Cassini projektion

Cassini projektion av världen

Cassini-projektion med 1 000 km indikatorer

Cassini-projektion av världen modellerad som en mycket oblate ellipsoid med tillplattad 1:2 (= excentricitet √ 3 ⁄ 2 )

Cassini -projektionen (även ibland känd som Cassini-Soldner-projektionen eller Soldner-projektionen ) är en kartprojektion som beskrevs av César-François Cassini de Thury 1745. Det är den tvärgående aspekten av den ekvirektangulära projektionen , eftersom jordklotet först roteras så den centrala meridianen blir "ekvatorn", och sedan tillämpas den normala ekvirektangulära projektionen. Med tanke på jorden som en sfär är projektionen sammansatt av operationerna:

$x=\arcsin(\cos \varphi \sin \lambda )\qquad y=\arctan \left({\frac {\tan \varphi }{\cos \lambda }}\right).$

där λ är longituden från den centrala meridianen och φ är latituden. Vid programmering av dessa ekvationer är den inversa tangentfunktionen som används faktiskt atan2 -funktionen, med det första argumentet sin φ och det andra cos φ cos λ .

Den omvända operationen består av operationerna:

$\varphi =\arcsin(\sin y\cos x)\qquad \lambda =\operatörsnamn {atan2} (\tan x,\cos y).$

I praktiken har projektionen alltid tillämpats på modeller av jorden som en ellipsoid , vilket i hög grad komplicerar den matematiska utvecklingen men är lämplig för undersökning. Ändå har användningen av Cassini-projektionen i stort sett ersatts av den tvärgående Mercator- projektionen, åtminstone med centrala kartläggningsbyråer.

Förvrängningar

Områden längs den centrala meridianen, och i rät vinkel mot den, är inte förvrängda. På andra håll är förvrängningen till stor del i nord–sydlig riktning och varierar med kvadraten på avståndet från den centrala meridianen. Ju större områdets längsgående utsträckning är, desto värre blir distorsionen.

På grund av detta fungerar Cassini-projektionen bäst för områden med större nord–sydlig utsträckning än öst–väst. Till exempel använde Ordnance Survey-kartor över Storbritannien Cassini-projektionen från 1924 fram till införandet av National Grid .

Elliptisk form

Cassini är känd som en sfärisk projektion, men kan generaliseras som en elliptisk form.

Med tanke på jorden som en ellips, är projektionen sammansatt av dessa operationer:

${\displaystyle N=(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{-1/2$

$T=\tan ^{2}\varphi$

$A=\lambda \cos \varphi$

$^{2}}{1-e^{2}}}\cos ^{2}\varphi }$

${\displaystyle C ={\frac {$

$x=N\left(AT{\frac {A^{3}}{6}}-(8-T+8C)T{\frac {A^{5}}{120} }\right)$

$y=M(\varphi ) -M(\varphi _{0})+(N\tan \varphi )\left({\frac {A^{2}}{2}}+(5-T+6C){\frac {A^{ 4}}{24}}\right)$

och M är meridionaldistansfunktionen .

Den omvända operationen består av operationerna:

$\varphi '=M^{-1}(M(\varphi _{0})+y)$

Om $\varphi '={\frac {\pi }{2}}$ så är $\varphi =\varphi '$ och $\lambda =0.$

Beräkna annars T och N enligt ovan med $\varphi '$ , och

$R=(1-e^{2})(1-e^{2}\sin ^{2 }\varphi ')^{-3/2}$

$D=x/N$

$\varphi =\varphi '-{\frac {N\tan \varphi '}{R}}\left({\frac {D^{2}}{2}}-(1+3T ){\frac {D^{4}}{24}}\right)$

$\lambda ={\ frac {DT{\frac {D^{3}}{3}}+(1+3T)T{\frac {D^{5}}{15}}}{\cos \varphi '}}$

Se även

• Cassini Grid

externa länkar

• Media relaterade till Cassini-projektion på Wikimedia Commons
• Tabell med exempel och egenskaper för alla vanliga projektioner, från radicalcartography.net
• Ordnance Survey Geofacts on the Cassini Projection
• Cassini dans proj4