Céas lemma

Céas lemma är ett lemma i matematik . Introducerad av Jean Céa i sin Ph.D. avhandling är det ett viktigt verktyg för att bevisa feluppskattningar för den finita elementmetoden som tillämpas på elliptiska partiella differentialekvationer .

Lemma uttalande

Låt $V$ vara ett riktigt Hilbert-utrymme med normen $\|\cdot \|.$ Låt $a:V\times V\to \mathbb {R}$ vara en bilinjär form med egenskaperna

• $|a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|$ för någon konstant $\gamma >0$ och alla $v,w$ i $V$ ( kontinuitet )
• $a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}$ för någon konstant $\alpha >0$ och alla $v$ i $V$ ( koercivitet eller $V$ -ellipticity).

Låt $L:V\to \mathbb {R}$ vara en avgränsad linjär operator . Tänk på problemet med att hitta ett element $u$ i $V$ så att

$a(u,v)=L(v)$ för alla $v$ i $V.$

Betrakta samma problem på ett ändligt dimensionellt delrum $V_{h}$ av $V,$ så, $u_{h}$ i $V_{h }$ uppfyller

$a(u_{h},v)=L(v)$ för alla $v$ i $V_{h}.$

Enligt Lax-Milgram-satsen har vart och ett av dessa problem exakt en lösning. Det står det i Céas lemma

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|uv\|} för$ alla $v$ i $V_{h}.$

Det vill säga, delrumslösningen $u_{h}$ är "den bästa" approximationen av $u$ i $V_{h},$ upp till konstanten $\gamma /\alpha .$

Beviset är enkelt

$\alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h} ,u-u_{h})=a(u-u_{h},uv)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},uv)\ leq \gamma \|u-u_{h}\|\|uv\|$ för alla $v$ i $V_{h}.$

Vi använde a $\displaystyle a}$ -ortogonaliteten för $u-u_{h}$ och $v-u_{h}\in V_{h}$

$a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}$

som följer direkt av $V_{h}\subset V$

$a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)$ för alla $v$ i $V_{h}$ .

Notera: Céas lemma gäller även komplexa Hilbert-utrymmen, man använder då en sesquilinjär form $a(\cdot ,\cdot )$ istället för en bilinjär. Tvångsantagandet blir då $|a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}$ för alla $v$ i $V$ (lägg märke till den absoluta värdetecken runt $a(v,v)$ ).

Feluppskattning i energinormen

Delrumslösningen $u_{h}$ är projektionen av $u$ på delrummet $V_{h}$ i förhållande till den inre produkten ${\ displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ .

I många applikationer är den bilinjära formen $a:V\times V\to \mathbb {R}$ symmetrisk, så

$a(v,w)=a(w,v)$ för alla $v,w$ i $V.$

Detta, tillsammans med ovanstående egenskaper hos denna form, innebär att $a(\cdot ,\cdot )$ är en inre produkt på $V.$ Den resulterande normen

$\|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}$

kallas energinormen , eftersom den motsvarar en fysisk energi i många problem. Denna norm är ekvivalent med den ursprungliga normen $\|\cdot \|.$

Använda a $\displaystyle a}$ -ortogonaliteten för $u-u_{h}$ och $V_{h}$ och olikheten Cauchy–Schwarz

${\ displaystil \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},uv)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|uv\|_{a}}$ för alla $v$ i $V_{h}$ .

Därför blir ojämlikheten i Céas lemma i energinormen

$\|u-u_{h}\|_{a}\leq \|uv\|_{a}$ för alla $v$ i $V_{h}$

(märk på att konstanten $\gamma /\alpha$ på höger sida inte längre finns).

Detta anger att delrumslösningen $u_{h}$ är den bästa approximationen till fullrymdslösningen $u$ med avseende på energinormen. Geometriskt betyder detta att $u_{h}$ är projektionen av lösningen $u$ på delrummet $V_{h}$ i förhållande till den inre produkten $a(\cdot ,\cdot )$ (se bilden intill).

Med detta resultat kan man även härleda en skarpare uppskattning i normen $\|\cdot \|$ . Eftersom

${\display alfa \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{ 2}\leq \|uv\|_{a}^{2}\leq \gamma \|uv\|^{2}} för alla$ v $\displaystyle v}$ i $V_{h}$ ,

det följer att

$\|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {\gamma }{\alpha }}}\|uv\|$ för alla $v$ i $V_{h}$ .

En tillämpning av Céas lemma

Vi kommer att tillämpa Céas lemma för att uppskatta felet att beräkna lösningen till en elliptisk differentialekvation med finita elementmetoden .

En sträng med fasta ändpunkter under påverkan av en kraft som pekar nedåt.

Tänk på problemet med att hitta en funktion $u:[a,b]\to \mathbb {R}$ som uppfyller villkoren

${\begin{cases}-u''=f{\mbox{ i }}[a,b]\ \u(a)=u(b)=0\end{cases}}$

där $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ är en given kontinuerlig funktion .

Fysiskt representerar lösningen $u$ på detta tvåpunktsgränsvärdeproblem formen som tas av en sträng under påverkan av en kraft så att vid varje punkt $displaystyle x}$ \ mellan $a$ och $b$ kraftdensiteten är $f(x)\mathbf {e}$ (där $\mathbf {e}$ är en enhetsvektor som pekar vertikalt, medan ändpunkterna av strängen är på en horisontell linje, se bilden intill). Till exempel kan den kraften vara gravitationen , när $f$ är en konstant funktion (eftersom gravitationskraften är densamma i alla punkter).

Låt Hilbert-utrymmet $V$ vara Sobolev-utrymmet $H_{0}^{1}(a,b),$ som är rummet för alla kvadratintegrerbara funktioner $v$ definierad på $[a,b]$ som har en svag derivata på $[a,b]$ med $v'$ är också kvadratintegrerbar och $v$ uppfyller villkoren $v(a)=v(b)=0.$ Den inre produkten på detta utrymme är

$(v,w)=\int _{a}^{b }\!\left(v(x)w(w)+v'(x)w'(x)\right)\,dx$ för alla $v$ och $w$ i $V.$

Efter att ha multiplicerat det ursprungliga gränsvärdesproblemet med $v$ i detta utrymme och utfört en integrering med delar , får man det ekvivalenta problemet

$a(u,v)=L(v)$ för alla $v$ i $V$ ,

med

$a(u,v)=\int _{a}^{b}\!u'(x)v '(x)\,dx$ ,

och

$L(v)=\int _{a}^{b}\!f(x)v(x)\,dx.$

Det kan visas att den bilinjära formen $a(\cdot ,\cdot )$ och operatorn $L$ uppfyller antagandena i Céas lemma.

En funktion i $V_{h}$ (i rött), och den typiska samlingen av basfunktioner i $V_{h}$ (i blått).

För att bestämma ett ändligt dimensionellt delrum $V_{h}$ av ${\displaystyle V,} en$ överväg partition

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$

av intervallet $[a,b],$ och låt $V_{h}$ vara utrymmet för alla kontinuerliga funktioner som är affina på varje delintervall i partitionen (sådana funktioner kallas bitvis-linjära ). Antag dessutom att vilken funktion som helst i $V_{h}$ tar värdet 0 vid ändpunkterna för $[a,b].$ Det följer att $V_{h}$ är ett vektordelrum till $V$ vars dimension är $n-1$ (talet punkter i partitionen som inte är slutpunkter).

Låt $u_{h}$ vara lösningen på subrymdproblemet

$a(u_{h},v)=L(v)$ för alla $v$ i $V_{h},$

så man kan tänka på $u_{h}$ som en bitvis-linjär approximation till den exakta lösningen $u.$ Enligt Céas lemma finns det en konstant $C>0$ som endast är beroende av den bilinjära formen $a(\cdot ,\cdot ),$ såsom den där

$\|u-u_{h}\|\leq C\|uv\|$ för alla $v$ i $V_{h}.$

För att explicit beräkna felet mellan $u$ och $u_{h},$ överväg funktionen $\pi u$ i $V_{h}$ som har samma värden som $u$ vid partitionens noder (så $\pi u$ erhålls genom linjär interpolation på varje intervall $[x_{ i},x_{i+1}]$ från värdena för $u$ vid intervallets slutpunkter). Det kan visas med hjälp av Taylors teorem att det finns en konstant $K$ som endast beror på ändpunkterna $a$ och $b,$ så att

$|u'(x)-(\pi u)'(x)|\leq Kh\|u''\|_{L^{2 }(a,b)}$

för alla $x$ i $[a,b],$ där $h$ är den största längden av delintervallen ${\ displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ i partitionen, och normen på höger sida är L ² normen .

Denna olikhet ger sedan en uppskattning av felet

$\|u-\pi u\|.$

Genom att sedan ersätta $v=\pi u$ i Céas lemma följer det att

$\|u-u_{h}\|\leq Ch\|u''\|_{L^{2 }(a,b)},$

där $C$ är en annan konstant än ovanstående (den beror bara på den bilinjära formen, som implicit beror på intervallet [ $\displaystyle [a,b]}$ ).

Detta resultat är av grundläggande betydelse, eftersom det anger att den finita elementmetoden kan användas för att ungefärligen beräkna lösningen av vårt problem, och att felet i den beräknade lösningen minskar proportionellt mot partitionsstorleken $h.$ Céas lemma kan tillämpas på samma sätt för att härleda feluppskattningar för finita elementproblem i högre dimensioner (här var domänen för $u$ i en dimension), och samtidigt som polynom av högre ordning används för delrummet $V_{h}.$

• Céa, Jean (1964). Approximation variationnelle des problèmes aux limites (PDF) (PhD-avhandling). Annales de l'Institut Fourier 14. Vol. 2. s. 345–444 . Hämtad 2010-11-27 . (Originalverk från J. Céa)

•   Johnson, Claes (1987). Numerisk lösning av partiella differentialekvationer med finita elementmetoden . Cambridge University Press. ISBN 0-521-34514-6 .

•   Monk, Peter (2003). Finita elementmetoder för Maxwells ekvationer . Oxford University Press. ISBN 0-19-850888-3 .

•   Roos, H.-G.; Stynes, M.; Tobiska, L. (1996). Numeriska metoder för singulärt störda differentialekvationer: konvektion-diffusion och flödesproblem . Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-60718-8 .

•   Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996). Beräkningsdifferentialekvationer . Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56738-6 .

•   Zeidler, Eberhard (1995). Tillämpad funktionsanalys: tillämpningar för matematisk fysik . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7 .

•    Brenner, Susanne C. ; L. Ridgeway Scott (2002). Den matematiska teorin om finita elementmetoder (2:a uppl.). ISBN 0-387-95451-1 . OCLC 48892839 .
•    Ciarlet, Philippe G. (2002). Finita elementmetoden för elliptiska problem ((SIAM Classics reprint) ed.). ISBN 0-89871-514-8 . OCLC 48892573 .