Den högre oändliga
The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings är en monografi i mängdlära av Akihiro Kanamori , om historien och teorin om stora kardinaler , oändliga mängder som kännetecknas av så starka egenskaper att deras existens inte kan bevisas i Zermelo–Fraenkels mängdlära (ZFC). Den här boken publicerades 1994 av Springer-Verlag i deras serie Perspectives in Mathematical Logic, med en andra upplaga 2003 i deras Springer Monographs in Mathematics-serie, och ett pocketuttryck av den andra upplagan 2009 ( ISBN 978-3-540- 88866-6 ).
Ämnen
Oavsett inledningsmaterial och bilagor finns det sex kapitel i The Higher Infinite , ordnade ungefär i kronologisk ordning efter ämnets utvecklingshistoria. Författaren skriver att han valde denna ordning "både för att den ger den mest sammanhängande presentationen av matematiken och för att den rymmer nyckeln till alla epistemologiska problem".
I det första kapitlet, "Början", inkluderar materialet otillgängliga kardinaler , Mahlo-kardinaler , mätbara kardinaler , kompakta kardinaler och obeskrivliga kardinaler . Kapitlet täcker det konstruerbara universum och inre modeller , elementära inbäddningar och ultrakrafter , och ett resultat av Dana Scott att mätbara kardinaler är oförenliga med konstruerbarhetens axiom .
Det andra kapitlet, "Partitionsegenskaper", inkluderar partitionskalkylen för Paul Erdős och Richard Rado , träd och Aronszajn-träd , den modellteoretiska studien av stora kardinaler och förekomsten av uppsättningen 0 # sanna formler om oskiljbara . Det inkluderar också Jónsson-kardinaler och Rowbottom-kardinaler .
Nästa är två kapitel om "Forcing and sets of reals" och "Aspects of measurability". Huvudämnet i det första av dessa kapitel är forcering , en teknik introducerad av Paul Cohen för att bevisa konsekvens och inkonsekvensresultat i mängdteori; den inkluderar också material i beskrivande mängdlära . Det andra av dessa kapitel täcker tillämpningen av tvång av Robert M. Solovay för att bevisa konsistensen hos mätbara kardinaler, och relaterade resultat med hjälp av starkare föreställningar om tvång.
Kapitel fem är "Starka hypoteser". Det innehåller material om superkompakta kardinaler och deras reflektionsegenskaper , om enorma kardinaler , enligt Vopěnkas princip , om utdragbara kardinaler , om starka kardinaler och om Woodin-kardinaler . Boken avslutas med kapitlet "Determinacy", som involverar beslutsamhetens axiom och teorin om oändliga spel. Recensenten Frank R. Drake ser det här kapitlet och beviset i det av Donald A. Martin för Borels determinacy theorem , som centrala för Kanamori, "en triumf för teorin han presenterar".
Även om citat som uttrycker forskares filosofiska ståndpunkter inom detta område förekommer i hela boken, skjuts mer detaljerad belysning av frågor inom matematikens filosofi angående matematikens grunder till en appendix.
Publik och mottagning
Recensenten Pierre Matet skriver att den här boken "utan tvekan kommer att fungera i många år framöver som huvudreferens för stora kardinaler", och recensenterna Joel David Hamkins , Azriel Lévy och Philip Welch uttrycker liknande känslor. Hamkins skriver att boken är "full av historisk insikt, tydlig skrift, intressanta teorem och eleganta bevis". Eftersom det här ämnet använder många av mängdteorins viktiga verktyg mer generellt, rekommenderar Lévy boken "till alla som vill börja forska i mängdteori", och Welch rekommenderar den till alla universitetsbibliotek.
externa länkar
- The Higher Infinite (1:a upplagan) på Internet Archive