Effektalgebra

Effektalgebror är partiella algebror som abstraherar de (partiella) algebraiska egenskaperna hos händelser som kan observeras i kvantmekaniken . Strukturer motsvarande effektalgebror introducerades av tre olika forskargrupper inom teoretisk fysik eller matematik i slutet av 1980-talet och början av 1990-talet. Sedan dess har deras matematiska egenskaper och fysiska såväl som beräkningsmässiga betydelse studerats av forskare inom teoretisk fysik , matematik och datavetenskap .

Historia

1989 introducerade Giuntini och Greuling strukturer för att studera oskarpa egenskaper , vilket betyder de kvanthändelser vars sannolikhet att inträffa är strikt mellan noll och ett (och alltså inte är en antingen-eller-händelse). 1994 introducerade Chovanec och Kôpka D-posets som posetter med en delvis definierad skillnadsoperation . Samma år publicerades artikeln av Bennet och Foulis Effektalgebras och oskarpa kvantlogiker . Även om det var detta sista papper som först använde termen effektalgebra , visades det att alla tre strukturerna är likvärdiga. Beviset på isomorfism av kategorier av D-poset och effektalgebror ges till exempel av Dvurecenskij och Pulmannova.

Motivering

Det operativa tillvägagångssättet för kvantmekanik tar uppsättningen observerbara (experimentella) resultat som den konstituerande föreställningen om ett fysiskt system. Det vill säga att ett fysiskt system ses som en samling av händelser som kan inträffa och därmed ha en mätbar effekt på verkligheten. Sådana händelser kallas effekter . Detta perspektiv lägger redan vissa begränsningar på den matematiska strukturen som beskriver systemet: vi måste kunna associera en sannolikhet till varje effekt.

I Hilbert space formalism motsvarar effekter positiva semidefinita självadjoint- operatorer som ligger under identitetsoperatorn i följande partiella ordning: $A\leq B$ om och endast om $BA$ är positiv semidefinitiv. Villkoret att vara positivt semidefinitivt garanterar att förväntningsvärdena är icke-negativa, och att ligga under identitetsoperatorn ger sannolikheter. Nu kan vi definiera två operationer på Hilbert-rymdeffekterna: $A':=IA$ och $A+B$ om $A+ B\leq I$ , där $I$ betecknar identitetsoperatorn. Observera att $A'$ är positiv semidefinite och under $I$ eftersom $A$ är, så är den alltid definierad. Man kan tänka på $A'$ som negationen av $A$ . Medan $A+B$ alltid är positiv semidefinite, är den inte definierad för alla par: vi måste begränsa definitionsdomänen för de effektpar vars summa förblir under identiteten. Sådana par kallas ortogonala ; ortogonalitet återspeglar samtidig mätbarhet av observerbara.

Definition

En effektalgebra är en partiell algebra som består av en mängd $E$ , konstanter $0$ och $1$ i $E$ , en total unär operation ${\ displaystyle ':E\rightarrow E}$ , en binär relation $\bot \subseteq E\times E$ , och en binär operation $\oplus :\bot \rightarrow E$ , så att följande gäller för alla $a,b,c\in E$ :

kommutativitet : om $a\perp b$ , då $b\perp a$ och $a\oplus b=b\oplus a$ ,
associativitet : om $a\perp b$ och $(a\oplus b)\perp c$ , då $b\perp c$ och $a\perp (b\oplus c)$ samt $(a\oplus b)\oplus c =a\oplus (b\oplus c),$
ortosupplementation : $a\perp a'$ och $a\oplus a'=1$ , och om $a\perp b$ så att $a\oplus b=1$ , sedan $b=a'$ ,
noll-ett lag : om $a\perp 1$ , då $a=0$ .

Den unära operationen $'$ kallas ortosupplementation och $\displaystyle a'}$ { ortosupplementet av $a$ . Definitionsdomänen $\bot$ av $\oplus$ kallas ortogonalitetsrelationen på $E$ , och $a,b\in E$ kallas ortogonal om och endast om $a\perp b$ . Operationen $\oplus$ kallas den ortogonala summan eller helt enkelt summan .

Egenskaper

Följande kan visas för alla element $a,b$ och $c$ i en effektalgebra, med antagande av $a\perp b,c$ :

$a''=a$ ,
$0'=1$ ,
$a\perp 0$ , och $a\oplus 0=a$ ,
$a\oplus b=0$ innebär $a=b=0$ ,
$a\oplus b=a\oplus c$ innebär $b=c$ .

Beställ egenskaper

Varje effektalgebra $E$ är delvis ordnad enligt följande: $a\leq b$ om och endast om det finns en $c\in E$ så att $a\perp c$ och $a\oplus c=b$ . Denna delbeställning uppfyller:

$a\leq b$ om och endast om $b'\leq a'$ ,
$a\perp b$ om och endast om $a\leq b'$ .

Exempel

Ortoalgebras

Om det sista axiomet i definitionen av en effektalgebra ersätts med:

om $a\perp a$ , då $a=0$ ,

man får definitionen av en ortoalgebra . Eftersom detta axiom innebär det sista axiomet för effektalgebra (i närvaro av de andra axiomen), är varje ortoalgebra en effektalgebra. Exempel på ortoalgebror (och därmed effektalgebror) inkluderar:

Booleska algebror med negation som ortosupplementation och kopplingen begränsad till disjunkta element som summan,
ortomodulära poser,
ortomodulära gitter ,
σ -algebror med komplementering som ortosupplementering och föreningen begränsad till disjunkta element som summan,
Hilbertrumsprojektioner med ortosupplementering och summan definierad som för Hilberts rymdeffekter .

MV-algebror

Vilken MV-algebra som helst är en effektalgebra (men i allmänhet inte en ortoalgebra) med den unära operationen som ortosupplementation och den binära operationen begränsad till ortogonala element som summan. I sammanhanget för MV-algebror definieras ortogonaliteten för ett elementpar ${\displaystyle a,b} som$ $a'\oplus b'=1$ . Detta sammanfaller med ortogonalitet när en MV-algebra ses som en effektalgebra.

Ett viktigt exempel på en MV-algebra är enhetsintervallet $[0,1]$ med operationerna $a'=1-a$ och $a\oplus b=\max(a+b,1)$ . Sett som en effektalgebra är två element i enhetsintervallet ortogonala om och endast om $a+b\leq 1$ och sedan $a\oplus b= a+b$ .

Uppsättningen effekter av en enhetlig C*-algebra

För att en aning generalisera det motiverande exemplet med Hilbert-rymdeffekter, ta uppsättningen effekter på en enhetlig C*-algebra ${\mathfrak {A}}$ , dvs elementen $a\in {\mathfrak {A}}$ som uppfyller $0\leq a\leq 1$ . Adderingsoperationen på $a,b\in [0,1]_{\mathfrak {A}}$ definieras när $a+b\ leq 1$ och sedan $a\oplus b=a+b$ . Ortotillägget ges av $a'=1-a$ .

Typer av effektalgebror

Det finns olika typer av effektalgebror som har studerats.

Intervalleffektalgebror som uppstår som ett intervall $[0,u]_{G}$ av någon ordnad abelian grupp $G$ .
Konvexa effektalgebror har en verkan av det reella enhetsintervallet $[0,1]$ på algebra. En representationssats av Gudder visar att dessa alla uppstår som en intervalleffektalgebra av ett verkligt ordnat vektorrum.
Gittereffektalgebror där ordningsstrukturen bildar ett gitter.
Effektalgebra som uppfyller Riesz-sönderdelningsegenskapen : en MV-algebra är just en gittereffektalgebra med Riesz-dekomponeringsegenskapen.
Sekventiella effektalgebror har en extra sekventiell produktoperation som modellerar Lüders-produkten på en C*-algebra .
Effektmonoider är monoider i kategorin effektalgebror. De är effektalgebror som har en ytterligare associativ enhetlig distributiv multiplikationsoperation.

Morfismer

En morfism från en effektalgebra $E$ till en effektalgebra $F$ ges av en funktion $f:E\rightarrow F$ så att $f(1)=1$ och för alla $a,b\in E$

a\perp b

innebär

f(a)\perp f(b)

och

f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b)

.

Det följer då att morfismer bevarar ortosupplementen.

Utrustad med sådana morfismer bildar effektalgebror en kategori som har följande egenskaper:

kategorin booleska algebror är en fullständig underkategori av kategorin effektalgebror,
varje effektalgebra är en kolimit av finita booleska algebror.

Positiva operatörsvärderade åtgärder

Som ett exempel på hur effektalgebror används för att expexera begrepp inom kvantteorin, kan definitionen av ett positivt operatorvärderat mått gjutas i termer av effektalgebramorfismer enligt följande. Låt ${\mathcal {E}}(H)$ vara algebra för effekter av ett Hilbertrum $H$ , och låt $\Sigma$ vara en σ -algebra. Ett positivt operatorvärderat mått (POVM) är en effektalgebramorfism $\Sigma \rightarrow {\mathcal {E}}(H)$ som bevarar sammanfogningar av räknebara kedjor. En POVM är ett projektionsvärderat mått just när dess bild finns i ortoalgebra av projektioner på Hilbert-utrymmet $H$ .

externa länkar

Effektalgebra vid n Lab