Stark kardinal
I mängdläran är en stark kardinal en typ av stor kardinal . Det är en försvagning av föreställningen om en superkompakt kardinal .
Formell definition
Om λ är någon ordningsföljd , κ är λ-stark betyder att κ är ett kardinaltal och det finns en elementär inbäddning av j från universum V i en transitiv inre modell M med kritisk punkt κ och
Det vill säga, M håller med V om ett initialt segment. Då κ är stark betyder att den är λ-stark för alla ordningstal λ.
Förhållande med andra stora kardinaler
Enligt definitioner ligger starka kardinaler under superkompakta kardinaler och ovanför mätbara kardinaler i konsistensstyrkehierarkin.
κ är κ-stark om och endast om det är mätbart. Om κ är stark eller λ-stark för λ ≥ κ+2, så kommer ultrafiltret U som ser att κ är mätbart att vara i V κ+2 och således i M . Så för alla α < κ har vi att det finns ett ultrafilter U i j ( V κ ) − j ( V α ), med tanke på att j (α) = α. Genom att använda den elementära inbäddningen bakåt får vi att det finns ett ultrafilter i V κ − V α . Så det finns godtyckligt stora mätbara kardinaler under κ vilket är regelbundet, och därmed är κ en gräns för κ-många mätbara kardinaler.
Starka kardinaler ligger också under superstarka kardinaler och Woodin kardinaler i konsistensstyrka. Den minst starka kardinalen är dock större än den minst superstarka kardinalen.
Varje stark kardinal är starkt utfällbar och därför helt obeskrivlig .
- Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Stora kardinaler i mängdteori från deras början ( 2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-00384-3 .