Divergent geometrisk serie

I matematik , en oändlig geometrisk serie av formen

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=a+ar+ar^ {2}+ar^{3}+\cdots$

är divergent om och endast om | r | ≥ 1 . Metoder för summering av divergerande serier är ibland användbara och brukar utvärdera divergerande geometriska serier till en summa som överensstämmer med formeln för det konvergenta fallet

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

Detta gäller alla summeringsmetoder som har egenskaperna regularitet, linjäritet och stabilitet .

Exempel

I ökande svårighetsgrad för att summera:

• 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , vars gemensamma förhållande är −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · · , vars gemensamma förhållande är −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , vars gemensamma förhållande är 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · · , vars gemensamma förhållande är 1.

Motivation för studier

Det är användbart att ta reda på vilka summeringsmetoder som ger den geometriska serieformeln för vilka vanliga förhållanden. En tillämpning för denna information ^är den så kallade Borel-Okada-principen : Om en vanlig summeringsmetod summerar Σzn till 1/(1- z ) för alla z i en delmängd S av det komplexa planet , givet vissa restriktioner för S , då ger metoden också den analytiska fortsättningen av någon annan funktion f ( z ) = Σ a _n z ⁿ på skärningspunkten mellan S och Mittag-Leffler-stjärnan för f .

Sammanställning per region

Öppna enhetsskivan

Vanlig summering lyckas endast för vanliga nyckeltal | z | < 1.

Sluten enhetsskiva

• Cesàro summering
• Abel summering

Större skivor

• Euler summering

Halvplan

Serien är Borel summerbar för varje z med reell del < 1. Alla sådana serier kan också summeras med den generaliserade Euler-metoden (E, a ) för lämplig a .

Skuggat plan

Vissa momentkonstantmetoder förutom Borel-summering kan summera den geometriska serien på hela Mittag-Leffler-stjärnan för funktionen 1/(1 − z ), det vill säga för alla z utom strålen z ≥ 1.

Anteckningar

•   Korevaar, Jacob (2004). Tauberian Theory: Ett århundrade av utvecklingar . Springer. ISBN 3-540-21058-X .
• Moroz, Alexander (1991). "Kvantfältteori som ett återupptagandeproblem". arXiv : hep-th/9206074 .