Trend-stationär process

I den statistiska analysen av tidsserier är en trendstationär process en stokastisk process från vilken en underliggande trend (funktion endast av tid) kan tas bort och lämnar en stationär process . Trenden behöver inte vara linjär.

Omvänt, om processen kräver att differensen görs stationär, kallas den differensstationär och har en eller flera enhetsrötter . Dessa två begrepp kan ibland förväxlas, men även om de delar många egenskaper är de olika i många aspekter. Det är möjligt för en tidsserie att vara icke-stationär, men ändå inte ha någon enhetsrot och vara trendstationär. I både enhetsrot och trendstationära processer kan medelvärdet växa eller minska över tiden; Men i närvaro av en chock är trendstationära processer medelåtervändande (dvs övergående, tidsserien kommer åter att konvergera mot det växande medelvärdet, som inte påverkades av chocken) medan enhetsrotprocesser har en permanent inverkan på medelvärdet (dvs ingen konvergens över tid).

Formell definition

En process { Y } sägs vara trendstationär om

Y_{t}=f(t)+e_{t},

där t är tid, f är valfri funktionsavbildning från realerna till realerna, och { e } är en stationär process. Värdet $f(t)$ sägs vara trendvärdet för processen vid tidpunkten t .

Enklaste exemplet: stationaritet kring en linjär trend

Antag att variabeln Y utvecklas enligt

Y_{t}=a\cdot t+b+e_{t}

där t är tid och e _t är feltermen, som antas vara vitt brus eller mer allmänt ha genererats av någon stationär process. Sedan kan man använda linjär regression för att få en uppskattning ${\hat {a}}$ av den sanna underliggande trendlutningen $a$ och en uppskattning ${\hat {b}}$ av den underliggande skärningstermen b ; om skattningen ${\hat {a}}$ skiljer sig signifikant från noll, är detta tillräckligt för att med hög säkerhet visa att variabeln Y är icke-stationär. Residualerna denna regression ges av

{\hat {e}}_{t}=Y_{t}-{\hat {a}}\cdot t-{\hat {b}}.

Om dessa uppskattade residualer statistiskt kan visas vara stationära (mer exakt, om man kan förkasta hypotesen att de sanna underliggande felen är icke-stationära), så hänvisas residualerna till som de detrenderade data, och den ursprungliga serien { Y _t } sägs vara trendstationär även om den inte är stationär.

Stationaritet kring andra typer av trender

Exponentiell tillväxttrend

Många ekonomiska tidsserier kännetecknas av exponentiell tillväxt . Anta till exempel att man antar att bruttonationalprodukten kännetecknas av stationära avvikelser från en trend som innebär en konstant tillväxttakt. Då skulle det kunna modelleras som

{\text{BNP}}_{t}=Be^{at}U_{t}

där U _t antas vara en stationär felprocess. För att uppskatta parametrarna $a$ och B , tar man först den naturliga logaritmen (ln) på båda sidor av denna ekvation:

\ln({\text{BNP}}_{t})=\ln B+at+\ln(U_{t}).

Denna loglinjära ekvation är i samma form som den tidigare linjära trendekvationen och kan detrenderas på samma sätt, vilket ger den uppskattade ( $\displaystyle (\ln U)_{t}}$ som detrenderade värdet på ${\displaystyle (\ln {\text{GDP}})_{t}} ,$ och därav den implicita $U_{t}$ som det avslöjade värdet av ${\text{GDP}}_{t}$ , förutsatt att man kan förkasta hypotesen att $(\ln U)_{t}$ är icke-stationär.

Kvadratisk trend

Trender behöver inte vara linjära eller loglinjära. Till exempel kan en variabel ha en kvadratisk trend:

Y_{t}=a\cdot t+c\cdot t^{2}+b+e_{t}.

Detta kan regresseras linjärt i koefficienterna med t och t ² som regressorer; återigen, om residualerna visas vara stationära så är de de återgivna värdena för $Y_{t}$ .

Se även

Anteckningar