DMRG av Heisenberg-modellen

Inom studiet av kvantmångkroppsproblemet i fysiken är DMRG -analysen av Heisenberg-modellen ett viktigt teoretiskt exempel som tillämpar tekniker för densitetsmatrisrenormaliseringsgruppen (DMRG) på Heisenberg- modellen av en kedja av spinn. Den här artikeln presenterar den "oändliga" DMRG-algoritmen för den ${\displaystyle S=1},$ men receptet kan tillämpas för varje translationellt invariant endimensionellt gitter .

DMRG är en renormaliseringsgruppteknik eftersom den erbjuder en effektiv trunkering av Hilbert-utrymmet i endimensionella kvantsystem.

Algoritmen

Startpunkten

För att simulera en oändlig kedja, börja med fyra platser. Den första är blockplatsen , den sista är universumblocksplatsen och de återstående är de tillagda platserna , den högra läggs till universumblocksplatsen och den andra till blockplatsen.

Hilbert-utrymmet för den enskilda webbplatsen är ${\mathfrak {H}}$ med basen $\{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}$ . Med denna bas är spin- operatorerna $S_{x}$ , $S_{y}$ och $S_{z}$ för den enstaka platsen. För varje block, de två blocken och de två platserna, finns det ett eget Hilbert-utrymme ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{b}} ,$ dess bas $\{|w_{i}\rangle \}$ ( $i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{ b})$ ) och dess egna operatörer

O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}

var

block: ${\mathfrak {H}}_{B}$ , $\{|u_{i}\rangle \}$ , $H_{B}$ , $S_{x_{B}}$ , $S_{y_{B}}$ , $S_{z_{B}}$
vänstersida: ${\mathfrak {H}}_{l}$ , $\{|t_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{l}}$ , $S_{y_{l}}$ , $S_{z_{l}}$
högersida: ${\mathfrak {H}}_{r}$ , $\{|s_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{r}}$ , $S_{y_{r}}$ , $S_{z_{r}}$
universum: ${\mathfrak {H}}_{U}$ , $\{|r_{i}\rangle \}$ , $H_{U}$ , $S_{x_{U}}$ , $S_{y_{U}}$ , $S_{z_{U}}$

Vid startpunkten är alla fyra Hilbert-mellanslagen ekvivalenta med ${\mathfrak {H}}$ , alla snurroperatorer är ekvivalenta med $S_{x}$ , $S_{y}$ och $S_{z}$ och $H_{B}=H_{U}=0$ . I följande iterationer gäller detta endast för vänster och höger webbplatser.

Steg 1: Forma Hamiltonian-matrisen för Superblocket

Ingredienserna är de fyra blockoperatorerna och de fyra universumblocksoperatorerna, som vid den första iterationen är $3\times 3$ matriser , de tre spinnoperatorerna för vänsterplats och de tre spinnoperatorerna för högerplats, som alltid är $3\x 3$ matriser. Den Hamiltonska matrisen för superblocket (kedjan), som vid den första iterationen endast har fyra platser, bildas av dessa operatörer. I Heisenbergs antiferromagnetiska S=1-modell är Hamiltonian:

$\mathbf {H} _{SB}=-J\summa _ {\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S } _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}$

Dessa operatorer bor i superblocktillståndsutrymmet: ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B} \otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}} , basen$ är $\{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}$ . Till exempel: (konvention):

$|1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle$

$|0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle$

Hamiltonian i DMRG-formen är (vi sätter ${\displaystyle J=-1} )$ :

$\mathbf {H} _{SB}=\ mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\summa _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{ x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{ z_{j}}$

Operatörerna är $(d*3*3*d)\times (d*3*3*d)$ matriser, $d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})$ , till exempel:

$\langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\ ibland \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle$

$\mathbf {S} _{x_{B}}\ mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I}$

Steg 2: Diagonalisera superblocket Hamiltonian

Vid denna tidpunkt måste du välja egentillståndet för Hamiltonian för vilket vissa observerbara värden beräknas, detta är måltillståndet . I början kan du välja grundtillstånd och använda någon avancerad algoritm för att hitta den, en av dessa beskrivs i:

Den iterativa beräkningen av några av de lägsta egenvärdena och motsvarande av stora realsymmetriska matriser, egenvektorer Ernest R. Davidson ; Journal of Computational Physics 17, 87-94 (1975)

Detta steg är den mest tidskrävande delen av algoritmen.

Om $|\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k} ,r_{w}\rangle$ är måltillståndet, förväntat värde för olika operatorer kan mätas vid denna punkt med $|\Psi \rangle$ .

Steg 3: Minska densitetsmatrisen

Bilda matrisen med reducerad densitet $\rho$ för de två första blocksystemet, blocket och vänsterplatsen. Per definition är det $(d*3)\ gånger (d*3)$ matrisen: $\rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}$

Diagonalisera $\rho$ och bilda $m\times (d*3)$ matrisen $T$ , vilka rader är de $m$ egenvektorerna som är associerade med $m$ största egenvärdena $e_{\alpha }$ av $\rho$ . Så $T$ bildas av de mest signifikanta egentillstånden i matrisen med reducerad densitet. Du väljer $m$ med tanke på parametern $P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }$ : $1-P_{m}\cong 0$ .

Steg 4: Nya block- och universumblockoperatorer

Bilda ${\displaystyle (d*3)\times (d*3)}-$ matrisrepresentationen av operatorer för systemkompositen av blocket och vänsterplatsen, och för systemkompositen av högerplats och universumblock, till exempel:

$H_{Bl}=H_{B}\otimes \mathbb { I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{ l}}$

$S_{x_{Bl}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}$

$H_{rU}=\mathbb {I} \otimes H_{ U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{ U}}$

$S_{x_{rU}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I}$

Bilda nu $m\times m$ -matrisrepresentationerna av det nya blocket och universum-blockoperatorerna, bilda ett nytt block genom att ändra bas med transformationen $T$ , till exempel:

{\begin{matrix}&H_{B}=TH_{Bl}T^{\dolk }&S_{x_{ B}}=TS_{x_{Bl}}T^{\dolk }\end{matris}}

Vid denna punkt avslutas iterationen och algoritmen går tillbaka till steg 1. Algoritmen slutar framgångsrikt när det observerbara konvergerar till något värde.

Vidare läsning

White, Steven R. (1993-10-01). "Densitetsmatrisalgoritmer för kvantrenormaliseringsgrupper". Fysisk granskning B . American Physical Society (APS). 48 (14): 10345–10356. Bibcode : 1993PhRvB..4810345W . doi : 10.1103/physrevb.48.10345 . ISSN 0163-1829 . PMID 10007313 .
White, Steven R.; Huse, David A. (1993-08-01). "Numerisk renormaliseringsgruppstudie av lågt liggande egentillstånd i den antiferromagnetiska S=1 Heisenberg-kedjan". Fysisk granskning B . American Physical Society (APS). 48 (6): 3844–3852. Bibcode : 1993PhRvB..48.3844W . doi : 10.1103/physrevb.48.3844 . ISSN 0163-1829 . PMID 10008834 .
Schollwöck, U. (2005-04-26). "Täthetsmatrisrenormaliseringsgruppen". Recensioner av modern fysik . 77 (1): 259–315. arXiv : cond-mat/0409292 . Bibcode : 2005RvMP...77..259S . doi : 10.1103/revmodphys.77.259 . ISSN 0034-6861 . S2CID 119066197 .

Se även