Densitetsmatrisrenormaliseringsgrupp

Densitetsmatrisrenormaliseringsgruppen ( DMRG ) är en numerisk variationsteknik utformad för att erhålla lågenergifysiken hos kvantsystem med många kroppar med hög noggrannhet . Som en variationsmetod är DMRG en effektiv algoritm som försöker hitta den lägsta energimatrisprodukttillståndsvågfunktionen för en Hamiltonian. Det uppfanns 1992 av Steven R. White och det är numera den mest effektiva metoden för 1-dimensionella system.

Tanken bakom DMRG

Det huvudsakliga problemet med kvantfysik med många kroppar är det faktum att Hilbertrymden växer exponentiellt med storleken. Med andra ord om man betraktar ett gitter, med något Hilbert-utrymme med dimensionen $d$ på varje plats i gittret, så skulle det totala Hilbert-utrymmet ha dimensionen $d^{N}$ , där $N$ är antalet platser på gittret. Till exempel har en spin-1/2- kedja med längden L 2 ^L frihetsgrader. DMRG är en iterativ , variationsmetod som reducerar effektiva frihetsgrader till de som är viktigast för ett måltillstånd. Det tillstånd man oftast är intresserad av är grundtillståndet .

Efter en uppvärmningscykel ^{[ definition behövs ]} delar metoden upp systemet i två delsystem, eller block, som inte behöver ha samma storlek, och två platser däremellan. En uppsättning representativa stater har valts ut för blocket under uppvärmningen. Denna uppsättning av vänster block + två platser + höger block är känt som superblocket . Nu kan en kandidat för grundtillståndet för superblocket, som är en reducerad version av hela systemet, hittas. Det kan ha en ganska dålig noggrannhet, men metoden är iterativ och förbättras med stegen nedan.

Nedbrytning av systemet i vänster och höger block, enligt DMRG.

Kandidatgrundtillståndet som har hittats projiceras in i Hilbert-underrummet för varje block med hjälp av en densitetsmatris , därav namnet. Således uppdateras de relevanta tillstånden för varje block. ^{[ ytterligare förklaring behövs ]}

Nu växer ett av blocken på bekostnad av det andra och proceduren upprepas. När det växande blocket når maximal storlek, börjar det andra växa på dess plats. Varje gång vi återgår till den ursprungliga situationen (lika storlekar) säger vi att ett svep har slutförts. Normalt räcker det med några svep för att få en detaljs precision på 10 ¹⁰ för ett 1D-gitter.

DMRG-svepet.

Den första tillämpningen av DMRG, av Steven White och Reinhard Noack, var en leksaksmodell : att hitta spektrumet av en spin 0-partikel i en 1D-låda. Denna modell hade föreslagits av Kenneth G. Wilson som ett test för alla nya metoder för renormaliseringsgrupp , eftersom de alla råkade misslyckas med detta enkla problem. DMRG övervann problemen med tidigare för renormaliseringsgrupp genom att koppla två block med de två platserna i mitten istället för att bara lägga till en enda plats till ett block vid varje steg samt genom att använda densitetsmatrisen för att identifiera de viktigaste tillstånden bevaras i slutet av varje steg. Efter att ha lyckats med leksaksmodellen prövades DMRG-metoden med framgång på Heisenberg-modellen (kvantum) .

Implementeringsguide

En praktisk implementering av DMRG - algoritmen är ett långdraget arbete ^{[ opinion ]} . Några av de viktigaste beräkningstricken är dessa:

Grundtillståndet för superblocket erhålls med Lanczos-algoritmen för matrisdiagonalisering. Ett annat val är Arnoldi-metoden , särskilt när man hanterar icke-hermitiska matriser.
Lanczos-algoritmen börjar vanligtvis med den bästa gissningen av lösningen. Om ingen gissning är tillgänglig väljs en slumpmässig vektor. I DMRG är grundtillståndet som erhålls i ett visst DMRG-steg, lämpligt transformerat, en rimlig gissning och fungerar således betydligt bättre än en slumpmässig startvektor vid nästa DMRG-steg.
I system med symmetri kan vi ha bevarat kvanttal, som totalt spinn i en Heisenberg-modell (kvantum) . Det är bekvämt att hitta grundtillståndet inom var och en av de sektorer som Hilbert-utrymmet är indelat i.
Ett exempel: dmrg av Heisenberg-modellen

Ansökningar

DMRG har framgångsrikt använts för att få fram lågenergiegenskaperna hos spinnkedjor: Ising-modell i ett tvärfält, Heisenberg-modell , etc., fermioniska system, såsom Hubbard-modellen , problem med föroreningar såsom Kondo-effekten , bosonsystem , och fysiken av kvantprickar sammanfogade med kvanttrådar . Det har också utökats till att arbeta med trädgrafer och har funnit tillämpningar i studien av dendrimerer . För 2D-system med en av dimensionerna mycket större än den andra DMRG är också korrekt, och har visat sig användbart i studien av stegar.

Metoden har utvidgats till att studera statistisk jämviktsfysik i 2D, och att analysera icke-jämviktsfenomen i 1D.

DMRG har också tillämpats på området kvantkemi för att studera starkt korrelerade system.

Matrisprodukten ansatz

Framgången för DMRG för 1D-system är relaterad till det faktum att det är en variationsmetod inom utrymmet för matrisprodukttillstånd . Dessa är formtillstånd

\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatörsnamn {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})| s_{1}\cdots s_{N}\rangle

där $s_{1}\cdots s_{N}$ är värdena för t.ex. z -komponenten av spinnet i en spinnkedja, och A s ^{i _är} matriser med godtycklig dimension m . Som m → ∞ blir representationen exakt. Denna teori avslöjades av S. Rommer och S. Ostlund i [1] .

Förlängningar av DMRG

Under 2004 utvecklades den tidsutvecklande blockdecimeringsmetoden för att implementera realtidsutveckling av Matrix Product States. Idén bygger på den klassiska simuleringen av en kvantdator . Därefter utarbetades en ny metod för att beräkna realtidsutvecklingen inom DMRG-formalismen - Se artikeln av A. Feiguin och SR White [ 2] .

Under de senaste åren har några förslag för att utvidga metoden till 2D och 3D lagts fram, vilket utökar definitionen av matrisproduktstaterna. Se denna artikel av F. Verstraete och I. Cirac, [3] .

Vidare läsning

Originalpapperet, av SR White, [4] eller [5]
En lärobok om DMRG och dess ursprung: https://www.springer.com/gp/book/9783540661290
En bred recension, av Karen Hallberg , [6] .
Två recensioner av Ulrich Schollwöck, en som diskuterar den ursprungliga formuleringen [7] och en annan när det gäller matrisprodukttillstånd [8]
Ph.D. avhandling av Javier Rodríguez Laguna [9] .
En introduktion till DMRG och dess tidsberoende förlängning [10] .
En lista över DMRG e-utskrifter på arxiv.org [11] .
En översiktsartikel om DMRG för ab initio kvantkemi [12] .
En introduktionsvideo om DMRG för ab initio kvantkemi [13] .

Relaterad programvara

The Matrix Product Toolkit : En gratis GPL- uppsättning verktyg för att manipulera finita och oändliga matrisprodukttillstånd skrivna i C++ [14]
Uni10 : ett bibliotek som implementerar ett flertal tensornätverksalgoritmer (DMRG, TEBD, MERA, PEPS ...) i C++
Powder with Power: en gratis distribution av tidsberoende DMRG-kod skriven i Fortran [15] Arkiverad 2017-12-04 på Wayback Machine
ALPS-projektet: en gratis distribution av tidsoberoende DMRG-kod och Quantum Monte Carlo- koder skrivna i C++ [16]
DMRG++ : en gratis implementering av DMRG skriven i C++ [17]
ITensor (Intelligent Tensor) Library: ett gratis bibliotek för att utföra tensor- och matrisprodukttillståndsbaserade DMRG-beräkningar skrivna i C ++ [18]
OpenMPS : en DMRG-implementering med öppen källkod baserad på Matrix Product States skriven i Python/Fortran2003. [19]
Snake DMRG-program: öppen källkod DMRG, tDMRG och ändlig temperatur DMRG-program skrivet i C++ [ 20]
CheMPS2 : öppen källkod (GPL) spin-anpassad DMRG-kod för ab initio kvantkemi skriven i C++ [21]
Block : öppen källkod DMRG-ramverk för kvantkemi och modell Hamiltonians. Stöder SU(2) och allmänna icke-abeliska symmetrier. Skrivet i C++.
Block2 : En effektiv parallell implementering av DMRG, dynamisk DMRG, tdDMRG och ändlig temperatur DMRG för kvantkemi och modeller. Skrivet i Python / C++ .

Se även