Dirac–Kählers ekvation

Inom teoretisk fysik är Dirac –Kähler-ekvationen , även känd som Ivanenko–Landau–Kähler-ekvationen, den geometriska analogen av Dirac-ekvationen som kan definieras på vilket pseudo-Riemann-grenrör som helst med hjälp av Laplace–de Rham-operatorn . I fyrdimensionell platt rumtid motsvarar det fyra kopior av Dirac-ekvationen som förvandlas till varandra under Lorentz-transformationer , även om detta inte längre är sant i krökt rumtid . Den geometriska strukturen ger ekvationen en naturlig diskretisering som motsvarar den förskjutna fermionformalismen i gitterfältteorin , vilket gör Dirac–Kähler-fermioner till den formella kontinuumgränsen för förskjutna fermioner. Ekvationen upptäcktes av Dmitri Ivanenko och Lev Landau 1928 och återupptäcktes senare av Erich Kähler 1962.

Matematisk översikt

I fyrdimensionell euklidisk rumtid ett generiskt fält av differentialformer

\Phi =\summa _{H}\Phi _{H}(x)dx_{H},

skrivs som en linjär kombination av sexton basformer indexerade av $H$ , som löper över de sexton ordnade kombinationerna av index $\{\mu _{1},\ prickar ,\mu _{h}\}$ med $\mu _{1}<\cdots <\mu _{h}$ . Varje index går från ett till fyra. Här $\Phi _{H}(x)=\Phi _{\mu _{1}\dots \mu _{h}}(x )$ är antisymmetriska tensorfält medan $dx_{H}$ är motsvarande differentialformsbaselement

dx_{H}=dx^{\mu _{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{\mu _{h}}.

Med hjälp av Hodge-stjärnoperatorn ${\displaystyle \star } är$ den yttre derivatan $d$ relaterad till kodifferentialen genom $\delta =-\star d\star$ . Dessa bildar Laplace–de Rham-operatorn $d-\delta$ som kan ses som kvadratroten av den laplaciska operatorn eftersom $(d-\delta )^ {2}=\square$ . Dirac–Kählers ekvationsekvation motiveras av att notera att detta också är Dirac-operatörens egendom, vilket ger

Dirac–Kählers ekvation

$(d-\delta +m)\Phi =0.$

Denna ekvation är nära besläktad med den vanliga Dirac-ekvationen, en koppling som uppstår ur den nära relationen mellan den yttre algebra av differentialformer och Clifford-algebra av vilka Dirac-spinorer är irreducerbara representationer . För att grundelementen ska uppfylla Clifford-algebra $\{dx^{\mu },dx^{\nu }\}=2\delta ^{\ mu \nu }$ , det är nödvändigt att introducera en ny Clifford-produkt $\vee$ som agerar på grundelement som

dx_{\mu }\vee dx_{\nu }=dx_{\mu }\wedge dx_{\nu}+\delta _{\mu \nu }.

Med den här produkten skrivs Laplace–de Rham-operatörens verkan på element på differentialformbasis som

(d-\delta )\Phi (x)=dx^{\mu }\vee \partial _{\mu }\Phi (x).

För att förvärva Dirac-ekvationen måste en förändring av bas utföras, där den nya basen kan paketeras i en matris $Z_{ab}$ definierad med Dirac-matriserna

Z_{ab}=\summa _{H}(-1)^{h(h-1)/2}(\gamma _{H})_{ab}^{T}dx_{H}.

Matrisen $Z$ är utformad för att uppfylla ${\displaystyle dx_{\mu }\vee Z=\gamma _{\mu }^{T}Z} ,$ sönderdela Clifford algebra till fyra irreducible kopior av Dirac algebra . Detta beror på att Clifford-produkten på denna grund bara blandar kolumnelementen indexerade av $a$ . Skriva differentialformen i denna grund

\Phi =\sum _{ab}\Psi (x)_{ab}Z_{ab},

omvandlar Dirac–Kähler-ekvationen till fyra uppsättningar av Dirac-ekvationen indexerade av $b$

(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)\Psi (x)_{b}=0.

Den minimalt kopplade Dirac–Kähler-ekvationen hittas genom att ersätta derivatan med den kovarianta derivatan $dx^{\mu }\vee \partial _{\mu }\högerpil dx^{\mu }\vee D_{\mu }$ som leder till

(d-\delta +m)\Phi =iA\vee \Phi .

Som tidigare motsvarar detta också fyra kopior av Dirac-ekvationen. I det abelska fallet $A=eA_{\mu }dx^{\mu }$ , medan det i det icke-abelska fallet finns ytterligare färgindex . Dirac–Kähler-fermionen $\Phi$ plockar också upp färgindex, med den motsvarar formellt tvärsnitt av Whitney-produkten av Atiyah–Kähler-bunten av differentialformer med vektorbunten av lokala färgrymder.

Diskretisering

Det finns ett naturligt sätt att diskretisera Dirac–Kähler-ekvationen med hjälp av överensstämmelsen mellan yttre algebra och enkla komplex . I fyrdimensionellt rymd kan ett gitter betraktas som ett förenklat komplex, vars simplexar är konstruerade utifrån $h$ -dimensionella hyperkuber $C_{x,H}^{( h)}$ med en baspunkt $x$ och en orientering som bestäms av $H$ . Då är en h-kedja en formell linjär kombination

C^{(h)}=\summa _{x,H}\alpha _{x,H}C_{x,H}^{(h)}.

H-kedjorna tillåter en gränsoperator $\Delta C_{x,H}^{(h)}$ definierad som den (h-1)-simplex som bildar gränsen för h -kedja. En coboundary-operator $\nabla C_{x,H}^{(h)}$ kan definieras på liknande sätt för att ge en (h+1)-kedja. Det dubbla utrymmet av kedjor består av $h$ -cochains ${\displaystyle \Phi ^{(h)}(C^{(h)})} ,$ som är linjära funktioner som verkar på h-kedjorna och mappar dem till reella tal. Boundary- och coboundary-operatorerna tillåter liknande strukturer i dubbla utrymmen som kallas den dubbla gränsen ${\hat {\Delta }}$ och dual coboundary ${\hat {\nabla }}$ definierade för att uppfylla

({\hat {\Delta }}\Phi )(C)=\Phi (\Delta C),\ \ \ \ \ \ \ ({\hat {\nabla }}\Phi )(C)= \Phi (\nabla C).

Under överensstämmelsen mellan den yttre algebra och de enkla komplexen är differentialformer ekvivalenta med samkedjor, medan den yttre derivatan och kodifferentialen motsvarar den dubbla gränsen respektive den dubbla kogränsen. Därför skrivs Dirac–Kähler-ekvationen på förenklade komplex som

({\hat {\Delta }}-{\hat {\nabla }}+m)\Phi (C)=0.

Den resulterande diskretiserade Dirac–Kähler-fermionen $\Phi (C)$ är ekvivalent med den förskjutna fermionen som finns i gitterfältteorin, vilket kan ses explicit genom en explicit förändring av grunden. Denna ekvivalens visar att kontinuum Dirac–Kähler fermion är den formella kontinuumgränsen för fermionförskjutna fermioner.

Relation till Dirac-ekvationen

Som beskrivits tidigare är Dirac–Kähler-ekvationen i platt rumtid ekvivalent med fyra kopior av Dirac-ekvationen, trots att den är en uppsättning ekvationer för antisymmetriska tensorfält . Förmågan hos heltalsspinntensorfält att beskriva halvheltalsspinorfält förklaras av det faktum att Lorentz-transformationer inte pendlar med den interna Dirac–Kähler $\displaystyle {\text{SO}}(2,4 )}$ { symmetri , där parametrarna för denna symmetri är tensorer snarare än skalärer . Detta betyder att Lorentz-transformationerna blandar olika spins tillsammans och Dirac-fermionerna är strikt sett inte halvheltalsspinnrepresentationer av Clifford-algebra. De motsvarar istället en sammanhängande överlagring av differentialformer. I högre dimensioner, särskilt på $2^{2^{n}}$ dimensionsytor, motsvarar Dirac–Kählers ekvation $2^{2^{n-1 }}$ Dirac-ekvationer.

I krökt rumtid bryts Dirac–Kähler-ekvationen inte längre upp i fyra Dirac-ekvationer. Det är snarare en modifierad Dirac-ekvation som förvärvats om Dirac-operatorn förblev kvadratroten av Laplace-operatorn, en egenskap som inte delas av Dirac-ekvationen i krökt rumtid . Detta kommer på bekostnad av Lorentz invarians , även om dessa effekter undertrycks av krafter hos Planckmassan . Ekvationen skiljer sig också genom att dess nolllägen på ett kompakt grenrör alltid garanteras existera när några av Betti-talen försvinner, eftersom de ges av de harmoniska formerna, till skillnad från för Dirac-ekvationen som aldrig har nolllägen på ett grenrör med positiv krökning.

Se även