Avstånd från en punkt till en linje

I euklidisk geometri är ' avståndet från en punkt till en linje det kortaste avståndet från en given punkt till någon punkt på en oändlig rät linje . Det är vinkelräta avstånd till linjen, längden på linjesegmentet som förenar punkten med närmaste punkt på linjen. Formeln för att beräkna den kan härledas och uttryckas på flera sätt.

Att känna till avståndet från en punkt till en linje kan vara användbart i olika situationer – till exempel att hitta det kortaste avståndet för att nå en väg, kvantifiera spridningen på en graf, etc. I Deming-regression, en typ av linjär kurvanpassning , om beroende och oberoende variabler har samma varians, vilket resulterar i ortogonal regression där graden av imperfektion av passningen mäts för varje datapunkt som punktens vinkelräta avstånd från regressionslinjen.

Linje definierad av en ekvation

I fallet med en linje i planet som ges av ekvationen ax + by + c = 0 , där a , b och c är reella konstanter med a och b inte båda noll, avståndet från linjen till en punkt ₀₀ ( x , y ) är

$\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Den punkt på denna linje som är närmast ₀₀ ( x , y ) har koordinater:

$x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ och }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.$

Horisontella och vertikala linjer

I den allmänna ekvationen för en linje, ax + by + c = 0 , kan a och b inte båda vara noll om inte c också är noll, i vilket fall ekvationen inte definierar en linje. Om a = 0 och b ≠ 0 är linjen horisontell och har ekvationen y = − c / b . Avståndet från ₀₀ ( x , y ) till denna linje mäts längs ett vertikalt linjesegment med längd ₀ | y − (− c / b )| = ₀ | av + c | / | b | i enlighet med formeln. På liknande sätt, för vertikala linjer ( b = 0) är avståndet mellan samma punkt och linjen ₀ | axe + c | / | en | mätt längs ett horisontellt linjesegment.

Linje definierad av två punkter

Om linjen går genom två punkter P ₁ = ( x ₁ , y ₁ ) och P ₂ = ( x ₂ , y ₂ ) så är avståndet för ₀₀ ( x , y ) från linjen:

$\operatörsnamn {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(x_{2}-x_{1})(y_ {1}-y_{0})-(x_{1}-x_{0})(y_{2}-y_{1})|}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^ {2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}.$

Nämnaren för detta uttryck är avståndet mellan P ₁ och P ₂ . Täljaren är två gånger arean av triangeln med dess hörn i de tre punkterna, ₀₀ ( x , y ) , P ₁ och P ₂ . Se: Area av en triangel § Använda koordinater . Uttrycket är ekvivalent med h = 2 A / b , vilket kan erhållas genom att omordna standardformeln för arean av en triangel: A = 1 / 2 bh , där b är längden på en sida och h är den vinkelräta höjden från motsatt vertex.

Linje definierad av punkt och vinkel

Om linjen går genom punkten P = ( P _x , P _y ) med vinkeln θ , så är avståndet från någon punkt ₀₀ ( x , y ) till linjen

$\operatörsnamn {avstånd} (P,\theta ,(x_{0},y_{0}))=|\cos(\theta )(P_{y}-y_{0})-\sin(\ theta )(P_{x}-x_{0})|$

Bevis

Ett algebraiskt bevis

Detta bevis är endast giltigt om linjen varken är vertikal eller horisontell, det vill säga vi antar att varken a eller b i linjens ekvation är noll.

Linjen med ekvationen ax + by + c = 0 har lutning − a / b , så vilken linje som helst som är vinkelrät mot den kommer att ha lutning b / a (den negativa reciproka). Låt ( m , n ) vara skärningspunkten för linjen ax + by + c = 0 och linjen vinkelrät mot den som går genom punkten ( x ₀ , y ₀ ). Linjen genom dessa två punkter är vinkelrät mot den ursprungliga linjen, alltså

${\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.$

Således, $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$ och genom att kvadrera denna ekvation får vi :

$a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_ {0}-m).$

Tänk nu,

${\begin{aligned}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n) )^{2}&=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_ {0}-n)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{ 0}-n)^{2}\right)\end{aligned}}$

med hjälp av ovanstående kvadratiska ekvation. Men vi har också,

$(a(x_{ 0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0 }+c)^{2}$

eftersom ( m , n ) är på ax + by + c = 0 . Således,

$\left(a^{2}+b^{2} \right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{ 2}$

och vi får längden på linjesegmentet som bestäms av dessa två punkter,

$d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0 }+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Ett geometriskt bevis

Diagram för geometriskt bevis

Detta bevis är endast giltigt om linjen inte är horisontell eller vertikal.

₀₀ Släpp en vinkelrät från punkten P med koordinater ( x , y ) till linjen med ekvation Ax + By + C = 0. Märk foten av vinkelrät R . Rita den vertikala linjen genom P och märk dess skärningspunkt med den givna linjen S . Vid valfri punkt T på linjen, rita en rätvinklig triangel TVU vars sidor är horisontella och vertikala linjesegment med hypotenusa TU på den givna linjen och horisontella sidan av längden | B | (se diagram). Den vertikala sidan av ∆ TVU kommer att ha längd | A | eftersom linjen har lutning - A / B .

∆ PRS och ∆ TVU är likartade trianglar , eftersom de båda är rätvinkliga trianglar och ∠ PSR ≅ ∠ TUV eftersom de är motsvarande vinklar på en tvärgående riktning mot de parallella linjerna PS och UV (båda är vertikala linjer). Motsvarande sidor av dessa trianglar är i samma förhållande, så:

${\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline { TU}}|}}.$

₀₀ Om punkt S har koordinater ( x , m ) så | PS | = | y - m | och avståndet från P till linjen är:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

Eftersom S är på linjen kan vi hitta värdet på m,

$m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},$

och slutligen få:

$|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

En variant av detta bevis är att placera V vid P och beräkna arean av triangeln ∆ UVT på två sätt för att erhålla att ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|} där D är höjden för ∆ UVT ritad till$ hypotenusan av ∆ UVT från P . Avståndsformeln kan sedan användas för att uttrycka $|{\overline {TU}}|$ , $|{\overline {VU}}|$ och $|{\overline {VT}}|$ i termer av koordinaterna för P och koefficienterna för linjens ekvation för att få den angivna formeln.

Ett vektorprojektionsbevis

₀₀ Låt P vara punkten med koordinaterna ( x , y ) och låt den givna linjen ha ekvationen ax + by + c = 0. Låt också Q = ( x ₁ , y ₁ ) vara vilken punkt som helst på denna linje och n vektorn ( a , b ) med början vid punkt Q. Vektorn n är vinkelrät mot linjen, och avståndet d från punkt P till linjen är lika med längden av den ortogonala projektionen av ${\overrightarrow {QP}}$ på n . Längden på denna projektion ges av:

$d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.$

Nu,

${\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),$ så ${\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1 })+b(y_{0}-y_{1})$ och $\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2$

Således

$d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}}}}.$

Eftersom Q är en punkt på linjen, ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}} ,$ och så,

$d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

Även om avståndet ges som en modul, kan tecknet vara användbart för att bestämma vilken sida av linjen punkten är på, i en mening som bestäms av normalvektorns riktning (a,b)

En annan formel

Det är möjligt att producera ett annat uttryck för att hitta det kortaste avståndet för en punkt till en linje. Denna härledning kräver också att linjen inte är vertikal eller horisontell.

Punkten P ges med koordinater ( ${\displaystyle x_{0},y_{0}} )$ . Ekvationen för en linje ges av $y=mx+k$ . Ekvationen för normalen för den linje som går genom punkten P ges $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$ .

Den punkt där dessa två linjer skär varandra är den punkt på den ursprungliga linjen som ligger närmast punkten P. Därför:

$mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.$

Vi kan lösa denna ekvation för x ,

$x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.$

Y - koordinaten för skärningspunkten kan hittas genom att ersätta detta värde på x i ekvationen för den ursprungliga linjen,

$y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.$

Med hjälp av ekvationen för att hitta avståndet mellan 2 punkter, ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1}) ^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}} ,$ vi kan härleda att formeln för att hitta det kortaste avståndet mellan en linje och en punkt är följande:

$d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{ 2}+\vänster({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\höger)^{2}} }={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

Påminner om att m = - a / b och k = - c / b för linjen med ekvation ax + by + c = 0, en liten algebraisk förenkling reducerar detta till standarduttrycket.

Vektor formulering

Illustration av vektorformuleringen.

Ekvationen för en linje kan ges i vektorform :

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}$

Här är a en punkt på linjen, och n är en enhetsvektor i linjens riktning. Då skalär t varierar, ger x linjens lokus .

Avståndet för en godtycklig punkt p till denna linje ges av

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {p} -\mathbf {a} ) -((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$

Denna formel kan härledas enligt följande: $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ är en vektor från a till punkten p . Då är $(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n}$ den projicerade längden på linjen och så

$\mathbf {a} +((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$

är en vektor som är projektionen av $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ på linjen och representerar punkten på linjen närmast $\mathbf {p}$ . Således

$(\mathbf {p} -\mathbf {a} )-((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \ mathbf {n} )\mathbf {n}$

är komponenten av $\mathbf {p} -\mathbf {a}$ vinkelrätt mot linjen. Avståndet från punkten till linjen är då bara normen för den vektorn. Denna mer allmänna formel är inte begränsad till två dimensioner.

En annan vektorformulering

Om vektorrummet är ortonormalt och om linjen går genom punkt a och har en riktningsvektor n är avståndet mellan punkt p och linjen

$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )={\frac {\left\|(\mathbf {p} - \mathbf {a} )\times \mathbf {n} \right\|}{\|\mathbf {n} \|}}.$

Observera att korsprodukter endast finns i dimensionerna 3 och 7.

Se även

• Hesse normal form
• Linjelinjekorsning
• Avstånd mellan två linjer
• Avstånd från en punkt till ett plan
• Skeva linjer#Avstånd

Anteckningar

•   Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7:e upplagan), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
•   Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952), "Avstånd från en linje eller plan till en punkt", American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi : 10.2307/2306514 , JSTOR 2306514
•   Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course , Houghton Mifflin Co., ISBN 978-0-618-62719-6
•   Spanien, Barry (2007) [1957], Analytical Conics , Dover Publications, ISBN 978-0-486-45773-4
• Weisstein, Eric W. "Point-line Distance--3-Dimensional" . MathWorld .

Vidare läsning

•   Deza, Michel Marie ; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (2:a upplagan), Springer, sid. 86, ISBN 9783642309588