Utdragbar kardinal

Inom matematiken är utdragbara kardinaler stora kardinaler som introducerades av Reinhardt (1974) , som delvis motiverades av reflektionsprinciper . Intuitivt representerar en sådan kardinal en punkt bortom vilken initiala delar av universum av uppsättningar börjar se likadana ut, i den meningen att var och en är elementärt inbäddad i en senare.

Definition

För varje ordinal η kallas en kardinal κ η-förlängbar om det för någon ordinal λ finns en icke-trivial elementär inbäddning j av V _κ+η i V _λ , där κ är den kritiska punkten för j , och som vanligt V _α betecknar α :e nivån i von Neumann-hierarkin . En kardinal κ kallas en utdragbar kardinal om den är η -förlängbar för varje ordinal η som inte är noll (Kanamori 2003).

Varianter och relation till andra kardinaler

En kardinal κ kallas η-C ⁽ⁿ⁾ -förlängbar om det finns en elementär inbäddning j som bevittnar att κ är η -förlängbar (det vill säga j är elementär från V _κ+η till någon V _λ med kritisk punkt κ ) så att dessutom är Vj _(κ) Σn - _korrekt i V . Det vill säga, för varje Σ _n formel φ , gäller φ i V _j(κ) om och endast om φ gäller i V . En kardinal κ sägs vara C ⁽ⁿ⁾ -förlängbar om den är η-C ⁽ⁿ⁾ -förlängbar för varje ordinal η . Varje utdragbar kardinal är C ⁽¹⁾ -förlängbar, men för n≥1 är den minsta C ⁽ⁿ⁾ -förlängbara kardinal aldrig C ⁽ⁿ⁺¹⁾ -förlängbar (Bagaria 2011).

Vopěnkas princip innebär att det finns utdragbara kardinaler; i själva verket är Vopěnkas princip (för definierbara klasser) ekvivalent med förekomsten av C ⁽ⁿ⁾ -förlängbara kardinaler för alla n (Bagaria 2011). Alla utdragbara kardinaler är superkompakta kardinaler (Kanamori 2003).

Se även

• Lista över stora kardinalegenskaper
• Reinhardt kardinal

•   Bagaria, Joan (23 december 2011). " C ⁽ⁿ⁾ -kardinaler". Arkiv för matematisk logik . 51 (3–4): 213–240. doi : 10.1007/s00153-011-0261-8 . S2CID 208867731 .
• Friedman, Harvey . "Begränsningar och tillägg" (PDF) .
•   Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Stora kardinaler i mängdteori från deras början ( 2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3 .
•   Reinhardt, WN (1974), "Anmärkningar om reflektionsprinciper, stora kardinaler och elementära inbäddningar.", Axiomatic set theory , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, del II, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 189–205, MR 0401475