Förskjuten fermion

I gitterfältteorin är förskjutna fermioner (även kända som Kogut–Susskind-fermioner ) en fermiondiskretisering som minskar antalet fermionfördubblare från sexton till fyra . De är en av de snabbaste gitterfermionerna när det kommer till simuleringar och de har också några trevliga funktioner som en kvarvarande kiral symmetri , vilket gör dem mycket populära i gitter QCD- beräkningar. Förskjutna fermioner formulerades först av John Kogut och Leonard Susskind 1975 och visade sig senare vara likvärdiga med den diskretiserade versionen av Dirac–Kähler fermion .

Konstruera förskjutna fermioner

Enkomponentsbasis

Den naivt diskretiserade Dirac-handlingen i euklidisk rumtid med gitteravstånd $a$ och Dirac-fält $\psi _{n}$ vid varje gitterpunkt, indexerat med $n=(n_{1},n_{2},n_{3},n_{4})$ , har formen

S=a^{4}\sum _{n\in \Lambda }{\bar {\psi}}_{n}{\bigg (}\sum _{\mu =1}^{4} \gamma _{\mu }{\frac {\psi _{n+{\hat {\mu }}}-\psi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\psi _{n}{\bigg )}.

Förskjutna fermioner konstrueras utifrån detta genom att utföra den förskjutna transformationen till en ny bas av fält $\psi _{n}'$ definierade av

\psi _{n}=\gamma _{1}^{n_{1}}\gamma _{2}^{n_{2}}\gamma _{3}^{n_{3}}\ gamma _{4}^{n_{4}}\psi '_{n}.

Eftersom Dirac matriser i kvadrat till identiteten, blandar denna positionsberoende transformation fermionspinkomponenterna på ett sätt som upprepar sig vartannat gitteravstånd. Dess effekt är att diagonalisera handlingen i spinorindexen, vilket innebär att handlingen slutar delas upp i fyra distinkta delar, en för varje Dirac spinor-komponent. Genom att beteckna en av dessa komponenter med ${\displaystyle \chi _{n}} ,$ som är Grassmann-variabel utan spinstruktur, kan de andra tre komponenterna släppas, vilket ger den enkomponents förskjutna åtgärden

S=a^{4}\ summa _{n}{\bar {\chi}}_{n}{\bigg (}\summa _{\mu =1}^{4}\eta _{\mu}(n){\frac {\ chi _{n+{\hat {\mu }}}-\chi _{n-{\hat {\mu }}}}{2a}}+m\chi _{n}{\bigg )},

där ${\hat {\mu }}$ är enhetsvektorer i $\mu$ -riktningen och den sicksackade teckenfunktionen ges av $\eta _{i}(n)=(-1)^{\summa _{j<i}n_{j}}$ . Den förskjutna transformationen är en del av en större klass av transformationer $\psi _{n}\rightarrow A_{n}\psi _{n}$ som uppfyller $A_{n}^{\dolk }\gamma _{\mu }A_{n+{\hat {\mu }}}=\Delta _{ \mu }(n)\in U(1)^{\otimes 4}$ . Tillsammans med ett nödvändigt konsistensvillkor på plaquetterna är alla dessa transformationer ekvivalenta med den förskjutna transformationen. På grund av fermionfördubbling beskrev den ursprungliga naiva handlingen sexton fermioner, men efter att ha kasserat tre av de fyra kopiorna beskriver denna nya handling bara fyra.

Spin-smakbas

För att explicit visa att den enkomponents förskjutna fermionverkan beskriver fyra Dirac-fermioner kräver att gittret blockeras till hyperkuber och att Grassmannfälten vid de sexton hyperkubplatserna omtolkas som de sexton frihetsgraderna för de fyra fermionerna. I analogi med användningen av smak i partikelfysik hänvisas dessa fyra fermioner till att vara olika smaker av fermioner. De blockerade gitterplatserna indexeras med $h_{\mu }$ medan de interna hyperkubplatserna för var och en av dessa indexeras med ${\displaystyle s_{\mu }} ,$ vars vektorkomponenter är antingen noll eller en . I denna notation skrivs den ursprungliga gittervektorn som $n_{\mu }=2h_{\mu }+s_{\mu }$ . Matriserna $\Gamma ^{(s)}=\gamma _{1}^{s_{1}}\gamma _{2}^{s_{2}}\gamma _{3}^{s_{3}}\gamma _{4}^{s_{4}}$ används för att definiera spin-smakbasen för förskjutna fermioner

\psi ^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\sum _{s}\Gamma _{\alpha t}^{(s)}\chi (2h+s),\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bar {\psi }}^{t}(h)_{\alpha }={\frac {1}{8}}\summa _{ s}{\bar {\chi }}(2h+s)(\Gamma ^{(s)\dolk })_{t\alpha }.

Smakindexet $t$ löper över de fyra smakerna medan spinnindexet $\alpha$ löper över de fyra spinnkomponenterna. Denna förändring av basen förvandlar enkomponentsåtgärden på gittret med mellanrum $a$ till spin-taste-åtgärden med ett effektivt gitteravstånd på $b=2a$ som ges av

S=b^{4}\sum _{h}{\bar {\psi}}_{n}{\bigg \{}\summa _{\mu }[(\gamma _{\mu } \otimes 1)\partial _{\mu }+{\tfrac {b}{2}}(\gamma _{5}\otimes \gamma _{5}\gamma _{\mu }^{T})\ kvadrat _{\mu }]+m(1\ibland 1){\bigg \}}\psi _{h}.

Här $\partial _{\mu }$ och $\square _{\mu }$ förkortningar för den symmetriskt diskretiserade derivatan respektive Laplacian . Under tiden separerar tensornotationen spinn- och smakmatriserna som $[(A\otimes B)\psi _{n}]^{t}(h)_{\alpha }=A_{\alpha }{}^{\beta }B^{t}{}_{t'}\psi ^{ t'}(h)_{\beta }$ . Eftersom de kinetiska och masstermerna är diagonala i smakindexen, beskriver handlingen fyra degenererade Dirac-fermioner . Dessa interagerar tillsammans i vad som kallas smakblandningsinteraktioner genom den andra termen, vilket är en irrelevant dimension fem operator som försvinner i kontinuumgränsen . Denna åtgärd är mycket lik den åtgärd som konstruerats med fyra Wilson-fermioner med den enda skillnaden i den andra termens tensorstruktur, som för Wilson-fermioner är spinn och smak diagonal ( $\displaystyle (1\otimes 1)}$ .

En nyckelegenskap hos förskjutna fermioner, som inte delas av vissa andra gitterfermioner som Wilson-fermioner, är att de har en kvarvarande kiral symmetri i den masslösa gränsen. Restsymmetrin beskrivs i spin-smakbasen av

\psi _{n}\högerpil e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}\psi _{n},\ \ \ \ \ \ \ {\bar { \psi }}_{n}\högerpil {\bar {\psi }}e^{i\alpha \gamma _{5}\otimes \gamma _{5}}.

Närvaron av denna restsymmetri gör förskjutna fermioner särskilt användbara för vissa applikationer eftersom de kan beskriva spontana symmetribrott och anomalier . Symmetrin skyddar också masslösa fermioner från att få en massa vid renormalisering .

Förskjutna fermioner mäts i enkomponentåtgärden genom att infoga länkfält i åtgärden för att göra den mätare invariant på samma sätt som detta görs för den naiva Dirac-gitteråtgärden. Detta tillvägagångssätt kan inte implementeras i spin-taste-åtgärden direkt. Istället måste den interagerande enkomponentåtgärden användas tillsammans med en modifierad spin-smakbas $\psi ^{t}(h)_{\alpha }$ där Wilson-linjer infogas mellan de olika gitterpunkter i hyperkuben för att säkerställa mätinvarians. Den resulterande åtgärden kan inte uttryckas i en sluten form utan kan förbrukas i potenser av gitteravståndet, vilket leder till den vanliga interagerande Dirac-aktionen för fyra fermioner, tillsammans med en oändlig serie av irrelevanta fermionbilinjära operatorer som försvinner i kontinuumgränsen.

Momentum-rymden förskjutna fermioner

Förskjutna fermioner kan också formuleras i momentumrymden genom att omvandla enkomponentåtgärden till Fourierrymd och dela upp Brillouin-zonen i sexton block. Att flytta dessa till ursprunget ger sexton kopior av enkomponentfermionen vars momenta sträcker sig över halva Brillouin-zonområdet $-\pi /2\leq k_{\mu }\ leq \pi /2$ . Dessa kan grupperas i en $4\times 4$ -matris som vid en enhetlig transformation och en momentumomskalning , för att $[-\ pi ,\pi ]$ att momentan igen sträcker sig över hela Brillouin-intervallet, ger momentum-rymden förskjuten fermionverkan

S=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\bar {\psi }}( p){\bigg [}2i\summa _{\mu }\sin {\tfrac {p_{\mu }}{2}}(\gamma _{\mu }\otimes 1)+2m(1\otimes 1 ){\bigg ]}\psi (p).

Detta kan omvandlas tillbaka till positionsrymden genom en invers Fourier-transformation. I motsats till spin-smak-verkan, blandar denna åtgärd inte smakkomponenterna ihop, vilket till synes ger en verkan som helt separerar de fyra fermionerna. Den har därför en full $U(4)\otimes U(4)$ kiral symmetrigrupp. Detta uppnås dock bara på bekostnad av lokalitet , där nu position-space Dirac-operatorn kopplar samman gitterpunkter som är godtyckligt långt ifrån varandra, snarare än de som är begränsade till en hyperkub. Denna slutsats ses också i propagatorn som är diskontinuerlig vid Brillouin-zonens kanter.

Momentum-space och position-space-formuleringarna skiljer sig åt eftersom de använder en annan definition av smak, varvid momentum space-definitionen inte motsvarar den lokala definitionen i positionsrymden. Dessa två definitioner blir bara ekvivalenta i kontinuumgränsen . Kiral symmetri bibehålls trots möjligheten att simulera en enda momentum rymdfermion eftersom lokalitet var ett av antagandena i Nielsen-Ninomiya-satsen som avgjorde om en teori upplever fermionfördubbling. Förlusten av lokalitet gör denna formulering svår att använda för simuleringar.

Simulerar förskjutna fermioner

Huvudproblemet med att simulera förskjutna fermioner är att de olika smakerna blandas ihop på grund av smakblandningstermen. Om det inte fanns någon blandning mellan smaker, kunde gittersimuleringar lätt reda ut de olika bidragen från de olika smakerna för att sluta med resultaten för processer som involverar en enskild fermion. Istället introducerar smakblandningen diskretiseringsfel som är svåra att ta hänsyn till.

Inledningsvis var dessa diskretiseringsfel, av storleksordningen ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})},$ ovanligt stora jämfört med andra gitterfermioner, vilket gjorde förskjutna fermioner impopulära för simuleringar. Den huvudsakliga metoden för att minska dessa fel är att utföra Symanzik-förbättring, varvid irrelevanta operatörer läggs till åtgärden med deras koefficienter finjusterade för att ta bort diskretiseringsfel. Den första sådana åtgärden var ASQTAD-åtgärden, och denna förbättrades efter att ha analyserat en-loops smakutbytesinteraktioner för att ytterligare eliminera ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a^{2})}-$ fel med hjälp av länk -fältsmettning. Detta resulterade i den mycket förbättrade förskjutna kvark-verkan (HISQ) och den utgör grunden för moderna förskjutna fermionsimuleringar. Eftersom simuleringar görs med enkomponentåtgärden är simulering av förskjutna fermioner mycket snabb eftersom detta kräver simulering av endast enkomponents Grassmann-variabler snarare än fyra komponentspinorer. De viktigaste kod- och mätensemblerna som används för förskjutna fermioner kommer från MILC-samarbetet.

En fördel med förskjutna fermioner över vissa andra gitterfermioner i det att den kvarvarande kirala symmetrin skyddar simuleringar från exceptionella konfigurationer, som är mätfältskonfigurationer som leder till små egenvärden för Dirac-operatorn , vilket gör numerisk inversion svår. Förskjutna fermioner är skyddade från detta eftersom deras Dirac-operator är anti-hermitisk , så dess egenvärden kommer i komplexa konjugerade par $m\pm i\lambda$ för verklig $\lambda$ . Detta säkerställer att Dirac- determinanten är verklig och positiv för massor som inte är noll. Negativa eller imaginära determinanter är problematiska under Markov-kedjans Monte Carlo- simuleringar eftersom determinanten finns i sannolikhetsvikten.

Fjärde roten trick

I kontinuumgränsen reducerar den förskjutna fermion Dirac-operatorn till ett fyrfaldigt kontinuum Dirac-operator ${\displaystyle D=D_{1}\otimes 1} ,$ så dess egenvärden är fyrfaldigt degenererade, därför $[\det D]^{1/4}=\det D_{1}$ . Denna degeneration bryts av smakblandning vid gitteravstånd som inte är noll ${\displaystyle a\neq 0} ,$ även om simuleringar visar att egenvärdena fortfarande grovt sett är grupperade i grupper om fyra. Detta motiverar det fjärde rottricket där en enstaka fermion simuleras genom att ersätta den förskjutna Dirac-operatordeterminanten med dess fjärde rot i partitionsfunktionen

\int {\mathcal {D}}U\det[D_{\text{stag}}]e^{-S_{\text{mätare}}}\ \ \ \ \ \högerpil \ \ \ \ \ \int {\mathcal {D}}U(\det[D_{\text{stag}}])^{1/4}e^{-S_{\text{mätare}}}.

Den resulterande fermionen kallas en rotad förskjuten fermion och den används i de flesta förskjutna fermionsimuleringar, inklusive av MILC-samarbetet. Det teoretiska problemet med att använda rotade förskjutna fermioner är att det är oklart om de ger rätt kontinuumgräns, det vill säga om rotning förändrar teorins universalitetsklass . Om den gör det, så finns det ingen anledning att anta att rotade förskjutna fermioner är bra på att beskriva kontinuumfältteorin. Universalitetsklassen bestäms i allmänhet av teorins dimensionalitet och av vilka symmetrier den uppfyller. Problemet med rotade förskjutna fermioner är att de endast kan beskrivas av en icke-lokal handling för vilken universalitetsklassificeringen inte längre gäller. Eftersom icke-lokalitet innebär en kränkning av enhetliga , är rotade förskjutna fermioner också icke-fysiska vid gitteravstånd som inte är noll, även om detta inte är ett problem om icke-lokaliteten försvinner i kontinuumet. Det har visat sig att under rimliga antaganden, definierar det fjärde rottricket en renormaliserbar teori som vid alla ordningar i störningsteorin reproducerar en lokal enhetlig teori med det korrekta antalet ljuskvarkar i kontinuumet. Det är fortfarande en öppen fråga om detta också är sant icke-perturbativt , men teoretiska argument och numeriska jämförelser med andra gitterfermioner indikerar att rotade förskjutna fermioner tillhör den korrekta universalitetsklassen.

Se även