, är de olika i många aspekter. Det är möjligt för en tidsserie att vara icke-stationär, men ändå inte ha någon enhetsrot och vara trendstationär. I både enhetsrot och trendstationära processer kan medelvärdet växa eller minska över tiden; Men i närvaro av en chock är trendstationära processer medelåtervändande (dvs övergående, tidsserien kommer åter att konvergera mot det växande medelvärdet, som inte påverkades av chocken) medan enhetsrotprocesser har en permanent inverkan på medelvärdet (dvs ingen konvergens över tid).

Om en rot av processens karakteristiska ekvation är större än 1, så kallas det en explosiv process , även om sådana processer ibland felaktigt kallas enhetsrötter.

Förekomsten av en enhetsrot kan testas med ett enhetsrottest .

Definition

Betrakta en tidsdiskret stokastisk process $(y_{t},t=1,2,3,\ldots )$ och anta att den kan skrivas som en autoregressiv ordningsprocess p :

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.$

Här är $(\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)$ en seriellt okorrelerad stokastisk process med nollmedelvärde med konstant varians $\sigma ^{2}$ . För enkelhetens skull, anta att $y_{0}=0$ . Om $m=1$ är en rot av den karakteristiska ekvationen , av multiplicitet 1:

$m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2} a_{2}-\cdots -a_{p}=0$

då har den stokastiska processen en enhetsrot eller, alternativt, integrerad av ordningen ett, betecknad $I(1)$ . Om m = 1 är en rot av multiplicitet r , så är den stokastiska processen integrerad av ordningen r , betecknad I ( r ).

Exempel

Den autoregressiva modellen av första ordningen, ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}},$ har en enhetsrot när $a_{1}=1$ . I det här exemplet är den karakteristiska ekvationen $m-a_{1}=0$ . Roten till ekvationen är $m=1$ .

₀ Om processen har en enhetsrot är det en icke-stationär tidsserie. Det vill säga att momenten i den stokastiska processen beror på $t$ . För att illustrera effekten av en enhetsrot kan vi betrakta första ordningens fall, med start från y = 0:

$y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.$

Genom upprepad substitution kan vi skriva $y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}$ . Sedan ges variansen av ${\displaystyle y_{t}} av:$

$\operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.$

Variansen beror på t eftersom ${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}} ,$ medan ${ \displaystyle \operatörsnamn {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$ . Observera att seriens varians divergerar till oändlighet med t .

Det finns olika tester för att kontrollera om det finns en enhetsrot, några av dem ges av:

1. Dickey –Fuller-testet (DF) eller utökat Dickey–Fuller -testet (ADF)
2. Testa betydelsen av mer än en koefficient (f-test)
3. Phillips -Perron-testet (PP)
4. Dickey Pantula test

Relaterade modeller

Förutom autoregressiva (AR) och autoregressiva–rörligt medelvärde (ARMA) modeller uppstår andra viktiga modeller i regressionsanalys där modellfelen i sig kan ha en tidsseriestruktur och därför kan behöva modelleras av en AR- eller ARMA-process som kan ha en enhetsrot, som diskuterats ovan. De finita provegenskaperna för regressionsmodeller med första ordningens ARMA-fel, inklusive enhetsrötter, har analyserats.

Uppskattning när en enhetsrot kan finnas

Ofta används vanliga minsta kvadrater (OLS) för att uppskatta lutningskoefficienterna för den autoregressiva modellen . Användning av OLS är beroende av att den stokastiska processen är stationär. När den stokastiska processen är icke-stationär kan användningen av OLS producera ogiltiga uppskattningar. Granger och Newbold kallade sådana uppskattningar för "falska regression"-resultat: höga R ² -värden och höga t-kvoter som ger resultat utan ekonomisk mening.

För att uppskatta lutningskoefficienterna bör man först göra ett enhetsrottest , vars nollhypotes är att en enhetsrot finns. Om den hypotesen förkastas kan man använda OLS. Men om närvaron av en enhetsrot inte avvisas, bör man tillämpa differensoperatorn på serien. Om ett annat enhetsrottest visar att den differentierade tidsserien är stationär, kan OLS sedan appliceras på denna serie för att uppskatta lutningskoefficienterna.

Till exempel, i fallet AR(1), $\Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _ {t}$ är stationär.

I fallet AR(2) är $y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2} y_{t-2}+\varepsilon _{t}$ kan skrivas som $(1-\lambda _{1}L )(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}$ där L är en fördröjningsoperator som minskar tidsindexet för en variabel med en period: $Ly_{t}=y_{t-1}$ . Om $\lambda _{2}=1$ , har modellen en enhetsrot och vi kan definiera $z_{t}=\Delta y_{t}$ ; sedan

$z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}$

är stationär om $|\lambda _{1}|<1$ . OLS kan användas för att uppskatta lutningskoefficienten, $\lambda _{1}$ .

Om processen har flera enhetsrötter kan differensoperatorn användas flera gånger.

Egenskaper och egenskaper hos enhetsrotprocesser

• Stötar på en enhetsrotprocess har permanenta effekter som inte avtar som de skulle göra om processen var stationär
• Som noterats ovan har en enhetsrotprocess en varians som beror på t och divergerar till oändlighet
• Om det är känt att en serie har en enhetsrot, kan serien differentieras för att göra den stationär. Till exempel, om en serie $Y_{t}$ är I(1), serien $\Delta Y_{t}=Y_{t}- Y_{t-1}$ är I(0) (stationär). Det kallas därför en stationär skillnadsserie .

Enhetsrothypotes

Diagrammet ovan visar ett exempel på en potentiell enhetsrot. Den röda linjen representerar en observerad minskning av produktionen. Grön visar återhämtningsvägen om serien har en enhetsrot. Blå visar återhämtningen om det inte finns någon enhetsrot och serien är trendstationär. Den blå linjen återvänder för att möta och följa den streckade trendlinjen medan den gröna linjen förblir permanent under trenden. Enhetsrothypotesen säger också att en topp i produktionen kommer att leda till att produktionen är högre än den tidigare trenden.

Ekonomer diskuterar om olika ekonomisk statistik, särskilt produktion , har en enhetsrot eller är trendstationär . En enhetsrotprocess med drift ges i första ordningens fall av

$y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}$

där c är en konstant term som kallas "drift"-termen och $e_{t}$ är vitt brus. Varje värde som inte är noll på brustermen, som inträffar under endast en period, kommer permanent att påverka värdet på $y_{t}$ som visas i grafen, så avvikelser från linjen $y_{t}=a+ct$ är icke-stationära; det finns ingen återgång till någon trendlinje. Däremot ges en trendstationär process av

$y_{t}=k\cdot t+u_{t}$

där k är lutningen på trenden och $u_{t}$ är brus (vitt brus i det enklaste fallet; mer allmänt brus som följer sin egen stationära autoregressiva process). Här kommer eventuellt övergående brus inte att förändra den långsiktiga tendensen för $y_{t}$ att vara på trendlinjen, vilket också visas i grafen. Denna process sägs vara trendstationär eftersom avvikelser från trendlinjen är stationära.

Frågan är särskilt populär i litteraturen om konjunkturcykler. Forskning om ämnet började med Nelson och Plosser vars uppsats om BNP och andra produktionsaggregat misslyckades med att förkasta enhetsrothypotesen för dessa serier. Sedan dess har en debatt – sammanflätad med tekniska tvister om statistiska metoder – uppstått. Vissa ekonomer hävdar att BNP har en enhetsrot eller strukturellt avbrott , vilket antyder att ekonomiska nedgångar resulterar i permanent lägre BNP-nivåer på lång sikt. Andra ekonomer hävdar att BNP är trendstationär: Det vill säga när BNP faller under trenden under en nedgång återgår den senare till den nivå som trenden antyder så att det inte blir någon permanent minskning av produktionen. Medan litteraturen om enhetsrothypotesen kan bestå av mystiska debatter om statistiska metoder, har hypotesen betydande praktiska konsekvenser för ekonomiska prognoser och politik.

Se även

• Dickey–Fuller test
• Förstärkt Dickey–Fuller-test
• ADF-GLS test
• Enhetsrottest
• Phillips-Perron-test
• Kointegration , bestämmer förhållandet mellan två variabler med enhetsrötter
• Viktad symmetrisk enhetsrottest (WS)
• Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin-test, känt som KPSS-tester