Matris produktstatus

Penrose grafisk notation (tensor diagram notation) av en matris produkttillstånd av fem partiklar.

Matrisprodukttillstånd ( MPS ) är ett kvanttillstånd för många partiklar (i N platser), skrivet i följande form:

|\Psi \rangle =\summa _{\{s\}}\operatörsnamn {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_ {2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,

där $A_{i}^{(s_{i})}$ är komplexa , kvadratiska matriser av ordningen $\chi$ (denna dimension kallas lokal dimension). Index $s_{i}$ går över tillstånd i beräkningsgrunden. För qubits är det $s_{i}\in \{0,1\}$ . För qudits (d-nivåsystem) är det $s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}$ .

Den är särskilt användbar för att hantera grundtillstånd för endimensionella kvantspinnmodeller (t.ex. Heisenberg-modell (kvant) ) . Parametern $\chi$ är relaterad till intrasslingen mellan partiklar. I synnerhet, om tillståndet är ett produkttillstånd (dvs inte intrasslat alls), kan det beskrivas som ett matrisprodukttillstånd med $\chi =1$ .

För tillstånd som är translationssymmetriska kan vi välja:

A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.

I allmänhet kan varje tillstånd skrivas i MPS-form (med $\chi$ som växer exponentiellt med partikelnumret N ). MPS är dock praktiskt när $\chi$ är liten – beror till exempel inte på partikelantalet. Med undantag för ett litet antal specifika fall (några nämns i avsnittet Exempel ), är något sådant inte möjligt, även om det i många fall fungerar som en bra approximation.

MPS-nedbrytningen är inte unik. För introduktioner se och. I samband med finita automater se. För betoning på tensornätverkens grafiska resonemang, se introduktionen.

Skaffa MPS

En metod för att få en MPS-representation av ett kvanttillstånd är att använda Schmidt-sönderdelning $N - 1$ gånger. Alternativt om kvantkretsen som förbereder många kroppstillstånd är känd, skulle man först kunna försöka erhålla en matrisproduktoperatörsrepresentation av kretsen. De lokala tensorerna i matrisproduktoperatören kommer att vara fyra indextensorer. Den lokala MPS-tensorn erhålls genom att dra ihop ett fysiskt index för den lokala MPO-tensorn med tillståndet som injiceras i kvantkretsen på den platsen.

Exempel

Delstaten Greenberger–Horne–Zeilinger

Greenberger–Horne–Zeilinger tillstånd , som för $N$ partiklar kan skrivas som superposition av $N$ nollor och $N$ ettor

|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}} }

kan uttryckas som ett matrisprodukttillstånd, upp till normalisering, med

A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1 )}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},

eller motsvarande, med hjälp av notation från:

A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.

Denna notation använder matriser där poster är tillståndsvektorer (istället för komplexa tal), och när matriser multipliceras med tensorprodukt för sina poster (istället för produkt av två komplexa tal). En sådan matris är konstruerad som

A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.

Observera att tensorprodukten inte är kommutativ .

I detta specifika exempel är en produkt av två A- matriser:

AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.

W tillstånd

W tillstånd , dvs superpositionen av alla beräkningsgrundtillstånden för Hamming vikt ett. Även om tillståndet är permutationssymmetriskt är dess enklaste MPS-representation inte det. Till exempel: