Superkompakt kardinal

I mängdlära är en superkompakt kardinal en typ av stor kardinal . De uppvisar en mängd olika reflektionsegenskaper.

Formell definition

Om λ är någon ordinal , κ är λ -superkompakt betyder att det finns en elementär inbäddning j från universum V i en transitiv inre modell M med kritisk punkt κ , j ( κ )> λ och

{}^{\lambda }M\subseteq M\,.

Det vill säga, M innehåller alla dess λ -sekvenser. Då κ är superkompakt betyder att den är λ -superkompakt för alla ordinaler λ .

är en oräknelig kardinal κ superkompakt om för varje A så att | A | ≥ κ det finns ett normalt mått över [ A ] ^{< κ} , i följande mening.

[ A ] ^{< κ} definieras enligt följande:

[A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A||x|<\kappa \}\,.

Ett ultrafilter U över [ A ] ^{< κ} är bra om det är κ -komplett och ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|a\in x\}\in U} , för varje$ a $\displaystyle a\in A}$ . Ett normalt mått över [ A ] ^{< κ} är ett fint ultrafilter U över [ A ] ^{< κ} med den ytterligare egenskapen att varje funktion $f:[A]^{<\kappa } \till A$ så att ${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U} är konstant på$ en mängd i $U$ . Här betyder "konstant på en mängd i U " att det finns $a\in A$ så att $\{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U$ .

Egenskaper

Superkompakta kardinaler har reflektionsegenskaper. Om en kardinal med någon egenskap (säg en 3- stor kardinal ) som bevittnas av en struktur av begränsad rang existerar över en superkompakt kardinal κ , så finns en kardinal med den egenskapen under κ. Till exempel, om κ är superkompakt och den generaliserade kontinuumhypotesen (GCH) håller sig under κ , så gäller den överallt eftersom en bijektion mellan powersetet av ν och en kardinal åtminstone ν ⁺⁺ skulle vara ett vittne av begränsad rang för fel på GCH vid ν så det måste också finnas under κ .

Att hitta en kanonisk inre modell för superkompakta kardinaler är ett av de stora problemen med teori om inre modell .

Den minst superkompakta kardinalen är den minsta $\kappa$ så att för varje struktur $(M,R_{1},\ldots ,R_{n})$ , med kardinalitet för domänen $\vert M\vert \geq \kappa$ , och för varje $\Pi _{1}^{1}$ mening $\phi$ så att ${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi } ,$ det finns en elementär understruktur $(M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)$ med mindre domän ( $\vert M '\vert <\vert M\vert$ ).

Se även

Drake, FR (1974). Mängdlära: En introduktion till stora kardinaler (Studier in Logic and the Foundations of Mathematics; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2 .
Jech, Thomas (2002). Mängdlära, tredje millennieupplagan (reviderad och utökad) . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Stora kardinaler i mängdteori från deras början ( 2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3 .

Citat