Aronszajn träd

I mängdteorin är ett Aronszajn-träd ett träd med oräknelig höjd utan oräkneliga grenar och inga oräkneliga nivåer. Till exempel är varje Suslinträd ett Aronszajnträd. Mer generellt, för en kardinal κ , är ett κ -Aronszajn-träd ett träd med höjden κ där alla nivåer har storlek mindre än κ och alla grenar har en höjd mindre än κ (så Aronszajn-träd är samma som $\ aleph _{1}$ -Aronszajn-träd). De är uppkallade efter Nachman Aronszajn , som konstruerade ett Aronszajn-träd 1934; hans konstruktion beskrevs av Kurepa (1935) .

En kardinal κ för vilken det inte finns några κ -Aronszajn-träd sägs ha trädegenskapen (ibland ingår villkoret att κ är regelbundet och oräkneligt).

Förekomsten av κ-Aronszajn-träd

Kőnigs lemma säger att $\aleph _{0}$ -Aronszajn-träd inte existerar.

Förekomsten av Aronszajn-träd ( $=\aleph _{1}$ -Aronszajn-träd) bevisades av Nachman Aronszajn , och antyder att analogen till Kőnigs lemma inte gäller för oräkneliga träd.

Förekomsten av $\aleph _{2}$ -Aronszajn-träd är obestämbar i ZFC: mer exakt, kontinuumhypotesen antyder att det finns ett $\aleph _{2}$ -Aronszajn-träd, och Mitchell och Silver visade att det är konsekvent (i förhållande till förekomsten av en svagt kompakt kardinal ) att inga $\aleph _{2}$ -Aronszajn-träd existerar.

Jensen bevisade att V = L antyder att det finns ett κ -Aronszajn-träd (i själva verket ett κ - Suslin-träd ) för varje oändlig efterföljare av kardinal κ .

Cummings & Foreman (1998) visade (med hjälp av ett stort kardinalaxiom) att det är konsekvent att inga $\aleph _{n}$ -Aronszajn-träd existerar för något ändligt n annat än 1.

Om κ är svagt kompakt så finns inga κ -Aronszajn-träd. Omvänt, om κ är otillgängligt och inga κ -Aronszajn-träd finns, då är κ svagt kompakt.

Särskilda Aronszajn träd

Ett Aronszajn-träd kallas speciellt om det finns en funktion f från trädet till rationalerna så att f ( x ) < f ( y ) när x < y . Martins axiom MA( $\aleph _{1}$ ) antyder att alla Aronszajn-träd är speciella, en proposition som ibland förkortas med EATS . Det starkare korrekta tvingande axiomet innebär det starkare uttalandet att det för två Aronszajn-träd finns en klubbuppsättning nivåer så att trädens begränsningar till denna uppsättning nivåer är isomorfa, vilket säger att i någon mening är två Aronszajn-träd i huvudsak isomorfa ( Abraham & Shelah 1985 ). Å andra sidan är det konsekvent att icke-speciella Aronszajn-träd existerar, och detta överensstämmer också med den generaliserade kontinuumhypotesen plus Suslins hypotes ( Schlindwein 1994 ).

Konstruktion av ett speciellt Aronszajn-träd

Ett speciellt Aronszajn-träd kan konstrueras enligt följande.

Trädets element är vissa välordnade uppsättningar av rationella tal med supremum som är rationellt eller −∞. Om x och y är två av dessa mängder så definierar vi x ≤ y (i trädordningen) för att betyda att x är ett initialt segment av den ordnade mängden y . För varje räknebar ordningsföljd α skriver vi U _α för elementen i trädet på nivå α, så att elementen i U _α är vissa uppsättningar av rationaler med ordningstyp α. Det speciella Aronszajn-trädet T är föreningen av mängderna U _α för alla räknebara α.

₀ Vi konstruerar de räknebara nivåerna U _α genom transfinit induktion på α enligt följande med början med den tomma mängden som U :

• Om α + 1 är en efterföljare så består U _{α +1} av alla förlängningar av en sekvens x i U _α med en rationell större än sup x . U _{α + 1} är räknebart eftersom det består av countably många förlängningar av vart och ett av de countably många elementen i U _α .
• Om α är en gräns, låt T _α vara trädet för alla punkter på nivå mindre än α . För varje x i T _α och för varje rationellt tal q större än sup x , välj en nivå α -gren av T _α som innehåller x med supremum q . Då U _α av dessa grenar. U _α är räknebar eftersom den består av ett antal grenar för vart och ett av de räkneligt många elementen i T _α .

Funktionen f ( x ) = sup x är rationell eller −∞, och har egenskapen att om x < y så f ( x ) < f ( y ). Vilken gren som helst i T kan räknas eftersom f mappar grenar injektivt till −∞ och rationalerna. T är oräkneligt eftersom det har en icke-tom nivå U _α för varje räknebar ordningsföljd α som utgör den första oräkneliga ordningen . Detta bevisar att T är ett speciellt Aronszajn-träd.

Denna konstruktion kan användas för att konstruera κ -Aronszajn-träd närhelst κ är en efterföljare till en vanlig kardinal och den generaliserade kontinuumhypotesen gäller, genom att ersätta de rationella talen med en mer allmän η - uppsättning .

Se även

• Kurepa träd
• Aronszajn linje

• Abraham, Uri; Shelah, Saharon (1985), "Isomorphism types of Aronszajn trees", Israel Journal of Mathematics , 50 : 75–113, doi : 10.1007/BF02761119
•   Cummings, James; Foreman, Matthew (1998), "The tree property", Advances in Mathematics , 133 (1): 1–32, doi : 10.1006/aima.1997.1680 , MR 1492784
•    Kunen, Kenneth (2011), Mängdlära , Studies in Logic, vol. 34, London: College Publications, ISBN 978-1-84890-050-9 , Zbl 1262.03001
•    Kurepa, G. (1935), "Ensembles ordonnés et ramifiés" , Publ. matematik. Univ. Belgrad , 4 : 1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
•   Schlindwein, Chaz (1994), "Consistency of Suslin's Hypothesis, A Nonspecial Aronszajn Tree, and GCH", Journal of Symbolic Logic , The Journal of Symbolic Logic, Vol. 59, nr 1, 59 (1): 1–29, doi : 10.2307/2275246 , JSTOR 2275246
• Schlindwein, Ch. (2001) [1994], "Aronszajn tree" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Schlindwein, Chaz (1989), "Special non-special $\aleph _{1}$ -trees", Set Theory and its Applications , 1401 : 160–166, doi : 10.1007/BFb0097338
•   Todorčević, S. (1984), "Träd och linjärt ordnade uppsättningar", Handbook of set-theoretic topology , Amsterdam: North-Holland, s. 235–293, MR 0776625

externa länkar

• PlanetMath