Dirac ekvation i krökt rumtid

Inom matematisk fysik är Dirac-ekvationen i krökt rumtid en generalisering av Dirac-ekvationen från platt rymdtid ( Minkowski-rymden ) till krökt rumtid, en allmän Lorentzisk mångfald .

Matematisk formulering

Rymdtid

I full allmänhet kan ekvationen definieras på $M$ eller $(M,\mathbf {g} )$ ett pseudo-riemannskt grenrör, men av konkreta skäl begränsar vi oss till pseudo-riemannska grenrör med signatur $(-+++)$ . Måttet hänvisas till som $\mathbf {g}$ , eller $g_{ab}$ i abstrakt indexnotation .

Ramfält

Vi använder en uppsättning vierbein- eller ramfält $\{e_{\mu }\}=\{e_{0},e_{1} ,e_{2},e_{3}\}$ , som är en uppsättning vektorfält (som inte nödvändigtvis definieras globalt på $M$ ). Deras definierande ekvation är

g_{ab}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}=\eta _{\mu \nu }.

Vierbein definierar en lokal viloram , vilket tillåter de konstanta gamma-matriserna att verka vid varje rumstidpunkt.

I differentialgeometriskt språk är vierbein ekvivalent med en sektion av rambunten , och definierar så en lokal trivialisering av rambunten.

Spinnkoppling

För att skriva ner ekvationen behöver vi också spinnkopplingen , även känd som kopplingsformen (1-). De dubbla ramfälten $\{e^{\mu }\}$ har en definierande relation

e_{a}^{\mu }e_{\nu }^{a}=\delta ^{\mu }{}_{\nu }.

Anslutningen 1-form är då

\omega ^{\mu }{}_{\nu a}:=e_{b}^{\mu }\nabla _{a}e_ {\nu }^{b}

där $\nabla _{a}$ är en kovariansderivata , eller motsvarande ett val av anslutning på rampaketet, oftast taget för att vara Levi-Civita-kopplingen .

Man bör vara försiktig med att inte behandla de abstrakta latinska indexen och grekiska indexen som samma, och vidare notera att inget av dessa är koordinatindex: det kan verifieras att ω μ ν a {\ ${\mu }{ }_{\nu a}}$ transformeras inte som en tensor under en förändring av koordinater.

Matematiskt definierar ramfälten $\{e_{\mu }\}$ en isomorfism vid varje punkt $p$ där de definieras från tangentrymden $T_{ p}M$ till $\mathbb {R} ^{1,3}$ . Sedan betecknar abstrakta index tangentrymden, medan grekiska index betecknar $\mathbb {R} ^{1,3}$ . Om ramfälten är positionsberoende så transformeras inte grekiska index nödvändigtvis tensorialt under en förändring av koordinater.

Höjning och sänkning av index görs med $g_{ab}$ för latinska index och $\eta _{\mu \nu }$ för grekiska index.

Anslutningsformen kan ses som en mer abstrakt anslutning på en huvudbunt, specifikt på rambunten , som definieras på vilken slät grenrör som helst, men som begränsar sig till en ortonormal rambunt på pseudo-riemannska grenrör.

Kopplingsformen med avseende på ramfält $\{e_{\mu }\}$ som definieras lokalt är, i differentialgeometriskt språk, kopplingen med avseende på en lokal trivialisering.

Clifford algebra

Precis som med Dirac-ekvationen på platt rumtid använder vi oss av Clifford-algebra, en uppsättning av fyra gammamatriser $\{\gamma ^{\mu }\}$ som uppfyller

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }

där $\{\cdot ,\cdot \}$ är antikommutatorn .

De kan användas för att konstruera en representation av Lorentz algebra: definierande

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4 }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}+{\frac { i}{2}}\eta ^{\mu \nu }

,

där $[\cdot ,\cdot ]$ är kommutatorn .

Det kan visas att de uppfyller kommuteringsrelationerna för Lorentz-algebra:

ν

De är därför generatorer av en representation av Lorentz algebra ${\mathfrak {so}}(1,3)$ . Men de inte en representation av Lorentz-gruppen ${\text{SO}}(1,3)$ , precis som Pauli-matriserna genererar en representation av rotationsalgebran ${\mathfrak {so}}(3)$ men inte ${\text{SO}}(3)$ . De bildar faktiskt en representation av ${\text{Spin}}(1,3).$ Det är dock ett standardmissbruk av terminologi för alla representationer av Lorentz-algebra som representationer av Lorentz-gruppen, även om de inte uppstår som representationer av Lorentz-gruppen. Lorentz grupp.

Representationsutrymmet är isomorft till $\mathbb {C} ^{4}$ som ett vektorrum. I klassificeringen av Lorentz grupprepresentationer är representationen märkt $\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0 ,{\frac {1}{2}}\right)$ .

Missbruket av terminologi sträcker sig till att bilda denna representation på gruppnivå. Vi kan skriva en finit Lorentz-transformation på $\mathbb {R} ^{1,3}$ som $\ Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu}M^{\mu \nu}\right){}_ {\sigma }^{\rho }$ där $M^{\mu \nu }$ är standardbasen för Lorentz-algebra. Dessa generatorer har komponenter

(M^{\mu \nu })_{\sigma }^{\rho }=\eta ^{\ mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu}-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }

eller, med båda indexen uppåt eller båda indexen nedåt, helt enkelt matriser som har $+1$ i $\mu ,\nu$ index och $-1$ i $\nu ,\mu$ index och 0 överallt annars.

Om en annan representation $\rho$ har generatorer $T^{\mu \nu }=\rho (M^{\mu \nu }),$ då vi skriver

\rho (\Lambda )_{j}^{i}=\exp \left({\frac {i} {2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}

där $i,j$ är index för representationsutrymmet.

I fallet ${\displaystyle T^{\mu \nu }=\sigma ^{\mu \nu }} ,$ utan att ges generatorkomponenter $\alpha _{\mu \nu }$ för $\Lambda _{\sigma }^{\rho }$ , denna $\rho (\Lambda )$ är inte väldefinierad: det finns uppsättningar generatorer komponenter $\alpha _{\mu \nu },\beta _{\mu \nu }$ som ger samma $\Lambda _{\sigma }^{ \rho }$ men olika $\rho (\Lambda )_{j}^{i}.$

Kovariantderivata för fält i en representation av Lorentz-gruppen

Givet en koordinatram ${\partial _{\alpha }}$ som härrör från säg koordinater ${\displaystyle \{x^{\alpha }\}} ,$ den partiella derivatan med avseende på en generell ortonormal ram $\{e_{\mu }\}$ är definierad

\partial _{\mu }\psi =e_{\mu }^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi ,

och anslutningskomponenter med avseende på en allmän ortonormal ram är

\omega ^{\mu }{}_{\nu \rho }=e_{\rho }^{\alpha }\omega ^{\mu }{}_{\nu \alpha }.

Dessa komponenter omvandlas inte tensoriellt vid byte av ram, men gör det när de kombineras. Dessutom är dessa definitioner snarare än att säga att dessa objekt kan uppstå som partiella derivator i något koordinatdiagram. I allmänhet finns det ortonormala ramar som inte är koordinerade, för vilka kommutatorn av vektorfält inte försvinner.

Det kan kontrolleras att under omvandlingen

\psi \mapsto \rho (\Lambda )\psi ,

om vi definierar den kovarianta derivatan

D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{2} }(\omega _{\nu \rho })_{\mu }\sigma ^{\nu \rho }\psi

,

då transformeras $D_{\mu }\psi$ som

D_{\mu }\psi \mapsto \rho (\Lambda )D_{\mu }\psi

Detta generaliserar till valfri representation $R$ för Lorentz-gruppen: om $v$ är ett vektorfält för den associerade representationen,

D_{\mu }v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }R(M^{\ nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }T^{\nu \rho }v .

När $R$ är den fundamentala representationen för ${\text{SO}}(1,3)$ återställer detta den välbekanta kovariansderivatan för (tangent-)vektorfält, av som Levi-Civita-kopplingen är ett exempel.

Det finns vissa subtiliteter i vilken typ av matematiskt objekt de olika typerna av kovariantderivata är. Kovariantderivatan $D_{\alpha }\psi$ i en koordinatbas är en vektorvärderad 1-form, som vid varje punkt $p$ är ett element av $E_{p}\otimes T_{p}^{*}M$ . Kovariantderivatan $D_{\mu }\psi$ i en ortonormal basis använder den ortonormala ramen $\{e_{\mu }\}$ för att identifiera den vektorvärderade 1- form med en vektorvärderad dubbelvektor som vid varje punkt $p$ är ett element av $E_{p}\otimes \mathbb {R} ^{1,3} ,$ med att ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{1,3}}^{*}\cong \mathbb {R} ^{1,3}} kanoniskt$ . Vi kan sedan dra ihop detta med en gammamatris 4-vektor $\gamma ^{\mu }$ som tar värden på $p$ i ${ \text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}$

Dirac ekvation på krökt rumtid

Påminner om Dirac-ekvationen på platt rumtid,

(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu}-m)\psi =0,

Dirac-ekvationen på krökt rumtid kan skrivas ner genom att främja den partiella derivatan till en kovariant.

På detta sätt tar Diracs ekvation följande form i krökt rumtid:.

Dirac ekvation på krökt rumtid

$(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi =0.$

där $\Psi$ är ett spinorfält på rymdtid. Matematiskt är detta en sektion av en vektorbunt associerad med spin-frame-bunten genom representationen $(1/2,0)\oplus (0,1/2).$

Återställer Klein–Gordon-ekvationen från Dirac-ekvationen

Den modifierade Klein–Gordon-ekvationen som erhålls genom att kvadrera operatorn i Dirac-ekvationen, som först hittades av Erwin Schrödinger som citeras av Pollock, ges av

\left({\frac {1 }{\sqrt {-\det g}}}\,{\cal {D}}_{\mu }\left({\sqrt {-\det g}}\,g^{\mu \nu }{ \cal {D}}_{\nu }\right)-{\frac {1}{4}}R+{\frac {ie}{2}}F_{\mu \nu }s^{\mu \nu }-m^{2}\right)\Psi =0.

där $R$ är Ricci-skalären och $F_{\mu \nu }$ är fältstyrkan för $A_{\mu }$ . En alternativ version av Dirac-ekvationen vars Dirac-operator förblir kvadratroten av Laplacian ges av Dirac–Kähler-ekvationen ; priset att betala är förlusten av Lorentz invarians i krökt rumtid.

Observera att här betecknar latinska index de "Lorentzianiska" vierbeinetiketterna medan grekiska index betecknar mångfaldiga koordinatindex.

Åtgärdsformulering

Vi kan formulera denna teori i termer av en handling. Om dessutom rumtiden $(M,\mathbf {g} )$ är orienterbar , finns det en föredragen orientering som kallas volymformen $\epsilon$ . Man kan integrera funktioner mot volymformen:

\int _{M}\epsilon f=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}f

Funktionen ${\displaystyle {\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\Psi } är integrerad$ mot volymformuläret för att få Dirac-åtgärden

Dirac-action på krökt rumtid

$I_{\text{Dirac}}=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi .$

Se även

M. Arminjon, F. Reifler (2013). "Ekvivalenta former av Dirac-ekvationer i krökta rumstider och generaliserade de Broglie-relationer". Brazilian Journal of Physics . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Bibcode : 2013BrJPh..43...64A . doi : 10.1007/s13538-012-0111-0 . S2CID 38235437 .
MD Pollock (2010). "på dirac-ekvationen i krökt rum-tid" . Acta Physica Polonica B . 41 (8): 1827. {{ citera tidskrift }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )
JV Dongen (2010). Einsteins enande . Cambridge University Press. sid. 117. ISBN 978-0-521-883-467 .
L. Parker, D. Toms (2009). Quantum Field Theory in Curved Spacetime: Quantized Fields and Gravity . Cambridge University Press. sid. 227. ISBN 978-0-521-877-879 .
SA Fulling (1989). Aspekter av kvantfältteorin i krökt rumtid . Cambridge University Press. ISBN 0-521-377-684 .