Jordens ellipsoid

Ett skaldiagram av oblateness av 2003 IERS referensellipsoid . Ytterkanten av den mörkblå linjen är en ellips med samma excentricitet som jordens, med norr i toppen. Som jämförelse har den ljusblå cirkeln inuti en diameter som är lika med ellipsens mindre axel . Den röda linjen representerar Karman-linjen 100 km (62 mi) över havet , medan det gula området betecknar ISS :s höjdområde i låg jordomloppsbana .

En jordellipsoid eller jordsfäroid är en matematisk figur som närmar sig jordens form , som används som en referensram för beräkningar inom geodesi , astronomi och geovetenskaperna . Olika olika ellipsoider har använts som approximationer.

Det är en sfäroid (en rotationsellipsoid ) vars mindre axel (kortare diameter), som förbinder den geografiska nordpolen och sydpolen , är ungefär i linje med jordens rotationsaxel. Ellipsoiden definieras av ekvatorialaxeln ( a ) och polaxeln ( b ); deras radiella skillnad är något mer än 21 km, eller 0,335 % av a (vilket inte är riktigt 6 400 km).

Det finns många metoder för att bestämma axlarna för en jordellipsoid, allt från meridianbågar upp till modern satellitgeodesi eller analys och sammankoppling av kontinentala geodetiska nätverk . Bland de olika datauppsättningarna som används i nationella undersökningar finns flera av särskild betydelse: Bessel-ellipsoiden från 1841, den internationella Hayford-ellipsoiden från 1924 och (för GPS -positionering) WGS84 -ellipsoiden.

Typer

Det finns två typer av ellipsoider: medelvärde och referens.

En datamängd som beskriver det globala medelvärdet av jordens yta krökning kallas medeljordellipsoiden . Det hänvisar till en teoretisk koherens mellan den geografiska latituden och meridionalkurvaturen för geoiden . Den senare är nära medelhavsnivån , och därför har en idealisk jordellipsoid samma volym som geoiden.

Medan den genomsnittliga jordellipsoiden är den idealiska basen för global geodesi, för regionala nätverk kan en så kallad referensellipsoid vara det bättre valet. När geodetiska mätningar måste beräknas på en matematisk referensyta, bör denna yta ha en liknande krökning som den regionala geoiden; annars minskningen av mätningarna att få små förvrängningar.

Detta är anledningen till det "långa livet" för tidigare referensellipsoider som Hayford eller Bessel-ellipsoiden , trots att deras huvudaxlar avviker med flera hundra meter från de moderna värdena. Ett annat skäl är ett rättsligt skäl: koordinaterna för miljontals gränsstenar bör förbli fixerade under en lång period. Om deras referensyta ändras ändras även koordinaterna själva.

Men för internationella nätverk, GPS- positionering eller astronautik är dessa regionala skäl mindre relevanta. Eftersom kunskapen om jordens figur blir allt mer exakt, anpassar International Geoscientific Union IUGG vanligtvis jordellipsoidens axlar till bästa tillgängliga data.

Referensellipsoid

Tillplattad sfär

Inom geodesi är en referensellipsoid en matematiskt definierad yta som närmar sig geoiden , som är den sannare, ofullkomliga figuren av jorden , eller annan planetkropp, i motsats till en perfekt, slät och oförändrad sfär, som tar hänsyn till vågorna i kropparnas gravitation på grund av variationer i sammansättningen och densiteten av det inre , såväl som den efterföljande tillplattning som orsakas av centrifugalkraften från rotationen av dessa massiva föremål (för planetkroppar som roterar). På grund av deras relativa enkelhet används referensellipsoider som en föredragen yta på vilken geodetiska nätverksberäkningar utförs och punktkoordinater som latitud , longitud och höjd definieras.

I samband med standardisering och geografiska tillämpningar är en geodetisk referensellipsoid den matematiska modellen som används som grund för rumsliga referenssystem eller geodetiska datumdefinitioner .

Ellipsoidparametrar

År 1687 publicerade Isaac Newton Principia där han inkluderade ett bevis på att en roterande självgraviterande vätskekropp i jämvikt tar formen av en tillplattad ("oblate") rotationsellipsoid, genererad av en ellips som roteras runt sin mindre diameter; en form som han kallade en oblate sfäroid .

Inom geofysik, geodesi och relaterade områden förstås ordet "ellipsoid" för att betyda "oblate ellipsoid of revolution", och den äldre termen "oblate sfäroid" används knappast. För kroppar som inte kan approximeras väl av en rotationsellipsoid används en triaxiell (eller skalen) ellipsoid.

Formen på en rotationsellips bestäms av formparametrarna för den ellipsen . Ellipsens halvstora axel, a , $blir$ ellipsoidens ekvatorialradie: ellipsens halvmajoraxel , $b$ , blir avståndet från mitten till endera polen. Dessa två längder specificerar helt ellipsoidens form.

I geodesipublikationer är det dock vanligt att specificera semi-storaxeln (ekvatorialradien) $a$ och utplattningen $f$ , definierade som:

f={\frac {ab}{a}}.

Det vill säga, $f$ är mängden tillplattning vid varje pol, i förhållande till radien vid ekvatorn. Detta uttrycks ofta som en bråkdel 1/ $m$ ; $m = 1/ f$ är då den "omvända tillplattan". Många andra ellipsparametrar används inom geodesin men de kan alla relateras till en eller två av mängden $a$ , $b$ och $f$ .

Många ellipsoider har använts för att modellera jorden i det förflutna, med olika antagna värden för $a$ och $b$ samt olika antagna positioner för mitten och olika axelorientering i förhållande till den fasta jorden. Med början i slutet av 1900-talet har förbättrade mätningar av satellitbanor och stjärnpositioner gett extremt exakta bestämningar av jordens massacentrum och dess rotationsaxel; och dessa parametrar har också antagits för alla moderna referensellipsoider.

Ellipsoiden WGS-84 , flitigt använd för kartläggning och satellitnavigering har $f$ nära 1/300 (mer exakt 1/298.257223563, per definition), vilket motsvarar en skillnad mellan de stora och små halvaxlarna på cirka 21 km (13) miles) (mer exakt, 21,3846857548205 km). Som jämförelse är jordens måne ännu mindre elliptisk, med en tillplattning på mindre än 1/825, medan Jupiter är synligt oblate på cirka 1/15 och en av Saturnus treaxliga månar, Telesto , är mycket tillplattad, med $f$ mellan 1/3 och 1/2 (vilket betyder att den polära diametern är mellan 50% och 67% av ekvatorn.

Bestämning

Bågmätning är den historiska metoden för att bestämma ellipsoiden. Två meridianbågmätningar tillåter härledning av två parametrar som krävs för att specificera en referensellipsoid . Till exempel, om mätningarna hypotetiskt utfördes exakt över ekvatorplanet och endera geografiska polen, skulle de så erhållna krökningsradieerna vara relaterade till ekvatorialradien och polradien, respektive a och b (se: Jordens polära och ekvatorialradie för krökning ). Då utplattningen lätt följa av dess definition:

f=(ab)/a

.

För två bågmätningar vardera vid godtyckliga medelbreddgrader $\varphi _{i}$ , $i=1,\,2$ , utgår lösningen från en initial approximation för ekvatorialradien $a_{0}$ och för utjämningen $f_{0}$ . Den teoretiska jordens meridionala krökningsradie $M_{0}(\varphi _{i})$ kan beräknas vid latituden för varje bågmätning som:

M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a}{\sqrt {1-e_{0}^{ 2}\sin ^{2}\varphi _{i}}}}

där $e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}$ . Då kan diskrepanser mellan empiriska och teoretiska värden på krökningsradien bildas som $\delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})$ . Slutligen kan korrigeringar för den initiala ekvatorialradien $\delta a$ och utplattandet $\delta f$ lösas med hjälp av ett system av linjära ekvationer formulerade via linearisering av $M$ :

\delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f (\partial M/\partial f)

där partiella derivator är:

\partial M/\partial a\approx 1

\partial M/\partial f \approx -2a_{0}(1-1,5\sin ^{2}\varphi _{i})

Längre bågar med flera mellanliggande latitudbestämningar kan helt bestämma den ellipsoid som bäst passar det undersökta området. I praktiken används multipla bågmätningar för att bestämma ellipsoidparametrarna med metoden för minsta kvadratjustering . Parametrarna som bestäms är vanligtvis den halvstora axeln, $a$ , och vilken som helst av de semi-minoraxeln, $b$ , flattening eller excentricitet.

Systematiska effekter i regional skala som observerats i kurvaturmätningarnas radie återspeglar den geoideiska vågningen och avböjningen av vertikalen, som utforskats i astrogeodetisk utjämning .

Gravimetri är en annan teknik för att bestämma jordens tillplattning, enligt Clairauts teorem .

Modern geodesi använder inte längre enkla meridianbågar eller jordtrianguleringsnätverk, utan metoderna för satellitgeodesi , särskilt satellitgravimetri .

Geodetiska koordinater

P(ɸ, λ, h)

Geodetiska koordinater är en typ av kurvlinjära ortogonala koordinatsystem som används inom geodesi baserat på en referensellipsoid . De inkluderar geodetisk latitud (nord/sydlig) $ϕ$ , longitud (öst/väst) $λ$ och ellipsoidal höjd $h$ (även känd som geodetisk höjd).

Triaden är också känd som jordellipsoidala koordinater (inte att förväxla med ellipsoid-harmoniska koordinater) .

Historiska jordellipsoider

Ekvatorial (

a

), polär (

b

) och medeljordradier enligt definitionen i 1984 års revision av World Geodetic System (ej skalenlig)

Referensellipsoidmodellerna som listas nedan har varit användbara i geodetiskt arbete och många är fortfarande i bruk. De äldre ellipsoiderna är uppkallade efter individen som härledde dem och utvecklingsåret anges. År 1887 tilldelades den engelske lantmätaren överste Alexander Ross Clarke CB FRS RE Royal Societys guldmedalj för sitt arbete med att bestämma jordens figur. Den internationella ellipsoiden utvecklades av John Fillmore Hayford 1910 och antogs av International Union of Geodesy and Geophysics (IUGG) 1924, som rekommenderade den för internationell användning.

, rekommenderades ellipsoiden som kallas GRS-67 ( Geodetic Reference System 1967) i förteckningen för adoption. Den nya ellipsoiden rekommenderades inte för att ersätta den internationella ellipsoiden (1924), men förespråkades för användning där en större grad av noggrannhet krävs. Det blev en del av GRS-67 som godkändes och antogs vid IUGG:s möte 1971 i Moskva. Det används i Australien för det australiska geodetiska datumet och i det sydamerikanska datumet 1969.

GRS-80 (Geodetic Reference System 1980) som godkändes och antogs av IUGG vid dess möte i Canberra, Australien 1979, är baserad på ekvatorialradien (jordellipsoidens halvstora axel) en {\displaystyle a} $total$ massa $GM$ , dynamisk formfaktor $J_{2}$ och vinkelhastighet för rotation $\omega$ , vilket gör den omvända utplattaingen $1/f$ till en härledd storhet . Minutskillnaden i $1/f$ mellan GRS-80 och WGS-84 är resultatet av en oavsiktlig trunkering i den senares definierande konstanter: medan WGS-84 utformades för att fästa nära GRS-80, för övrigt visade sig WGS-84-härledd tillplattning vara något annorlunda än GRS-80-tillplattning eftersom den normaliserade andra gradens zonal harmoniska gravitationskoefficienten, som härleddes från GRS-80-värdet för J 2 {\displaystyle $}$ , trunkerades till åtta signifikanta siffror i normaliseringsprocessen.

En ellipsoidmodell beskriver endast ellipsoidens geometri och en normal gravitationsfältsformel som hör till den. Vanligtvis är en ellipsoidmodell en del av ett mer omfattande geodetiskt datum . Till exempel är den äldre ED-50 ( European Datum 1950 ) baserad på Hayford eller International Ellipsoid . WGS-84 är säreget genom att samma namn används för både det kompletta geodetiska referenssystemet och dess ellipsoidmodell. Ändå förblir de två begreppen - ellipsoidmodell och geodetiskt referenssystem - distinkta.

Observera att samma ellipsoid kan vara känd under olika namn. Det är bäst att nämna de definierande konstanterna för entydig identifiering.

Referensellipsoidnamn	Ekvatorialradie (m)	Polarradie (m)	Omvänd tillplattning	Där den används
Maupertuis (1738)	6 397 300	6,363,806,283	191	Frankrike
Plessis (1817)	6 376 523,0	6,355,862,9333	308,64	Frankrike
Everest (1830)	6,377,299,365	6,356,098,359	300.80172554	Indien
Everest 1830 Modifierad (1967)	6,377,304,063	6,356,103,0390	300,8017	Västra Malaysia och Singapore
Everest 1830 (1967 definition)	6,377,298,556	6,356,097,550	300,8017	Brunei och östra Malaysia
Luftig (1830)	6,377,563,396	6,356,256,909	299,3249646	Storbritannien
Bessel (1841)	6,377,397,155	6,356,078,963	299,1528128	Europa, Japan
Clarke (1866)	6,378,206,4	6,356,583,8	294,9786982	Nordamerika
Clarke (1878)	6,378,190	6,356,456	293,4659980	Nordamerika
Clarke (1880)	6,378,249,145	6,356,514,870	293,465	Frankrike, Afrika
Helmert (1906)	6,378,200	6 356 818,17	298,3	Egypten
Hayford (1910)	6,378,388	6,356,911,946	297	USA
Internationell (1924)	6,378,388	6,356,911,946	297	Europa
Krassovsky (1940)	6,378,245	6,356,863,019	298,3	Sovjetunionen, Ryssland, Rumänien
WGS66 (1966)	6,378,145	6,356,759,769	298,25	USA/DoD
Australian National (1966)	6,378,160	6,356,774,719	298,25	Australien
New International (1967)	6,378,157,5	6,356,772,2	298.24961539
GRS-67 (1967)	6,378,160	6,356,774,516	298.247167427
Sydamerika (1969)	6,378,160	6,356,774,719	298,25	Sydamerika
WGS-72 (1972)	6,378,135	6 356 750,52	298,26	USA/DoD
GRS-80 (1979)	6,378,137	6,356,752,3141	298.257222101	Global ITRS
WGS-84 (1984)	6,378,137	6,356,752,3142	298.257223563	Global GPS
IERS (1989)	6,378,136	6,356,751,302	298,257
IERS (2003)	6,378,136,6	6 356 751,9	298,25642

Se även

Bibliografi

PK Seidelmann (ordförande), et al. (2005), "Rapport från IAU/IAG-arbetsgruppen om kartografiska koordinater och rotationselement: 2003," Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy , 91, s. 203–215.
- Webbadress: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
OpenGIS Implementation Specification för geografisk information - Enkel funktionsåtkomst - Del 1: Gemensam arkitektur , Annex B.4. 2005-11-30
- Webbadress: http://www.opengeospatial.org

externa länkar

Geografiskt koordinatsystem
Koordineringssystem och transformationer ( SPENVIS hjälpsida)
Koordinatsystem, ramar och datum