Tidsutvecklande blockdecimering

Algoritmen för tidsutvecklande blockdecimering ( TEBD ) är ett numeriskt schema som används för att simulera endimensionella kvantsystem för många kroppar, som kännetecknas av som mest närmaste granne-interaktioner. Det kallas tidsutvecklande blockdecimation eftersom det dynamiskt identifierar de relevanta lågdimensionella Hilbert-underrymden i ett exponentiellt större ursprungligt Hilbert-rum . Algoritmen, baserad på Matrix Product States formalism, är mycket effektiv när mängden intrassling i systemet är begränsad, ett krav som uppfylls av en stor klass av kvantsystem med många kroppar i en dimension.

Introduktion

Med tanke på de inneboende svårigheterna med att simulera generella kvantsystem för många kroppar, den exponentiella ökningen av parametrar med storleken på systemet och på motsvarande sätt de höga beräkningskostnaderna, skulle en lösning vara att leta efter numeriska metoder som hanterar speciella fall, där man kan dra nytta av systemets fysik. Det råa tillvägagångssättet, genom att direkt hantera alla parametrar som används för att helt karakterisera ett kvantsystem med många kroppar, hindras allvarligt av den överdådiga exponentiella uppbyggnaden med systemstorleken på mängden variabler som behövs för simulering, vilket leder, i de bästa fallen, till orimligt långa beräkningstider och utökad användning av minne. För att komma runt detta problem har ett antal olika metoder utvecklats och omsatts i praktiken under tidens lopp, varav en av de mest framgångsrika är kvantmetoden Monte Carlo (QMC). Också för densitetsmatrisrenormaliseringsgrupp (DMRG), bredvid QMC, är en mycket pålitlig metod, med en växande gemenskap av användare och ett ökande antal applikationer till fysiska system.

När den första kvantdatorn är inkopplad och fungerar kommer perspektiven för beräkningsfysikområdet att se ganska lovande ut, men fram till den dagen måste man begränsa sig till de vardagliga verktyg som klassiska datorer erbjuder. Medan experimentella fysiker anstränger sig mycket för att bygga den första kvantdatorn, letar teoretiska fysiker, inom kvantinformationsteorin ( QIT ), efter äkta kvantalgoritmer, lämpliga för problem som skulle fungera dåligt när de försöker vara löst på en klassisk dator, men ganska snabbt och framgångsrikt på en kvantdator. Sökandet efter sådana algoritmer pågår fortfarande, den mest kända (och nästan de enda som hittats) är Shor's algoritm , för att faktorisera stora tal, och Grovers sökalgoritm .

Inom QIT-området måste man identifiera de primära resurser som krävs för äkta kvantberäkning. En sådan resurs kan vara ansvarig för snabbhetsvinsten i kvantum kontra klassisk, att identifiera dem innebär också att identifiera system som kan simuleras på ett någorlunda effektivt sätt på en klassisk dator. En sådan resurs är kvantintrassling ; därför är det möjligt att fastställa en distinkt nedre gräns för den intrassling som behövs för kvantberäkningshastigheter.

Guifré Vidal , då vid Institutet för kvantinformation, Caltech , har nyligen föreslagit ett schema som är användbart för att simulera en viss kategori av kvantsystem. Han hävdar att "alla kvantberäkningar med rena tillstånd kan simuleras effektivt med en klassisk dator förutsatt att mängden inblandad intrassling är tillräckligt begränsad" . Detta råkar vara fallet med generiska Hamiltonianer som visar lokala interaktioner, som till exempel Hubbard- liknande Hamiltonianer. Metoden uppvisar ett låggradigt polynombeteende i ökningen av beräkningstiden med avseende på mängden intrassling som finns i systemet. Algoritmen är baserad på ett schema som utnyttjar det faktum att i dessa endimensionella system sönderfaller egenvärdena för matrisen med reducerad densitet på en tvådelad uppdelning av systemet exponentiellt, vilket gör att vi kan arbeta i ett omdimensionerat utrymme som spänns av egenvektorer som motsvarar de egenvärden vi valt.

Man kan också uppskatta mängden beräkningsresurser som krävs för simulering av ett kvantsystem på en klassisk dator, med kunskap om hur den intrassling som finns i systemet skalas med storleken på systemet. De klassiskt (och även kvant) genomförbara simuleringarna är de som involverar system som endast är lätt intrasslade – de starkt intrasslade är å andra sidan bra kandidater endast för äkta kvantberäkningar.

Den numeriska metoden är effektiv för att simulera realtidsdynamik eller beräkningar av marktillstånd med användning av imaginär tidsevolution eller isentropiska interpolationer mellan en Hamiltonian och en Hamiltonian med ett redan känt marktillstånd. Beräkningstiden skalar linjärt med systemstorleken, därför kan många partikelsystem i 1D undersökas.

En användbar egenskap hos TEBD-algoritmen är att den på ett tillförlitligt sätt kan användas för tidsevolutionssimuleringar av tidsberoende Hamiltonianer, som beskriver system som kan realiseras med kalla atomer i optiska gitter , eller i system långt ifrån jämvikt i kvanttransport. Ur denna synvinkel hade TEBD en viss uppgång över DMRG, en mycket kraftfull teknik, men tills nyligen inte särskilt väl lämpad för att simulera tidsevolutioner. Med Matrix Product States formalism som det matematiska hjärtat av DMRG, antogs TEBD-schemat av DMRG-gemenskapen, vilket gav upphov till det tidsberoende DMRG [2] [ permanent , förkortat t-DMRG.

Ungefär samtidigt har andra grupper utvecklat liknande tillvägagångssätt där kvantinformation spelar en dominerande roll som till exempel i DMRG-implementeringar för periodiska randvillkor [3] , och för att studera blandade tillståndsdynamik i endimensionella kvantgittersystem, . Dessa sista tillvägagångssätt ger faktiskt en formalism som är mer generell än den ursprungliga TEBD-metoden, eftersom den också tillåter att hantera utvecklingar med matrisproduktoperatörer; detta möjliggör simulering av icke-triviala icke-infinitesimala evolutioner i motsats till TEBD-fallet, och är en avgörande ingrediens för att hantera högredimensionella analoger av matrisprodukttillstånd.

Nedbrytningen av staten

Introduktion av statens nedbrytning

Betrakta en kedja av N qubits , som beskrivs av funktionen $|\Psi \rangle \in H^{{\otimes }N}$ . Det naturligaste sättet att beskriva $|\Psi \rangle$ skulle använda den lokala $M^{N}$ -dimensionella basen $|i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}\rangle$ :

$|\Psi \rangle =\sum \limits _{i=1}^{M}c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}| {i_{1},i_{2},..,i_{N-1},i_{N}}\rangle$

där M är dimensionen på plats.

Tricket med TEBD är att skriva om koefficienterna $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ :

$c_{i_{1}i_{ 2}..i_{N}}=\summa \limits _{\alpha _{1},..,\alpha _{N-1}=0}^{\chi }\Gamma _{\alpha _{ 1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[ 2]i_{2}}\lambda _{\alpha _{2}}^{[2]}\Gamma _{\alpha _{2}\alpha _{3}}^{[3]i_{3} }\lambda _{\alpha _{3}}^{[3]}\cdot ..\cdot \Gamma _{\alpha _{N-2}\alpha _{N-1}}^{[{N -1}]i_{N-1}}\lambda _{\alpha _{N-1}}^{[N-1]}\Gamma _{\alpha _{N-1}}^{[N] i}}$

Detta formulär, känt som ett matrisprodukttillstånd , förenklar beräkningarna avsevärt.

För att förstå varför kan man titta på Schmidt-nedbrytningen av ett tillstånd, som använder singulärvärdesupplösning för att enklare uttrycka ett tillstånd med begränsad intrassling.

Schmidts nedbrytning

Tänk på tillståndet för ett tvådelat system $\vert \Psi \rangle \in {H_{A}\otillfällen H_{B}}$ . Varje sådan stat $|{\Psi }\rangle$ kan representeras på lämpligt sätt som:

$|{\Psi }\rangle =\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}|{\Phi _{i}^ {A}\Phi _{i}^{B}}\rangle$

var $|{\Phi _{i}^{A}\Phi _{i}^{B}}\rangle =|{\Phi _{i}^{A}}\rangle \otimes |{\Phi _{i}^{B}}\rangle$ bildas med vektorer $|{\Phi _{i}^{A}}\rangle$ som gör en ortonormal bas i $H_{A}$ och, på motsvarande sätt, vektorer ${\displaystyle |{\Phi _{i}^{B}}\rangle } ,$ som bildar en ortonormal bas i ${H_{B}}$ , med koefficienterna ${\ displaystyle a_{i}}$ är verklig och positiv, $\sum \limits _{i=1}^{M_{A|B}}a_{i}^{2}=1$ . Detta kallas Schmidt-nedbrytningen (SD) av ett tillstånd. I allmänhet går summeringen upp till $M_{A|B}=\min(\dim({H_{A}}),\dim({H_{B} }))$ . Schmidt-rankningen för en tvådelad uppdelning ges av antalet Schmidt-koefficienter som inte är noll. Om Schmidt-rankningen är ett, kännetecknas uppdelningen av ett produkttillstånd. Vektorerna för SD bestäms upp till en fas och egenvärdena och Schmidt-rankningen är unika.

Till exempel två-qubit-tillståndet:

$|{\Psi }\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2} }}}\left(|{00}\rangle +{\sqrt {3}}|{01}\rangle +{\sqrt {3}}|{10}\rangle +|{11}\rangle \right)$

har följande SD:

$|{\Psi }\rangle ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}|{\phi _{1 }^{A}\phi _{1}^{B}}\rangle +{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}|{\phi _{ 2}^{A}\phi _{2}^{B}}\rangle$

med

$|{\phi _{1}^{A}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}} (|{0_{A}}\rangle +|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{1}^{B}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt { 2}}}(|{0_{B}}\rangle +|{1_{B}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{A}}\rangle ={\frac {1} {\sqrt {2}}}(|{0_{A}}\rangle -|{1_{A}}\rangle ),\ \ |{\phi _{2}^{B}}\rangle ={\ frac {1}{\sqrt {2}}}(|{1_{B}}\rangle -|{0_{B}}\rangle )$

Å andra sidan, staten:

$|{\Phi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|{00}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {6}}}|{ 01}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{10}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {6}}}|{11}\rangle$

är en produktstatus:

$|{\Phi }\rangle ={(}{\frac {1} {\sqrt {3}}}|{0_{A}}\rangle -{\frac {i}{\sqrt {3}}}|{1_{A}}\rangle {)}\otimes {(}| {0_{B}}\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|{1_{B}}\rangle {)}$

Bygga nedbrytningen av staten

Vid det här laget vet vi tillräckligt för att försöka se hur vi uttryckligen bygger nedbrytningen (låt oss kalla det D ).

Betrakta tvådelad uppdelning $[1]:[2..N]$ . SD har koefficienterna $\lambda _{{\alpha }_{1}}^{[1]}$ och egenvektorer $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{1}}^{ [2..N]}}\rangle$ . Genom att utöka $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[1]}}\rangle$ s i den lokala basen, kan man skriva:

$|{\Psi }\rangle =\summa \limits _{i_{1},{\alpha _{1}=1}}^{M,\chi } \Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}|{i_{1}}\rangle |{\ Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$

Processen kan sönderdelas i tre steg, itererad för varje bindning (och, på motsvarande sätt, SD) i kedjan:

Steg 1 : uttryck $|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle$ s på lokal basis för qubit 2:

$|{\Phi _{\alpha _{1}}^{[2..N]}}\rangle =\summa _{i_{2}} |{i_{2}}\rangle |{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$

Vektorerna $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ är inte nödvändigtvis normaliserade .

Steg 2 : skriv varje vektor $|{\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}}\rangle$ i termer av at de flesta (Vidals betoning) $\chi$ Schmidt-vektorer $|{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$ och, på motsvarande sätt, koefficienterna $\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}$ :

$|\tau _{\alpha _{1}i_{2}}^{[3..N]}\rangle =\summa _{\alpha _{2 }}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _{2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{ \Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$

Steg 3 : gör ersättningarna och skaffa:

$|{\Psi }\rangle =\summa _{i_{1},i_{2},\alpha _{1},\alpha _{2}}\ Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\Gamma _{\alpha _{1}\alpha _ {2}}^{[2]i_{2}}\lambda _{{\alpha }_{2}}^{[2]}|{i_{1}i_{2}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{2}}^{[3..N]}}\rangle$

Genom att upprepa stegen 1 till 3 kan man konstruera hela nedbrytningen av tillstånd D . De sista $\Gamma$ är ett specialfall, liksom de första, som uttrycker de högra Schmidt-vektorerna vid $(N-1)^{th}$ bindning i termer av den lokala basen vid $N^{th}$ gitterplatsen. Som visas i är det enkelt att erhålla Schmidt-sönderdelningen vid ${\displaystyle k^{th}}-$ bindning, dvs $[1.. k]:[k+1..N]$ , från D .

Schmidts egenvärden ges explicit i D :

$|{\Psi }\rangle =\summa _{\alpha _{k}}\lambda _{{\alpha }_{k}}^{[ k]}|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N ]}}\rangle$

Schmidts egenvektorer är helt enkelt:

$|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[1..k]}}\rangle =\summa _{\alpha _{1},\alpha _{2}. .\alpha _{k-1}}\Gamma _{\alpha _{1}}^{[1]i_{1}}\lambda _{\alpha _{1}}^{[1]}\cdot \cdot \Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]i_{k}}|{i_{1}i_{2}..i_{k}}\rangle$

och

$|{\Phi _{\alpha _{k}}^{[k+1..N]}}\rangle =\summa _{\alpha _{k+1},\alpha _ {k+2}..\alpha _{N}}\Gamma _{\alpha _{k}\alpha _{k+1}}^{[k+1]i_{k+1}}\lambda _ {\alpha _{k+1}}^{[k+1]}\cdot \cdot \lambda _{\alpha _{N-1}}^{N-1}\Gamma _{\alpha _{N -1}}^{[N]i_{N}}|{i_{k+1}i_{k+2}..i_{N}}\rangle$

Logisk grund

Om man nu tittar på D , istället för $M^{N}$ initialtermer, finns det ${\chi }^{2}{\cdot }M(N-2)+2{\chi}M+(N-1)\chi$ . Tydligen är detta bara ett fint sätt att skriva om koefficienterna ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}} ,$ men i själva verket finns det mer än så. Om man antar att N är jämn, kan Schmidt-rankningen $\chi$ för ett tvådelat snitt i mitten av kedjan ha ett maximalt värde på $M^{N/2}$ ; i det här fallet får vi åtminstone $M^{N+1}{\cdot }(N-2)$ koefficienter, endast med tanke på ${ \chi }^{2}$ ettor, något fler än initialen $M^{N}$ ! Sanningen är att nedbrytningen D är användbar när man har att göra med system som uppvisar en låg grad av intrassling, vilket lyckligtvis är fallet med många 1D-system, där Schmidt-koefficienterna för grundtillståndet sönderfaller på ett exponentiellt sätt med α {\ $\ alfa }$ :

$\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}{\sim }e^{-K\alpha _{l}},\ K>0.$

Därför är det möjligt att bara ta hänsyn till några av Schmidt-koefficienterna (nämligen de största), att ta bort de andra och följaktligen återigen normalisera tillståndet:

$|{\Psi }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\sum \limits _{{\alpha _{l}}=1 }^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|}^{2}}}}\cdot \sum \limits _{ {{\alpha }_{l}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{l}}^{[l]}|{\Phi _{\ alpha _{l}}^{[1..l]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{l}}^{[l+1..N]}}\rangle ,$

där $\chi _{c}$ är antalet bevarade Schmidt-koefficienter.

Låt oss komma bort från denna abstrakta bild och fräscha upp oss med ett konkret exempel, för att betona fördelen med att göra denna nedbrytning. Betrakta till exempel fallet med 50 fermioner i en ferromagnetisk kedja, för enkelhetens skull. En dimension på 12, låt oss säga, för $\chi _{c}$ skulle vara ett rimligt val, att hålla de kasserade egenvärdena på $0,0001$ % av totalen, vilket framgår av numeriska studier, betyder ungefär $2^{14}$ koefficienter, jämfört med de ursprungligen $2^{50}$ .

Även om Schmidts egenvärden inte har denna exponentiella avklingning, men de visar en algebraisk minskning, kan vi fortfarande använda D för att beskriva vårt tillstånd $\psi$ . Antalet koefficienter för en trovärdig beskrivning av $\psi$ kan vara betydligt större, men fortfarande inom räckhåll för eventuella numeriska simuleringar.

Uppdateringen av nedbrytningen

Man kan nu fortsätta att undersöka beteendet hos nedbrytningen D när den påverkas med en-qubit- grindar (OQG) och två-qubit-grindar (TQG) som verkar på angränsande qubits. Istället för att uppdatera alla ${\displaystyle M^{N}}-$ koefficienterna $c_{i_{1}i_{2}..i_{N}}$ , kommer vi att begränsa oss till ett antal operationer som ökar i $\chi$ som ett polynom av låg grad, vilket sparar beräkningstid .

En-qubit-grindar som verkar på qubit k

OQG:erna påverkar endast qubiten de agerar på, uppdateringen av tillståndet $|{\psi }\rangle$ efter en enhetlig operator vid qubit k ändrar inte Schmidts egenvärden eller vektorer till vänster, följaktligen $\Gamma ^{[k- 1]}$ s, eller till höger, därav $\Gamma ^{[k+1]}$ s. De enda ${\displaystyle \Gamma }:$ s som kommer att uppdateras är ${\displaystyle \Gamma ^{[k]}}:$ s (kräver endast högst ${\ displaystyle {O}(M^{2}\cdot \chi ^{2})}$ operationer), som

$\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{'[k]i_{k}}=\summa _{j}U_{j_{k}}^{i_ {k}}\Gamma _{\alpha _{k-1}\alpha _{k}}^{[k]j_{k}}.$

Två-qubit-grindar som verkar på qubits k, k+1

De ändringar som krävs för att uppdatera $\Gamma$ och ${\displaystyle \lambda },$ efter en enhetlig operation V på qubits k, k+1 , gäller endast $\ Gamma ^{[k]}$ och $\Gamma ^{[k+1]}$ . De består av ett antal ${O}({M\cdot \chi }^{3})$ grundläggande operationer.

Efter Vidals ursprungliga tillvägagångssätt, $|{\psi }\rangle$ kan betraktas som tillhörande endast fyra delsystem:

${{H}=J{\otimes }H_{C}{\otimes }H_{D}{\otimes }K}.\,$

Delrummet J spänns över av egenvektorerna för matrisen med reducerad $\rho ^{J}=Tr_{CDK}|\psi \rangle \langle \psi |$ C :

$\rho ^{[1..{k-1}]}=\summa _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})}^{2}| {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}\rangle \langle {\Phi _{\alpha }^{[1..{k-1}]}}|= \sum _{\alpha }{(\lambda _{\alpha }^{[k-1]})^{2}}|{\alpha }\rangle \langle {\alpha }|.$

På ett liknande sätt överspänns delrummet K av egenvektorerna för matrisen med reducerad densitet:

$\rho ^{[{k+2}..{N}]}=\summa _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2} }|{\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}}\rangle \langle {\Phi _{\gamma }^{[{k+2}..N]}} |=\summa _{\gamma }{(\lambda _{\gamma }^{[k+1]})^{2}}|{\gamma }\rangle \langle {\gamma }|.$

Delrymden $H_{C}$ och $H_{D}$ tillhör qubitarna k och k + 1. Med denna bas och nedbrytningen D , $|{\psi }\rangle$ kan skrivas som:

$|{\psi }\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\beta ,\gamma =1}^{\chi}\sum \limits _{i,j=1} ^{M}\lambda _{\alpha }^{[C-1]}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]i}\lambda _{\beta }^{[C]}\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]j}\lambda _{\gamma }^{[D]}|{{\alpha }ij{\gamma }}\rangle$

Med samma resonemang som för OQG, applicering av TQG V på qubits k , k + 1 behöver man bara uppdatera

$\Gamma ^{[C]}$ , $\lambda$ och $\Gamma ^{[D]}.$

Vi kan skriva $|{\psi '}\rangle =V|{\psi }\rangle$ som:

$|{\psi '}\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\gamma =1}^{\chi }\sum \limits _{i,j=1}^{ M}\lambda _{\alpha }\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}\lambda _{\gamma }|{{\alpha }ij\gamma }\rangle$

var

$\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}=\sum \limits _{\beta =1}^{\chi }\sum \limits _{m,n=1}^{M}V_ {mn}^{ij}\Gamma _{\alpha \beta }^{[C]m}\lambda _{\beta }\Gamma _{\beta \gamma }^{[D]n}.$

För att ta reda på den nya sönderdelningen måste de nya $\lambda$ vid bindningen k och deras motsvarande Schmidt-egenvektorer beräknas och uttryckas i termer av ${\Gamma }$ för sönderdelningen D . Den reducerade densitetsmatrisen $\rho ^{'[DK]}$ är därför diagonaliserad :

$\rho ^{'[DK]}=Tr_{JC}|{\psi '}\rangle \langle {\psi '}|=\summa _{j,j',\gamma ,\gamma '} \rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}|{j\gamma }\rangle \langle {j'\gamma '}|.$

Kvadratrötterna av dess egenvärden är de nya ${\displaystyle \lambda }:$ s. Att uttrycka egenvektorerna för den diagonaliserade matrisen i basen: $\{|{j\gamma }\rangle \}$ Γ $\Gamma ^{[{D]}}$ erhålls också

$|{\Phi ^{'[{DK}]}}\rangle =\sum _{j,\gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}]j}\lambda _{\gamma }|{j\gamma }\rangle .$

Från de vänstra egenvektorerna,

$\lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{JC}]}}\rangle =\langle {\Phi _{\beta }^ {'[{DK}]}}|{\psi '}\rangle =\summa _{i,j,\alpha ,\gamma }(\Gamma _{\beta \gamma }^{'[{D}] j})^{*}\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}(\lambda _{\gamma })^{2}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle$

efter att ha uttryckt dem i basen $\{|{i\alpha }\rangle \}$ , $\Gamma ^{[{C}]}$ är:

$|{\Phi ^{'[{JC}]}}\rangle =\summa _{i,\alpha }\Gamma _{\alpha \beta }^{'[{C}]i}\lambda _{\alpha }|{{\alpha }i}\rangle .$

Beräkningskostnaden

Dimensionen för de största tensorerna i D är av ordningen ${O}(M{\cdot }{\chi }^{2})$ ; när man konstruerar $\Theta _{\alpha \gamma }^{ij}$ gör man summeringen över $\beta$ , ${\it {m}}$ och ${\it {n}}$ för varje ${\displaystyle \gamma ,\alpha ,{\it {i,j}}} ,$ lägga till totalt ${O}(M^{4}{\cdot }{\chi }^{3})$ operationer. Detsamma gäller för bildningen av elementen ${\displaystyle \rho _{\gamma \gamma '}^{jj'}} ,$ eller för beräkning av de vänstra egenvektorerna ${\displaystyle \lambda _{\beta }^{'}|{\Phi _{\beta }^{'[{\it {JC}}]}}\rangle } ,$ en maximalt ${\displaystyle {\it {O}}(M^{3}{\cdot }{\chi }^{3})} ,$ respektive ${\it {O}}(M^{2}{\cdot }{\chi }^{3})$ grundläggande operationer. I fallet med qubits, ${\it {M}}=2$ , därför är dess roll inte särskilt relevant för storleksordningen på antalet grundläggande operationer, men i fallet när on- platsdimensionen är högre än två har den ett ganska avgörande bidrag.

Den numeriska simuleringen

Den numeriska simuleringen är inriktad på (möjligen tidsberoende) Hamiltonianer av ett system av ${\it {N}}$ partiklar arrangerade i en linje, som är sammansatta av godtyckliga OQG och TQG:

$H_{N}=\sum \limits _{l=1}^{N}K_{1}^{[l]}+\summa \limits _{l=1}^{N}K_{2 }^{[l,l+1]}.$

Det är användbart att dekomponera $H_{N}$ som summan av två möjligen icke-pendlande termer, $H_{N}=F+G$ , där

$F\equiv \sum _{even\ \ l}(K_ {1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\summa _{jämn\ \ l}F^{[l]},$

$G\equiv \sum _{udda\ \ l}(K_{1}^{l}+K_{2}^{l,l+1})=\summa _{udda\ \ l}G^ {[l]}.$

Alla termer med två delar pendlar: $[F^{[l]},F^{[l']}]=0$ , $[G^{[l]},G^{[l']}]=0$ Detta görs för att göra Suzuki–Trotter-expansionen (ST) av exponentialoperatorn, uppkallad efter Masuo Suzuki och Hale Trotter .

Suzuki-Trotter-expansionen

Suzuki-Trotter-expansionen av första ordningen (ST1) representerar ett allmänt sätt att skriva exponentiella operatorer:

$e^{(A+B)}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\Bigl (}e^ {\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}{\Bigr )}^{n}$

eller på motsvarande sätt

$e^{{\delta }(A+B)}=e^{{\delta}A}e^{{\delta }B}+{\it {O}}(\delta ^{2} ).$

Korrigeringstermen försvinner i gränsen $\delta \rightarrow 0$

För simuleringar av kvantdynamik är det användbart att använda operatorer som är enhetliga , som bevarar normen (till skillnad från kraftserieexpansionerna), och det är där Trotter-Suzuki-expansionen kommer in. I problem med kvantdynamik är enhetligheten hos operatorerna i ST-expansionen visar sig vara ganska praktiskt, eftersom felet tenderar att koncentreras till den övergripande fasen , vilket gör det möjligt för oss att troget beräkna förväntade värden och bevarade kvantiteter. Eftersom ST bevarar fas-rymdvolymen, kallas den också en symplektisk integrator.

Knepet med ST2 är att skriva enhetsoperatorerna $e^{-iHt}$ som:

$e^{-iH_{N}T}=[e^ {-iH_{N}\delta }]^{T/{\delta }}=[e^{{\frac {\delta }{2}}F}e^{{\delta}G}e^{{ \frac {\delta }{2}}F}]^{n}$

där $n={\frac {T}{\delta }}$ . Numret ${\it {n}}$ kallas för travnummer.

Simulering av tidsevolutionen

Operatörerna $e^{{\frac {\delta }{2}}F}$ , $e^{{\delta }G}$ är lätta att uttrycka, som:

$e^{{\frac {\delta }{2}}F}=\prod _{even\ \ l}e^{ {\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$

$e^{{\delta }G}=\prod _{udda\ \ l}e^{{\delta }G^{[l]}}$

eftersom två valfria operatorer $F^{[l]}$ , $F^{[l']}$ (respektive $G^{ [l]}$ , $G^{[l']}$ ) pendlar för $l{\neq }l'$ och en ST-expansion av första ordningen behåller endast produkten av exponentialen, approximationen blir i detta fall exakt.

Tidsutvecklingen kan göras enligt

$|{{\tilde {\psi }}_{t+\delta }}\rangle =e^{-i{\frac {\delta}{2}}F}e^{{-i\delta } G}e^{{\frac {-i\delta }{2}}F}|{{\tilde {\psi }}_{t}}\rangle .$

För varje "tidssteg" $\delta$ , $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]} }$ tillämpas successivt på alla udda platser, sedan $e^{{-i\delta }G^{[l]}}$ på de jämna, och $e^{-i{\frac {\delta }{2}}F^{[l]}}$ igen till de udda; detta är i grunden en sekvens av TQG, och det har förklarats ovan hur man uppdaterar nedbrytningen ${\it {D}}$ när man tillämpar dem.

Vårt mål är att få tiden att utvecklas i en stat $|{\psi _{0}}\rangle$ för en tid T, mot tillståndet $|{\psi _{T}}\rangle$ med hjälp av n-partikeln Hamiltonian $H_{n}$ .

Det är ganska besvärligt, om det alls är möjligt, att konstruera nedbrytningen ${\it {D}}$ för ett godtyckligt n-partikeltillstånd, eftersom detta skulle innebära att man måste beräkna Schmidt-nedbrytningen vid varje bindning, för att ordna Schmidt-egenvärdena i fallande ordning och för att välja den första $\chi _{c}$ och de lämpliga Schmidt-egenvektorerna. Tänk på att detta skulle innebära diagonalisering av något generösa matriser med reducerad densitet, vilket, beroende på vilket system man måste simulera, kan vara en uppgift utanför vårt räckhåll och tålamod. Istället kan man försöka göra följande:

i) konstruera nedbrytningen ${\it {D}}$ för ett enkelt initialtillstånd, låt oss säga, något produkttillstånd ${\displaystyle |{\psi _{P}}\rangle } ,$ för vilken nedbrytningen är enkel.

ii) relatera $|{\psi _{0}}\rangle$ till grundtillståndet $|{\psi _{gr}}\rangle$ av en Hamiltonian ${\tilde {H}}$ med en tillräckligt lokal transformation Q (en som kan uttryckas som en produkt av TQG, till exempel) $|{\psi _{0}}\rangle =Q|{\psi _{gr}}\rangle$

iii) gör en imaginär tidsutveckling mot grundtillståndet för Hamiltonian ${\tilde {H}}$ , $|{\psi _{gr}}\rangle$ enligt:

$|{\psi _{gr}}\rangle =\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _ {P}}\rangle }{||e^{-{\tilde {H}}\tau }|{\psi _{P}}\rangle ||}},$

eller, alternativt, simulera en isentropisk evolution med en tidsberoende Hamiltonian, som interpolerar mellan Hamiltonian $H_{1}$ , som har produkttillståndet $|{\psi _{P}}\rangle$ som dess grundtillstånd, och Hamiltonian ${\tilde {H}}$ ; utvecklingen måste ske tillräckligt långsamt, så att systemet alltid är i grundtillståndet eller åtminstone mycket nära det.

iv) slutligen, gör statens tidsutveckling $|{\psi _{0}}\rangle$ mot $|{\psi _{T}}\rangle$ med Hamiltonian $H_{n}$ :

$|{\psi _{T}}\rangle =e^{-iH_{n}T}|{\psi _{0}}\rangle$

Felkällor

Felen i simuleringen är ett resultat av Suzuki-Trotter-approximationen och den inblandade trunkeringen av Hilbert-utrymmet.

Fel som kommer från Suzuki-Trotter-expansionen

I fallet med en Trotter approximation av ${\it {p^{th}}}$ ordningen är felet av ordningen ${\delta }^{p+1}$ . Med hänsyn till $n={\frac {T}{\delta }}$ steg, är felet efter tiden T:

$\epsilon ={\frac {T}{\delta }}\delta ^{p+1}=T\delta ^{p}$

Det oapproximerade tillståndet $|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle$ är:

$|{{\tilde {\psi }}_{Tr}}\rangle ={\sqrt {1-{\epsilon }^{2}}}|{\psi _{Tr} }\rangle +{\epsilon }|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle$

där $|{\psi _{Tr}}\rangle$ är tillståndet som hålls efter Trotter-expansionen och $|{\psi _{Tr}^{\bot }}\rangle$ står för den del som försummas när man gör expansionen.

Det totala felet skalas med tiden ${\it {T}}$ som:

$\epsilon ({\it {T}})=1-|\langle {\tilde {\psi _{Tr}}}|{\psi _{Tr }}\rangle |^{2}=1-1+\epsilon ^{2}=\epsilon ^{2}$

Trotterfelet är oberoende av kedjans dimension.

Fel som kommer från trunkeringen av Hilbert-utrymmet

Med tanke på felen som härrör från trunkeringen av Hilbert-utrymmet som ingår i sönderdelningen D , är de tvåfaldiga.

Först, som vi har sett ovan, lämnas de minsta bidragen till Schmidt-spektrumet borta, staten är troget representerad upp till:

$\epsilon ({\it {D}})=1-\prod \limits _{n=1}^{N -1}(1-\epsilon _{n})$

där $\epsilon _{n}=\summa \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }( \lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$ är summan av alla kasserade egenvärden för matrisen med reducerad densitet, vid bindningen ${\it {n}}$ . Staten $|{\psi }\rangle$ är, vid en given bindning ${\displaystyle {\it {n}}},$ beskriven av Schmidt-sönderdelningen:

$|{\psi }\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n}}}|{\psi _{D}}\rangle +{\sqrt {\epsilon _{n }}}|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle$

var

$|{\psi _{D}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {1-\epsilon _{n}}}}\summa \limits _{{{\alpha }_{n}}=1}^{{\chi }_{c}}\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n]}|{\ Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]}}\rangle$

hålls staten efter trunkeringen och

$|{\psi _{D}^{\bot }}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{n}}} }\sum \limits _{{{\alpha }_{n}}={\chi }_{c}}^{\chi }\lambda _{{\alpha }_{n}}^{[n] }|{\Phi _{\alpha _{n}}^{[1..n]}}\rangle |{\Phi _{\alpha _{n}}^{[n+1..N]} }\rangle$

är det tillstånd som bildas av de egenfunktioner som motsvarar de minsta, irrelevanta Schmidt-koefficienterna, som försummas. Nu, $\langle \psi _{D}^{\bot }|\psi _{D}\rangle =0$ eftersom de spänns av vektorer som motsvarar ortogonala mellanrum. Med samma argument som för Trotter-expansionen är felet efter trunkeringen:

$\epsilon _{n}=1-|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}= \sum \limits _{\alpha =\chi _{c}}^{\chi }(\lambda _{\alpha }^{[n]})^{2}$

Efter att ha flyttat till nästa obligation är staten på liknande sätt:

$|{\psi _{D}}\rangle ={\sqrt {1-\epsilon _{n+1}}}|{{{\psi }'}_{D}} \rangle +{\sqrt {\epsilon _{n+1}}}|{{\psi '}_{D}^{\bot }}\rangle$

Felet efter den andra trunkeringen är:

$\epsilon =1-|\langle {\psi }|\psi '_{D}\rangle |^{2}=1 -(1-\epsilon _{n+1})|\langle {\psi }|\psi _{D}\rangle |^{2}=1-(1-\epsilon _{n+1})( 1-\epsilon _{n})$

och så vidare, när vi går från band till band.

Den andra felkällan inbäddad i nedbrytningen ${\it {D}}$ är mer subtil och kräver lite beräkning.

Som vi beräknat tidigare, normaliseringskonstanten efter att ha gjort trunkeringen vid bindning ${\it {l}}$$([1. .l]:[l+1..N])$ är:

$R={\sum \limits _{{\alpha _{l}}}=1}^{{\chi }_{c}}{|\lambda _{{\alpha } _{l}}^{[l]}|}^{2}}={1-\epsilon _{l}}$

Låt oss nu gå till bindningen ${\it {l}}-1$ och beräkna normen för de högra Schmidt-vektorerna $||{\Phi _{\alpha _{l-1}}^{[l-1..N]}}||$ ; med hänsyn till hela Schmidt-dimensionen är normen:

$n_{1}=1=\summa \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_ {\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}+\summa \limits _ {\alpha _{l}=\chi _{c}}^{\chi }(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}(\lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=S_{1}+S_{2}$ ,

där $(c_ {\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}=\summa \limits _{i_{l}=1}^{d}(\Gamma _{\alpha _{l- 1}\alpha _{l}}^{[l]i_{l}})^{*}\Gamma _{\alpha _{l-1}\alpha _{l}}^{[l]i_{ l}}$ .

Med hänsyn till det trunkerade utrymmet är normen:

$n_{2}=\summa \limits _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}\cdot ({\lambda '}_{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}=\summa \ gränser _{\alpha _{l}=1}^{\chi _{c}}(c_{\alpha _{l-1}\alpha _{l}})^{2}{\frac {(\ lambda _{\alpha _{l}}^{[l]})^{2}}{R}}={\frac {S_{1}}{R}}$

Om vi ​​tar skillnaden, $\epsilon =n_{2}-n_{1}=n_{2}-1$ , får vi:

$\epsilon ={\frac {S_{1}}{R}}-1\leq {\ frac {1-R}{R}}={\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}{\högerpil }0\ \ as\ \ {\epsilon _{l} {\högerpil }{0}}$

När man konstruerar matrisen med reducerad densitet multipliceras följaktligen matrisens spår med faktorn:

$|\langle {\psi _{D}}|\psi _{D}\rangle |^{2}=1 -{\frac {\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}={\frac {1-2\epsilon _{l}}{1-\epsilon _{l}}}$

Det totala trunkeringsfelet

Det totala trunkeringsfelet, med tanke på båda källorna, är övre gränsen av:

$\epsilon ({D})=1-\prod \limits _{n=1}^{N-1}(1-\epsilon _{n})\prod \limits _{n= 1}^{N-1}{\frac {1-2\epsilon _{n}}{1-\epsilon _{n}}}=1-\prod \limits _{n=1}^{N- 1}(1-2\epsilon _{n})$

När vi använder Trotter-expansionen går vi inte från bindning till bindning, utan mellan bindningar av samma paritet; Dessutom, för ST2, gör vi ett svep av jämna och två för udda. Men inte desto mindre håller den ovan presenterade beräkningen fortfarande. Felet utvärderas genom att successivt multiplicera med normaliseringskonstanten, varje gång vi bygger matrisen med reducerad densitet och väljer dess relevanta egenvärden.

"Adaptiv" Schmidt-dimension

En sak som kan spara mycket beräkningstid utan förlust av noggrannhet är att använda en annan Schmidt-dimension för varje bindning istället för en fast för alla bindningar, och bara behålla den nödvändiga mängden relevanta koefficienter, som vanligt. Om man till exempel tar den första bindningen, när det gäller qubits, är Schmidt-dimensionen bara två. Därför kan vi vid den första bindningen, istället för att diagonalisera meningslöst, låt oss säga 10 gånger 10 eller 20 gånger 20 matriser, bara begränsa oss till vanliga 2 gånger 2 ettor, vilket gör algoritmen generellt sett snabbare. Vad vi istället kan göra är att sätta ett tröskelvärde för egenvärdena för SD, och bara behålla de som ligger över tröskeln.

TEBD erbjuder också möjligheten till enkel parallellisering på grund av faktoriseringen av den exponentiella tidsutvecklingsoperatören med Suzuki-Trotter-expansionen. En parallell-TEBD har samma matematik som sin icke-parallelliserade motsvarighet, den enda skillnaden är i den numeriska implementeringen.