Lagoperatör

I tidsserieanalys arbetar eftersläpningsoperatorn (L) eller bakåtskiftsoperatorn ( B) på ett element i en tidsserie för att producera det föregående elementet . Till exempel med tanke på några tidsserier

X=\{X_{1},X_{2},\dots \}

sedan

LX_{t}=X_{t-1}

för alla

t>1

eller liknande i termer av backshift-operatorn B : $BX_{t}=X_{t-1}$ för alla $t>1$ . På motsvarande sätt kan denna definition representeras som

X_{t}=LX_{t+1}

för alla

t\geq 1

Fördröjningsoperatorn (liksom backshift-operatorn) kan höjas till godtyckliga heltalspotenser så att

L^{-1}X_{t}=X_{t+1}

och

L^{k}X_{t}=X_{tk}.

Lagpolynom

Polynom av fördröjningsoperatorn kan användas, och detta är en vanlig notation för ARMA- modeller (autoregressive moving average). Till exempel,

\varepsilon _{t}=X_{t}-\summa _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}=\left(1-\summa _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\ höger) X_{t}

anger en AR( p ) modell.

Ett polynom av eftersläpningsoperatorer kallas ett eftersläpningspolynom så att till exempel ARMA-modellen kortfattat kan specificeras som

\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}

där $\varphi (L)$ och $\theta (L)$ representerar fördröjningspolynomen respektive

\varphi (L)=1-\summa _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}

och

\theta (L)=1+\summa _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,

Polynom av eftersläpningsoperatorer följer liknande regler för multiplikation och division som tal och polynom för variabler. Till exempel,

X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},

betyder samma sak som

\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.

Som med polynom av variabler kan ett polynom i eftersläpningsoperatorn delas med en annan med hjälp av långdivision av polynom . I allmänhet att dividera ett sådant polynom med ett annat, när var och en har en finit ordning (högsta exponent), resulterar i ett polynom av oändlig ordning.

En annihilator-operator , betecknad $[\ ]_{+}$ , tar bort posterna för polynomet med negativ potens (framtida värden).

Observera att $\varphi \left(1\right)$ anger summan av koefficienter:

\varphi \left(1\right)=1-\summa _{i=1}^{p}\varphi _{i}

Skillnadsoperatör

I tidsserieanalys, den första skillnadsoperatorn: $\Delta$

{\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\ end{aligned}}

På liknande sätt fungerar den andra skillnadsoperatorn enligt följande:

{\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&= (1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t }&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}

Ovanstående tillvägagångssätt generaliserar till den i -te differensoperatorn $\Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .$

Villkorlig förväntan

Det är vanligt i stokastiska processer att bry sig om det förväntade värdet av en variabel givet en tidigare informationsuppsättning. Låt $\Omega _{t}$ vara all information som är allmänt känt vid tidpunkten t (detta är ofta tecknat under förväntningsoperatorn); då kan det förväntade värdet av realiseringen av X , j tidssteg i framtiden, skrivas ekvivalent som:

E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].

Med dessa tidsberoende villkorade förväntningar finns det ett behov av att skilja mellan backshift-operatorn ( B ) som endast justerar datumet för den prognostiserade variabeln och Lag-operatorn ( L ) som justerar lika mycket datumet för den prognostiserade variabeln och informationsuppsättningen :

L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{tn}[ X_{t+jn}],

B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+jn}].

Se även

Hamilton, James Douglas (1994). Tidsserieanalys . Princeton University Press. ISBN 0-691-04289-6 .
Verbeek, Marno (2008). En guide till modern ekonometri . John Wiley och söner. ISBN 0-470-51769-7 .
Weisstein, Eric. "Wolfram MathWorld" . WolframMathworld: Difference Operator . Wolfram Research . Hämtad 10 november 2017 .
Box, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016). Tidsserieanalys: prognoser och kontroll (5:e upplagan). New Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1 .